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quadprog

二次规划

说明

具有线性约束的二次目标函数的求解器。

quadprog 求由下式指定的问题的最小值

minx12xTHx+fTx such that {Axb,Aeqx=beq,lbxub.

H、A 和 Aeq 是矩阵,f、b、beq、lb、ub 和 x 是向量。

您可以将 f、lb 和 ub 作为向量或矩阵进行传递;请参阅矩阵参数

注意

quadprog 仅适用于基于求解器的方法。有关这两种优化方法的讨论,请参阅首先选择基于问题或基于求解器的方法

x = quadprog(H,f) 返回使 1/2*x'*H*x + f'*x 最小的向量 x。要使问题具有有限最小值,输入 H 必须为正定矩阵。如果 H 是正定矩阵,则解 x = H\(-f)

示例

x = quadprog(H,f,A,b)A*x  b 的条件下求 1/2*x'*H*x + f'*x 的最小值。输入 A 是由双精度值组成的矩阵,b 是由双精度值组成的向量。

示例

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) 在满足 Aeq*x = beq 的限制条件下求解上述问题。Aeq 是由双精度值组成的矩阵,beq 是由双精度值组成的向量。如果不存在不等式,则设置 A = []b = []

示例

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 在满足 lb  x  ub 的限制条件下求解上述问题。输入 lbub 是由双精度值组成的向量,这些限制适用于每个 x 分量。如果不存在等式,请设置 Aeq = []beq = []

注意

如果为问题指定的输入边界不一致,则输出 xx0,输出 fval[]

quadprogx0 中违反边界 lb  x  ub 的分量重置为在这些边界定义的框内。quadprog 不会更改遵守边界的分量。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) 从向量 x0 开始求解上述问题。如果不存在边界,请设置 lb = []ub = []。一些 quadprog 算法会忽略 x0;请参阅 x0

注意

x0'active-set' 算法的必需参数。

示例

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 使用 options 中指定的优化选项求解上述问题。使用 optimoptions 创建 options。如果您不提供初始点,请设置 x0 = []

示例

x = quadprog(problem) 返回 problem 的最小值,其中 problem说明中所述的结构体。使用 Optimization 工具通过导出问题来创建 problem;请参阅导出您的工作。或者,使用 prob2structOptimizationProblem 对象创建 problem 结构体。

示例

对于任何输入变量,[x,fval] = quadprog(___) 还会返回 fval,即在 x 处的目标函数值:

fval = 0.5*x'*H*x + f'*x

示例

[x,fval,exitflag,output] = quadprog(___) 还返回 exitflag(描述 quadprog 退出条件的整数)以及 output(包含有关优化信息的结构体)。

示例

[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(___) 还返回 lambda 结构体,其字段包含在解 x 处的拉格朗日乘数。

示例

全部折叠

找到下式的最小值

f(x)=12x12+x22-x1x2-2x1-6x2

需满足以下约束

x1+x22-x1+2x222x1+x23.

quadprog 语法中,此问题可表示为最小化下式

f(x)=12xTHx+fTx

其中

H=[1-1-12]f=[-2-6],

问题具有线性约束。

要求解此问题,首先输入系数矩阵。

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
A = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];

调用 quadprog

[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...
   quadprog(H,f,A,b);
Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

检查终点、函数值和退出标志。

x,fval,exitflag
x = 2×1

    0.6667
    1.3333

fval = -8.2222
exitflag = 1

退出标志为 1 表示结果是局部最小值。由于 H 是正定矩阵,此问题为凸型,因此最小值是全局最小值。

通过检查特征值,确认 H 是正定矩阵。

eig(H)
ans = 2×1

    0.3820
    2.6180

找到下式的最小值

f(x)=12x12+x22-x1x2-2x1-6x2

需满足以下约束

x1+x2=0.

quadprog 语法中,此问题可表示为最小化下式

f(x)=12xTHx+fTx

其中

H=[1-1-12]f=[-2-6],

问题具有线性约束。

要求解此问题,首先输入系数矩阵。

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
Aeq = [1 1];
beq = 0;

调用 quadprog,为输入项 Ab 输入 []

[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...
   quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq);
Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

检查终点、函数值和退出标志。

x,fval,exitflag
x = 2×1

   -0.8000
    0.8000

fval = -1.6000
exitflag = 1

退出标志为 1 表示结果是局部最小值。由于 H 是正定矩阵,此问题为凸型,因此最小值是全局最小值。

通过检查特征值,确认 H 是正定矩阵。

eig(H)
ans = 2×1

    0.3820
    2.6180

求使二次表达式最小的 x

12xTHx+fTx

其中

H=[1-11-12-21-24]f=[2-31]

需满足以下约束

0x1x=1/2

要求解此问题,首先输入系数。

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [2;-3;1];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(size(lb));
Aeq = ones(1,3);
beq = 1/2;

调用 quadprog,为输入项 Ab 输入 []

x = quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq,lb,ub)
Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 3×1

    0.0000
    0.5000
    0.0000

设置选项以监控 quadprog 的进度。

options = optimoptions('quadprog','Display','iter');

定义具有二次目标和线性不等式约束的问题。

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
A = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];

为了帮助编写 quadprog 函数调用,请将不必要的输入设置为 []

Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
x0 = [];

调用 quadprog 以求解问题。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)
 Iter            Fval  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0   -8.884885e+00   3.214286e+00   1.071429e-01     1.000000e+00  
    1   -8.331868e+00   1.321041e-01   4.403472e-03     1.910489e-01  
    2   -8.212804e+00   1.676295e-03   5.587652e-05     1.009601e-02  
    3   -8.222204e+00   8.381476e-07   2.793826e-08     1.809485e-05  
    4   -8.222222e+00   3.064216e-14   1.352696e-12     7.525735e-13  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 2×1

    0.6667
    1.3333

使用Problem-Based Optimization Workflow创建一个 problem 结构体。创建一个等效于具有线性约束的二次规划的优化问题。

x = optimvar('x',2);
objec = x(1)^2/2 + x(2)^2 - x(1)*x(2) - 2*x(1) - 6*x(2);
prob = optimproblem('Objective',objec);
prob.Constraints.cons1 = sum(x) <= 2;
prob.Constraints.cons2 = -x(1) + 2*x(2) <= 2;
prob.Constraints.cons3 = 2*x(1) + x(2) <= 3;

prob 转换为 problem 结构体。

problem = prob2struct(prob);

使用 quadprog 求解问题。

[x,fval] = quadprog(problem)
Warning: Your Hessian is not symmetric. Resetting H=(H+H')/2.
Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 2×1

    0.6667
    1.3333

fval = -8.2222

求解二次规划,并返回解和目标函数值。

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
[x,fval] = quadprog(H,f,A,b)
Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 3×1

   -3.5714
    2.9286
    3.6429

fval = -47.1786

检查返回的目标函数值是否与根据 quadprog 目标函数定义计算的值相匹配。

fval2 = 1/2*x'*H*x + f'*x
fval2 = -47.1786

要查看 quadprog 的优化过程,请设置选项以显示迭代输出并返回四个输出。问题可以表示为最小化下式

12xTHx+fTx

约束条件为

0x1

其中

H=[21-11312-1125]f=[4-712]

输入问题系数。

H = [2 1 -1
    1 3 1/2
    -1 1/2 5];
f = [4;-7;12];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(3,1);

设置选项以显示求解器的迭代进度。

options = optimoptions('quadprog','Display','iter');

调用带有四个输出的 quadprog

[x fval,exitflag,output] = quadprog(H,f,[],[],[],[],lb,ub,[],options)
 Iter            Fval  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0    2.691769e+01   1.582123e+00   1.712849e+01     1.680447e+00  
    1   -3.889430e+00   0.000000e+00   8.564246e-03     9.971731e-01  
    2   -5.451769e+00   0.000000e+00   4.282123e-06     2.710131e-02  
    3   -5.499997e+00   0.000000e+00   1.221903e-10     6.939689e-07  
    4   -5.500000e+00   0.000000e+00   5.842173e-14     3.469847e-10  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 3×1

    0.0000
    1.0000
    0.0000

fval = -5.5000
exitflag = 1
output = struct with fields:
            message: '...'
          algorithm: 'interior-point-convex'
      firstorderopt: 1.5921e-09
    constrviolation: 0
         iterations: 4
       linearsolver: 'dense'
       cgiterations: []

求解二次规划问题并返回拉格朗日乘数。

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
lb = zeros(3,1);
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb);
Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

检查拉格朗日乘数结构体 lambda

disp(lambda)
    ineqlin: 12.0000
      eqlin: [0x1 double]
      lower: [3x1 double]
      upper: [3x1 double]

线性不等式约束有一个相关联的拉格朗日乘数 12

显示与下界相关联的乘数。

disp(lambda.lower)
    5.0000
    0.0000
    0.0000

只有 lambda.lower 的第一个分量具有非零乘数。这通常意味着只有 x 的第一个分量位于下界(即零)上。这可通过显示 x 的分量进行确认。

disp(x)
    0.0000
    1.5000
    1.5000

输入参数

全部折叠

二次目标项,指定为对称实矩阵。H1/2*x'*H*x + f'*x 表达式形式表示二次矩阵。如果 H 不对称,quadprog 会发出警告,并改用对称版本 (H + H')/2

如果二次矩阵 H 为稀疏矩阵,则默认情况下,'interior-point-convex' 算法使用的算法与 H 为稠密矩阵时略有不同。通常,对于大型稀疏问题,稀疏算法更快,对于稠密或小型问题,稠密算法更快。有关详细信息,请参阅 LinearSolver 选项说明和interior-point-convex quadprog 算法

示例: [2,1;1,3]

数据类型: double

线性目标项,指定为实数向量。f 表示 1/2*x'*H*x + f'*x 表达式中的线性项。

示例: [1;3;2]

数据类型: double

线性不等式约束,指定为实矩阵。AM×N 矩阵,其中 M 是不等式的数目,而 N 是变量的数目(x0 中的元素数)。对于大型问题,将 A 作为稀疏矩阵传递。

A 以如下形式编写 M 个线性不等式

A*x <= b

其中,x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)b 是具有 M 个元素的列向量。

例如,要指定

x1 +2x2 ≤10
3x1 +4x2 ≤20
5x1 +6x2 ≤30,

请输入以下约束:

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

示例: 要指定 x 分量总和等于或小于 1,请使用 A = ones(1,N)b = 1

数据类型: double

线性不等式约束,指定为实数向量。b 是与 A 矩阵相关的包含 M 个元素的向量。如果将 b 作为行向量传递,求解器会在内部将 b 转换为列向量 b(:)。对于大型问题,将 b 作为稀疏向量传递。

b 以如下形式编写 M 个线性不等式

A*x <= b

其中,x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)A 是大小为 M×N 的矩阵。

例如,要指定

x1 +2x2 ≤10
3x1 +4x2 ≤20
5x1 +6x2 ≤30,

请输入以下约束:

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

示例: 要指定 x 分量总和等于或小于 1,请使用 A = ones(1,N)b = 1

数据类型: double

线性等式约束,指定为实矩阵。AeqMe×N 矩阵,其中 Me 是等式的数目,而 N 是变量的数目(x0 中的元素数)。对于大型问题,将 Aeq 作为稀疏矩阵传递。

Aeq 以如下形式编写 Me 个线性等式

Aeq*x = beq

其中,x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)beq 是具有 Me 个元素的列向量。

例如,要指定

x1 +2x2 +3x3 =10
2x1 +4x2 + x3 =20,

请输入以下约束:

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

示例: 要指定 x 分量总和为 1,请使用 Aeq = ones(1,N)beq = 1

数据类型: double

线性等式约束,指定为实数向量。beq 是与 Aeq 矩阵相关的包含 Me 个元素的向量。如果将 beq 作为行向量传递,求解器会在内部将 beq 转换为列向量 beq(:)。对于大型问题,将 beq 作为稀疏向量传递。

beq 以如下形式编写 Me 个线性等式

Aeq*x = beq

其中,x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)Aeq 是大小为 Me×N 的矩阵。

例如,要指定

x1 +2x2 +3x3 =10
2x1 +4x2 + x3 =20,

请输入以下约束:

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

示例: 要指定 x 分量总和为 1,请使用 Aeq = ones(1,N)beq = 1

数据类型: double

下界,指定为实数向量或实数数组。如果 x0 中的元素数等于 lb 中的元素数,则 lb 指定

x(i) >= lb(i)(对于全部 i)。

如果 numel(lb) < numel(x0),则 lb 指定

x(i) >= lb(i)1 <= i <= numel(lb))。

如果 lb 中的元素数少于 x0 中的元素数,求解器会发出警告。

示例: 要指定所有 x 分量为正,请使用 lb = zeros(size(x0))

数据类型: double

上界,指定为实数向量或实数数组。如果 x0 中的元素数等于 ub 中的元素数,则 ub 指定

x(i) <= ub(i)(对于全部 i)。

如果 numel(ub) < numel(x0),则 ub 指定

x(i) <= ub(i)1 <= i <= numel(ub))。

如果 ub 中的元素数少于 x0 中的元素数,求解器会发出警告。

示例: 要指定 x 的所有分量小于 1,请使用 ub = ones(size(x0))

数据类型: double

初始点,指定为实数向量。x0 的长度是 H 的行数或列数。

当问题只有边界约束时,x0 适用于 'trust-region-reflective' 算法。x0 也适用于 'active-set' 算法。

注意

x0'active-set' 算法的必需参数。

如果您未指定 x0quadprog 会将 x0 的所有分量设置为由边界定义的框内部的一个点。对于 'interior-point-convex' 算法和具有等式约束的 'trust-region-reflective' 算法,quadprog 将忽略 x0

示例: [1;2;1]

数据类型: double

优化选项,指定为 optimoptions 的输出或 optimset 等返回的结构体。

optimoptions 显示中缺少某些选项。这些选项在下表中以斜体显示。有关详细信息,请参阅View Options

所有算法

Algorithm

选择算法:

  • 'interior-point-convex'(默认值)

  • 'trust-region-reflective'

  • 'active-set'

'interior-point-convex' 算法只处理凸问题。'trust-region-reflective' 算法处理只有边界或只有线性等式约束的问题,但不处理同时具有两者的问题。'active-set' 算法处理不定问题,前提是 HAeq 的零空间上的投影是半正定的。有关详细信息,请参阅选择算法

Diagnostics

显示关于要最小化或求解的函数的诊断信息。选项是 'on''off'(默认值)。

Display

显示级别(请参阅迭代输出):

  • 'off''none' 不显示输出。

  • 'final' 仅显示最终输出(默认值)。

'interior-point-convex''active-set' 算法允许附加值:

  • 'iter' 指定迭代输出。

  • 'iter-detailed' 指定迭代输出以及详细的退出消息。

  • 'final-detailed' 仅显示最终输出以及详细的退出消息。

MaxIterations

允许的迭代最大次数,为正整数。

  • 对于 'trust-region-reflective' 等式约束问题,默认值为 2*(numberOfVariables – numberOfEqualities)

  • 'active-set' 的默认值为 10*(numberOfVariables + numberOfConstraints)

  • 对于所有其他算法和问题,默认值为 200

对于 optimset,选项名称为 MaxIter。请参阅当前选项名称和旧选项名称表

OptimalityTolerance

一阶最优性的终止容差:正标量。

  • 对于 'trust-region-reflective' 等式约束问题,默认值为 1e-6

  • 对于 'trust-region-reflective' 边界约束问题,默认值为 100*eps,大约为 2.2204e-14

  • 对于 'interior-point-convex''active-set' 算法,默认值为 1e-8

请参阅容差和停止条件

对于 optimset,选项名称为 TolFun。请参阅当前选项名称和旧选项名称表

StepTolerance

关于正标量 x 的终止容差。

  • 对于 'trust-region-reflective',默认值为 100*eps,大约为 2.2204e-14

  • 对于 'interior-point-convex',默认值为 1e-12

  • 对于 'active-set',默认值为 1e-8

对于 optimset,选项名称为 TolX。请参阅当前选项名称和旧选项名称表

'trust-region-reflective' 算法

FunctionTolerance

函数值的终止容差(正标量)。默认值取决于问题类型:边界约束问题使用 100*eps,线性等式约束问题使用 1e-6。请参阅容差和停止条件

对于 optimset,选项名称为 TolFun。请参阅当前选项名称和旧选项名称表

HessianMultiplyFcn

Hessian 矩阵乘法函数,指定为函数句柄。对于大规模结构问题,此函数计算 Hessian 矩阵乘积 H*Y,而并不实际构造 H。函数具有以下形式

W = hmfun(Hinfo,Y)

其中 Hinfo(可能还有一些附加参数)包含用于计算 H*Y 的矩阵。

有关使用此选项的示例,请参阅Quadratic Minimization with Dense, Structured Hessian

对于 optimset,选项名称为 HessMult。请参阅当前选项名称和旧选项名称表

MaxPCGIter

PCG(预条件共轭梯度)迭代的最大次数;正标量。对于边界约束问题,默认值为 max(1,floor(numberOfVariables/2))。对于等式约束问题,quadprog 将忽略 MaxPCGIter 并使用 MaxIterations 来限制 PCG 迭代的次数。有关详细信息,请参阅预条件共轭梯度法

PrecondBandWidth

PCG 的预条件子的上带宽;非负整数。默认情况下,quadprog 使用对角预条件(上带宽 0)。对于某些问题,增加带宽会减少 PCG 迭代次数。将 PrecondBandWidth 设置为 Inf 会使用直接分解 (Cholesky),而不是共轭梯度 (CG)。直接分解的计算成本较 CG 高,但所得的求解步质量更好。

SubproblemAlgorithm

确定迭代步的计算方式。与 'factorization' 相比,默认值 'cg' 采用的步执行速度更快,但不够准确。请参阅trust-region-reflective quadprog 算法

TolPCG

PCG 迭代的终止容差:正标量。默认值为 0.1

TypicalX

典型的 x 值。TypicalX 中的元素数等于起点 x0 中的元素数。默认值为 ones(numberOfVariables,1)quadprog 在内部使用 TypicalX 进行缩放。仅当 x 具有无界分量且一个无界分量的 TypicalX 值超过 1 时,TypicalX 才会起作用。

'interior-point-convex' 算法

ConstraintTolerance

约束违反度容差;正标量。默认值为 1e-8

对于 optimset,选项名称为 TolCon。请参阅当前选项名称和旧选项名称表

LinearSolver

算法内部线性求解器的类型:

  • 'auto'(默认值)- 如果 H 矩阵为稀疏矩阵,则使用 'sparse',否则使用 'dense'

  • 'sparse' - 使用稀疏线性代数。请参阅稀疏矩阵

  • 'dense' - 使用稠密线性代数。

'active-set' 算法

ConstraintTolerance

约束违反度容差;正标量。默认值为 1e-8

对于 optimset,选项名称为 TolCon。请参阅当前选项名称和旧选项名称表

ObjectiveLimit

容差(停止条件),标量。如果目标函数值低于 ObjectiveLimit 并且当前点可行,则迭代停止,因为问题很可能是无界的。默认值为 -1e20

问题结构体,指定为具有以下字段的结构体:

H

1/2*x'*H*x 中的对称矩阵

f

线性项 f'*x 中的向量

Aineq

线性不等式约束 Aineq*x  bineq 中的矩阵

bineq

线性不等式约束 Aineq*x  bineq 中的向量

Aeq

线性等式约束 Aeq*x = beq 中的矩阵

beq

线性等式约束 Aeq*x = beq 中的向量
lb由下界组成的向量
ub由上界组成的向量

x0

x 的初始点

solver

'quadprog'

options

使用 optimoptions 或 Optimization 工具创建的选项

必需字段有 Hfsolveroptions。在求解时,quadprog 忽略 problem 中上面列出的字段以外的任何字段。

数据类型: struct

输出参数

全部折叠

解,以实数向量形式返回。x 是在满足所有边界和线性约束的条件下对 1/2*x'*H*x + f'*x 进行最小化的向量。x 可以是非凸问题的局部最小值。对于凸问题,x 是全局最小值。有关详细信息,请参阅局部最优与全局最优

在解处的目标函数值,以实数标量形式返回。fval1/2*x'*H*x + f'*x 在解 x 处的值。

quadprog 停止的原因,以下表中所述的整数形式返回。

所有算法

1

函数收敛于解 x

0

迭代次数超出 options.MaxIterations

-2

问题不可行。或者,对于 'interior-point-convex',步长大小小于 options.StepTolerance,但不满足约束。

-3

问题无界。

'interior-point-convex' 算法

2

步长大小小于 options.StepTolerance,也满足约束。

-6

检测到非凸问题。

-8

无法计算步的方向。

'trust-region-reflective' 算法

4

找到局部最小值;最小值不唯一。

3

目标函数值的变化小于 options.FunctionTolerance

-4

当前搜索方向不是下降方向。无法取得进一步进展。

'active-set' 算法

-6

检测到非凸问题;HAeq 的零空间上的投影不是半正定的。

注意

有时,在问题实际无界时,'active-set' 算法会停止并返回退出标志 0。设置更高的迭代限制也会返回退出标志 0

有关优化过程的信息,以包含下列字段的结构体形式返回:

iterations

执行的迭代次数

algorithm

使用的优化算法

cgiterations

PCG 迭代总数(仅适用于 'trust-region-reflective' 算法)

constrviolation

约束函数的最大值

firstorderopt

一阶最优性的度量

linearsolver

内部线性求解器的类型,'dense''sparse'(仅适用于 'interior-point-convex' 算法)

message

退出消息

在解处的拉格朗日乘数,以包含下列字段的结构体形式返回:

lower

下界 lb

upper

上界 ub

ineqlin

线性不等式

eqlin

线性等式

有关详细信息,请参阅Lagrange Multiplier Structures

算法

全部折叠

'interior-point-convex'

'interior-point-convex' 算法尝试遵循严格在约束范围内的路径。它使用预求解模块来消除冗余,并通过求解简单的分量来简化问题。

该算法针对稀疏 Hessian 矩阵 H 和稠密矩阵有不同的实现。通常,对于大型稀疏问题,稀疏实现更快,对于稠密或小型问题,稠密实现更快。有关详细信息,请参阅interior-point-convex quadprog 算法

'trust-region-reflective'

'trust-region-reflective' 算法基于 [1] 中所述的内部反射牛顿法的子空间信赖域方法。每次迭代都涉及使用预条件共轭梯度法 (PCG) 来近似求解大型线性方程组。有关详细信息,请参阅trust-region-reflective quadprog 算法

'active-set'

'active-set' 算法是一种投影方法,类似于 [2] 中所述的方法。算法不是大型算法;请参阅大规模算法与中等规模算法。有关详细信息,请参阅active-set quadprog 算法

替代功能

App

您可以使用 Optimization 工具进行二次规划。在 MATLAB® 命令行中输入 optimtool,然后选择 “quadprog - Quadratic programming” 求解器。有关详细信息,请参阅Optimization 工具

基于问题的方法

您可以使用基于问题的优化设置求解二次规划问题。有关示例,请参阅二次规划

参考

[1] Coleman, T. F., and Y. Li. “A Reflective Newton Method for Minimizing a Quadratic Function Subject to Bounds on Some of the Variables.” SIAM Journal on Optimization. Vol. 6, Number 4, 1996, pp. 1040–1058.

[2] Gill, P. E., W. Murray, and M. H. Wright. Practical Optimization. London: Academic Press, 1981.

[3] Gould, N., and P. L. Toint. “Preprocessing for quadratic programming.” Mathematical Programming. Series B, Vol. 100, 2004, pp. 95–132.

扩展功能

在 R2006a 之前推出