quadprog

二次规划

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语法

x = quadprog(H,f)

x = quadprog(H,f,A,b)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

x = quadprog(problem)

[x,fval] = quadprog(___)

[x,fval,exitflag,output] = quadprog(___)

[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(___)

[wsout,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws)

说明

具有线性约束的二次目标函数的求解器。

quadprog 求由下式指定的问题的最小值

$\min_{x} \frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x such that {\begin{matrix} A \cdot x \leq b, \\ A e q \cdot x = b e q, \\ l b \leq x \leq u b . \end{matrix}$

H、A 和 Aeq 是矩阵，f、b、beq、lb、ub 和 x 是向量。

您可以将 f、lb 和 ub 作为向量或矩阵进行传递；请参阅矩阵参量。

注意

quadprog 仅适用于基于求解器的方法。有关这两种优化方法的讨论，请参阅首先选择基于问题或基于求解器的方法。

x = quadprog(H,f) 返回使 1/2*x'*H*x + f'*x 最小的向量 x。要使问题具有有限最小值，输入 H 必须为正定矩阵。如果 H 是正定矩阵，则解 x = H\(-f)。

x = quadprog(H,f,A,b) 在 A*x ≤ b 的条件下求 1/2*x'*H*x + f'*x 的最小值。输入 A 是由双精度值组成的矩阵，b 是由双精度值组成的向量。

示例

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) 在满足 Aeq*x = beq 的限制条件下求解上述问题。Aeq 是由双精度值组成的矩阵，beq 是由双精度值组成的向量。如果不存在不等式，则设置 A = [] 和 b = []。

示例

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 在满足 lb ≤ x ≤ ub 的限制条件下求解上述问题。输入 lb 和 ub 是由双精度值组成的向量，这些限制适用于每个 x 分量。如果不存在等式，请设置 Aeq = [] 和 beq = []。

注意

如果为问题指定的输入边界不一致，则输出 x 为 x0，输出 fval 为 []。

quadprog 将 x0 中违反边界 lb ≤ x ≤ ub 的分量重置为在这些边界定义的框内。quadprog 不会更改遵守边界的分量。

示例

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) 从向量 x0 开始求解上述问题。如果不存在边界，请设置 lb = [] 和 ub = []。一些 quadprog 算法会忽略 x0；请参阅 x0。

注意

x0 是 'active-set' 算法的必需参量。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 使用 options 中指定的优化选项求解上述问题。使用 optimoptions 创建 options。如果您不提供初始点，请设置 x0 = []。

示例

x = quadprog(problem) 返回 problem 的最小值，它是 problem 中所述的一个结构体。使用圆点表示法或 struct 函数创建 problem 结构体。或者，使用 prob2struct 从 OptimizationProblem 对象创建 problem 结构体。

示例

对于任何输入变量，[x,fval] = quadprog(___) 还会返回 fval，即在 x 处的目标函数值：

fval = 0.5*x'*H*x + f'*x

示例

[x,fval,exitflag,output] = quadprog(___) 还返回 exitflag（描述 quadprog 退出条件的整数）以及 output（包含有关优化信息的结构体）。

示例

[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(___) 还返回 lambda 结构体，其字段包含在解 x 处的拉格朗日乘数。

示例

[wsout,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws) 使用 ws 中的选项，从热启动对象 ws 中的数据启动 quadprog。返回的参量 wsout 包含 wsout.X 中的解点。通过在后续求解器调用中使用 wsout 作为初始热启动对象，quadprog 可以提高运行速度。

示例

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具有线性约束的二次规划

打开实时脚本

找到下式的最小值

$f (x) = \frac{1}{2} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} - 2 x_{1} - 6 x_{2}$

需满足以下约束

$\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} \leq 2 \\ - x_{1} + 2 x_{2} \leq 2 \\ 2 x_{1} + x_{2} \leq 3 . \end{array}$

在 quadprog 语法中，此问题可表示为最小化下式

$f (x) = \frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$ ,

其中

$\begin{array}{l} H = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] \\ f = [\begin{matrix} - 2 \\ - 6 \end{matrix}], \end{array}$

问题具有线性约束。

要求解此问题，首先输入系数矩阵。

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
A = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];

调用 quadprog。

[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...
   quadprog(H,f,A,b);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

检查终点、函数值和退出标志。

x,fval,exitflag

fval = -8.2222

exitflag = 1

退出标志为 1 表示结果是局部最小值。由于 H 是正定矩阵，此问题为凸型，因此最小值是全局最小值。

通过检查特征值，确认 H 是正定矩阵。

eig(H)

ans = 2×1

    0.3820
    2.6180

具有线性等式约束的二次规划

打开实时脚本

找到下式的最小值

$f (x) = \frac{1}{2} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - x_{1} x_{2} - 2 x_{1} - 6 x_{2}$

需满足以下约束

$x_{1} + x_{2} = 0 .$

在 quadprog 语法中，此问题可表示为最小化下式

$f (x) = \frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$ ,

其中

$\begin{array}{l} H = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{matrix}] \\ f = [\begin{matrix} - 2 \\ - 6 \end{matrix}], \end{array}$

问题具有线性约束。

要求解此问题，首先输入系数矩阵。

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
Aeq = [1 1];
beq = 0;

调用 quadprog，为输入项 A 和 b 输入 []。

[x,fval,exitflag,output,lambda] = ...
   quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

检查终点、函数值和退出标志。

x,fval,exitflag

fval = -1.6000

exitflag = 1

退出标志为 1 表示结果是局部最小值。由于 H 是正定矩阵，此问题为凸型，因此最小值是全局最小值。

通过检查特征值，确认 H 是正定矩阵。

eig(H)

ans = 2×1

    0.3820
    2.6180

具有线性约束和边界的二次最小化

打开实时脚本

求使二次表达式最小的 x

$\frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$

其中

$H = [\begin{matrix} 1 & - 1 & 1 \\ - 1 & 2 & - 2 \\ 1 & - 2 & 4 \end{matrix}]$ , $f = [\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{matrix}]$ ,

需满足以下约束

$0 \leq x \leq 1$ , $\sum x = 1 / 2$ .

要求解此问题，首先输入系数。

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [2;-3;1];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(size(lb));
Aeq = ones(1,3);
beq = 1/2;

调用 quadprog，为输入项 A 和 b 输入 []。

x = quadprog(H,f,[],[],Aeq,beq,lb,ub)

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

使用非默认选项的二次最小化

打开实时脚本

设置选项以监控 quadprog 的进度。

options = optimoptions('quadprog','Display','iter');

定义具有二次目标和线性不等式约束的问题。

H = [1 -1; -1 2]; 
f = [-2; -6];
A = [1 1; -1 2; 2 1];
b = [2; 2; 3];

为了帮助编写 quadprog 函数调用，请将不必要的输入设置为 []。

Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
x0 = [];

调用 quadprog 以求解问题。

x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)

 Iter            Fval  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0   -8.884885e+00   3.214286e+00   1.071429e-01     1.000000e+00  
    1   -8.331868e+00   1.321041e-01   4.403472e-03     1.910489e-01  
    2   -8.212804e+00   1.676295e-03   5.587652e-05     1.009601e-02  
    3   -8.222204e+00   8.381476e-07   2.793826e-08     1.809485e-05  
    4   -8.222222e+00   3.064216e-14   1.352696e-12     7.525735e-13  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

基于 `prob2struct` 的二次问题

打开实时脚本

使用基于问题的优化工作流创建一个 problem 结构体。创建一个等效于具有线性约束的二次规划的优化问题。

x = optimvar('x',2);
objec = x(1)^2/2 + x(2)^2 - x(1)*x(2) - 2*x(1) - 6*x(2);
prob = optimproblem('Objective',objec);
prob.Constraints.cons1 = sum(x) <= 2;
prob.Constraints.cons2 = -x(1) + 2*x(2) <= 2;
prob.Constraints.cons3 = 2*x(1) + x(2) <= 3;

将 prob 转换为 problem 结构体。

problem = prob2struct(prob);

使用 quadprog 求解问题。

[x,fval] = quadprog(problem)

Warning: Your Hessian is not symmetric. Resetting H=(H+H')/2.

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

fval = -8.2222

返回 `quadprog` 目标函数值

打开实时脚本

求解二次规划，并返回解和目标函数值。

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
[x,fval] = quadprog(H,f,A,b)

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

fval = -47.1786

检查返回的目标函数值是否与根据 quadprog 目标函数定义计算的值相匹配。

fval2 = 1/2*x'*H*x + f'*x

fval2 = -47.1786

检查 `quadprog` 优化过程

打开实时脚本

要查看 quadprog 的优化过程，请设置选项以显示迭代输出并返回四个输出。问题可以表示为最小化下式

$\frac{1}{2} x^{T} H x + f^{T} x$

约束条件为

$0 \leq x \leq 1$ ,

其中

$H = [\begin{matrix} 2 & 1 & - 1 \\ 1 & 3 & \frac{1}{2} \\ - 1 & \frac{1}{2} & 5 \end{matrix}]$ , $f = [\begin{matrix} 4 \\ - 7 \\ 12 \end{matrix}]$ .

输入问题系数。

H = [2 1 -1
    1 3 1/2
    -1 1/2 5];
f = [4;-7;12];
lb = zeros(3,1);
ub = ones(3,1);

设置选项以显示求解器的迭代进度。

options = optimoptions('quadprog','Display','iter');

调用带有四个输出的 quadprog。

[x fval,exitflag,output] = quadprog(H,f,[],[],[],[],lb,ub,[],options)

 Iter            Fval  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0    2.691769e+01   1.582123e+00   1.712849e+01     1.680447e+00  
    1   -3.889430e+00   0.000000e+00   8.564246e-03     9.971731e-01  
    2   -5.451769e+00   0.000000e+00   4.282123e-06     2.710131e-02  
    3   -5.499997e+00   0.000000e+00   1.221903e-10     6.939689e-07  
    4   -5.500000e+00   0.000000e+00   5.842173e-14     3.469847e-10  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

fval = -5.5000

exitflag = 1

output = struct with fields:
            message: 'Minimum found that satisfies the constraints....'
          algorithm: 'interior-point-convex'
      firstorderopt: 1.5921e-09
    constrviolation: 0
         iterations: 4
       linearsolver: 'dense'
       cgiterations: []

返回 `quadprog` 拉格朗日乘数

打开实时脚本

求解二次规划问题并返回拉格朗日乘数。

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
lb = zeros(3,1);
[x,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

检查拉格朗日乘数结构体 lambda。

disp(lambda)

    ineqlin: 12.0000
      eqlin: [0x1 double]
      lower: [3x1 double]
      upper: [3x1 double]

线性不等式约束有一个相关联的拉格朗日乘数 12。

显示与下界相关联的乘数。

disp(lambda.lower)

    5.0000
    0.0000
    0.0000

只有 lambda.lower 的第一个分量具有非零乘数。这通常意味着只有 x 的第一个分量位于下界（即零）上。这可通过显示 x 的分量进行确认。

disp(x)

    0.0000
    1.5000
    1.5000

返回热启动对象

打开实时脚本

要加速后续的 quadprog 调用，请创建一个热启动对象。

options = optimoptions('quadprog','Algorithm','active-set');
x0 = [1 2 3];
ws = optimwarmstart(x0,options);

使用 ws 求解二次规划。

H = [1,-1,1
    -1,2,-2
    1,-2,4];
f = [-7;-12;-15];
A = [1,1,1];
b = 3;
lb = zeros(3,1);
tic
[ws,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb,[],ws);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

toc

Elapsed time is 0.060411 seconds.

更改目标函数，重新求解问题。

f = [-10;-15;-20];

tic
[ws,fval,exitflag,output,lambda] = quadprog(H,f,A,b,[],[],lb,[],ws);

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

<stopping criteria details>

toc

Elapsed time is 0.010756 seconds.

输入参数

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`H` — 二次目标项
对称实矩阵

二次目标项，指定为对称实矩阵。H 以 1/2*x'*H*x + f'*x 表达式形式表示二次矩阵。如果 H 不对称，quadprog 会发出警告，并改用对称版本 (H + H')/2。

如果二次矩阵 H 为稀疏矩阵，则默认情况下，'interior-point-convex' 算法使用的算法与 H 为稠密矩阵时略有不同。通常，对于大型稀疏问题，稀疏算法更快，对于稠密或小型问题，稠密算法更快。有关详细信息，请参阅 LinearSolver 选项说明和interior-point-convex quadprog 算法。

示例: [2,1;1,3]

数据类型: double

`f` — 线性目标项
实数向量

线性目标项，指定为实数向量。f 表示 1/2*x'*H*x + f'*x 表达式中的线性项。

示例: [1;3;2]

数据类型: double

`A` — 线性不等式约束
实矩阵

线性不等式约束，指定为实矩阵。A 是 M×N 矩阵，其中 M 是不等式的数目，而 N 是变量的数目（x0 中的元素数）。对于大型问题，将 A 作为稀疏矩阵传递。

A 以如下形式编写 M 个线性不等式

A*x <= b,

其中，x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)，b 是具有 M 个元素的列向量。

例如，假设有以下不等式：

x₁ +2x₂ ≤10
3x₁ +4x₂ ≤20
5x₁ +6x₂ ≤30，

通过输入以下约束来指定不等式。

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

示例: 要指定 x 分量总和等于或小于 1，请使用 A = ones(1,N) 和 b = 1。

数据类型: double

`b` — 线性不等式约束
实数向量

线性不等式约束，指定为实数向量。b 是与 A 矩阵相关的包含 M 个元素的向量。如果将 b 作为行向量传递，求解器会在内部将 b 转换为列向量 b(:)。对于大型问题，将 b 作为稀疏向量传递。

b 以如下形式编写 M 个线性不等式

A*x <= b,

其中，x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)，A 是大小为 M×N 的矩阵。

例如，假设有以下不等式：

x₁ + 2x₂ ≤ 10
3x₁ + 4x₂ ≤ 20
5x₁ + 6x₂ ≤ 30。

通过输入以下约束来指定不等式。

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

示例: 要指定 x 分量总和等于或小于 1，请使用 A = ones(1,N) 和 b = 1。

数据类型: double

`Aeq` — 线性等式约束
实矩阵

线性等式约束，指定为实矩阵。Aeq 是 Me×N 矩阵，其中 Me 是等式的数目，而 N 是变量的数目（x0 中的元素数）。对于大型问题，将 Aeq 作为稀疏矩阵传递。

Aeq 以如下形式编写 Me 个线性等式

Aeq*x = beq,

其中，x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)，beq 是具有 Me 个元素的列向量。

例如，假设有以下不等式：

x₁ +2x₂ +3x₃ =10
2x₁ +4x₂ + x₃ =20，

通过输入以下约束来指定不等式。

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

示例: 要指定 x 分量总和为 1，请使用 Aeq = ones(1,N) 和 beq = 1。

数据类型: double

`beq` — 线性等式约束
实数向量

线性等式约束，指定为实数向量。beq 是与 Aeq 矩阵相关的包含 Me 个元素的向量。如果将 beq 作为行向量传递，求解器会在内部将 beq 转换为列向量 beq(:)。对于大型问题，将 beq 作为稀疏向量传递。

beq 以如下形式编写 Me 个线性等式

Aeq*x = beq,

其中，x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)，Aeq 是大小为 Me×N 的矩阵。

例如，请参考以下等式：

x₁ + 2x₂ + 3x₃ = 10
2x₁ + 4x₂ + x₃ = 20。

通过输入以下约束来指定等式。

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

示例: 要指定 x 分量总和为 1，请使用 Aeq = ones(1,N) 和 beq = 1。

数据类型: double

`lb` — 下界
实数向量 | 实数数组

下界，指定为实数向量或实数数组。如果 x0 中的元素数等于 lb 中的元素数，则 lb 指定

x(i) >= lb(i)（对于全部 i）。

如果 numel(lb) < numel(x0)，则 lb 指定

x(i) >= lb(i) (1 <= i <= numel(lb))。

如果 lb 的元素数少于 x0，求解器将发出警告。

示例: 要指定所有 x 分量为正，请使用 lb = zeros(size(x0))。

数据类型: double

`ub` — 上界
实数向量 | 实数数组

上界，指定为实数向量或实数数组。如果 x0 中的元素数等于 ub 中的元素数，则 ub 指定

x(i) <= ub(i)（对于全部 i）。

如果 numel(ub) < numel(x0)，则 ub 指定

x(i) <= ub(i) (1 <= i <= numel(ub))。

如果 ub 的元素数少于 x0，求解器将发出警告。

示例: 要指定 x 的所有分量小于 1，请使用 ub = ones(size(x0))。

数据类型: double

`x0` — 初始点
实数向量

初始点，指定为实数向量。x0 的长度是 H 的行数或列数。

当问题只有边界约束时，x0 适用于 'trust-region-reflective' 算法。x0 也适用于 'active-set' 算法。

注意

x0 是 'active-set' 算法的必需参量。

如果您未指定 x0，quadprog 会将 x0 的所有分量设置为由边界定义的框内部的一个点。对于 'interior-point-convex' 算法和具有等式约束的 'trust-region-reflective' 算法，quadprog 将忽略 x0。

示例: [1;2;1]

数据类型: double

`options` — 优化选项
`optimoptions` 的输出 | 结构体，例如 `optimset` 返回的结构体

优化选项，指定为 optimoptions 的输出或 optimset 等返回的结构体。

optimoptions 显示中缺少某些选项。这些选项在下表中以斜体显示。有关详细信息，请参阅查看优化选项。

所有算法

`Algorithm`	选择算法： `'interior-point-convex'`（默认值） `'trust-region-reflective'` `'active-set'` `'interior-point-convex'` 算法只处理凸问题。`'trust-region-reflective'` 算法处理只有边界或只有线性等式约束的问题，但不处理同时具有两者的问题。`'active-set'` 算法处理不定问题，前提是 `H` 在 `Aeq` 的零空间上的投影是半正定的。有关详细信息，请参阅选择算法。
Diagnostics	显示关于要最小化或求解的函数的诊断信息。选项是 `'on'` 或 `'off'`（默认值）。
`Display`	显示级别（请参阅迭代输出）： `'off'` 或 `'none'` 不显示输出。 `'final'` 仅显示最终输出（默认值）。 `'interior-point-convex'` 和 `'active-set'` 算法允许附加值： `'iter'` 指定迭代输出。 `'iter-detailed'` 指定迭代输出以及详细的退出消息。 `'final-detailed'` 仅显示最终输出以及详细的退出消息。
`MaxIterations`	允许的最大迭代次数；为非负整数。对于 `'trust-region-reflective'` 等式约束问题，默认值为 `2(numberOfVariables – numberOfEqualities)`。 `'active-set'` 的默认值为 `10(numberOfVariables + numberOfConstraints)`。对于所有其他算法和问题，默认值为 `200`。对于 `optimset`，选项名称为 `MaxIter`。请参阅当前选项名称和旧选项名称。
`OptimalityTolerance`	一阶最优性的终止容差；非负标量。对于 `'trust-region-reflective'` 等式约束问题，默认值为 `1e-6`。对于 `'trust-region-reflective'` 边界约束问题，默认值为 `100*eps`，大约为 `2.2204e-14`。对于 `'interior-point-convex'` 和 `'active-set'` 算法，默认值为 `1e-8`。请参阅容差和停止条件。对于 `optimset`，选项名称为 `TolFun`。请参阅当前选项名称和旧选项名称。
`StepTolerance`	`x` 的终止容差；非负标量。对于 `'trust-region-reflective'`，默认值为 `100*eps`，大约为 `2.2204e-14`。对于 `'interior-point-convex'`，默认值为 `1e-12`。对于 `'active-set'`，默认值为 `1e-8`。对于 `optimset`，选项名称为 `TolX`。请参阅当前选项名称和旧选项名称。

仅 'trust-region-reflective' 算法

`FunctionTolerance`	函数值的终止容差；非负标量。默认值取决于问题类型：边界约束问题使用 `100*eps`，线性等式约束问题使用 `1e-6`。请参阅容差和停止条件。对于 `optimset`，选项名称为 `TolFun`。请参阅当前选项名称和旧选项名称。
`HessianMultiplyFcn`	黑塞矩阵乘法函数，指定为函数句柄。对于大规模结构问题，此函数计算黑塞矩阵乘积 `HY`，而并不实际构造 `H`。函数具有以下形式 W = hmfun(Hinfo,Y) 其中 `Hinfo`（可能还有一些附加参数）包含用于计算 `HY` 的矩阵。有关使用此选项的示例，请参阅使用密集、结构化的 Hessian 矩阵进行二次最小化。对于 `optimset`，选项名称为 `HessMult`。请参阅当前选项名称和旧选项名称。
MaxPCGIter	PCG（预条件共轭梯度）迭代的最大次数；正标量。对于边界约束问题，默认值为 `max(1,floor(numberOfVariables/2))`。对于等式约束问题，`quadprog` 将忽略 `MaxPCGIter` 并使用 `MaxIterations` 来限制 PCG 迭代的次数。有关详细信息，请参阅预条件共轭梯度法。
PrecondBandWidth	PCG 的预条件子的上带宽；非负整数。默认情况下，`quadprog` 使用对角预条件（上带宽 `0`）。对于某些问题，增加带宽会减少 PCG 迭代次数。将 `PrecondBandWidth` 设置为 `Inf` 会使用直接分解（乔列斯基分解），而不是共轭梯度 (CG)。直接分解的计算成本较 CG 高，但所得的求解步质量更好。
`SubproblemAlgorithm`	确定迭代步的计算方式。与 `'factorization'` 相比，默认值 `'cg'` 采用的步执行速度更快，但不够准确。请参阅trust-region-reflective quadprog 算法。
TolPCG	PCG 迭代的终止容差：正标量。默认值为 `0.1`。
`TypicalX`	典型的 `x` 值。`TypicalX` 中的元素数等于起点 `x0` 中的元素数。默认值为 `ones(numberOfVariables,1)`。`quadprog` 在内部使用 `TypicalX` 进行缩放。仅当 `x` 具有无界分量且一个无界分量的 `TypicalX` 值超过 `1` 时，`TypicalX` 才会起作用。

仅 'interior-point-convex' 算法

ConstraintTolerance

约束违反值的容差；为非负标量。默认值为 1e-8。

对于 optimset，选项名称为 TolCon。请参阅当前选项名称和旧选项名称。

LinearSolver

算法内部线性求解器的类型：

'auto'（默认值）- 如果 H 矩阵为稀疏矩阵，则使用 'sparse'，否则使用 'dense'。
'sparse' - 使用稀疏线性代数。请参阅稀疏矩阵。
'dense' - 使用稠密线性代数。

仅 'active-set' 算法

ConstraintTolerance

约束违反值的容差；为非负标量。默认值为 1e-8。

对于 optimset，选项名称为 TolCon。请参阅当前选项名称和旧选项名称。

ObjectiveLimit

容差（停止条件），标量。如果目标函数值低于 ObjectiveLimit 并且当前点可行，则迭代停止，因为问题很可能是无界的。默认值为 -1e20。

`problem` — 问题结构体
结构体

问题结构体，指定为具有以下字段的结构体：

`H`	`1/2x'H*x` 中的对称矩阵
`f`	线性项 `f'*x` 中的向量
`Aineq`	线性不等式约束 `Aineq*x` ≤ `bineq` 中的矩阵
`bineq`	线性不等式约束 `Aineq*x` ≤ `bineq` 中的向量
`Aeq`	线性等式约束 `Aeq*x = beq` 中的矩阵
`beq`	线性等式约束 `Aeq*x = beq` 中的向量
`lb`	由下界组成的向量
`ub`	由上界组成的向量
`x0`	`x` 的初始点
`solver`	`'quadprog'`
`options`	使用 `optimoptions` 或 `optimset` 创建的选项

必需字段有 H、f、solver 和 options。在求解时，quadprog 忽略 problem 中上面列出的字段以外的任何字段。

注意

您不能将热启动与 problem 参量结合使用。

数据类型: struct

`ws` — 热启动对象
使用 `optimwarmstart` 创建的对象

热启动对象，指定为使用 optimwarmstart 创建的对象。热启动对象包含起点和选项，以及代码生成中的内存大小数据（可选）。请参阅热启动最佳实践。

示例: ws = optimwarmstart(x0,options)

输出参量

全部折叠

`x` — 解
实数向量

解，以实数向量形式返回。x 是在满足所有边界和线性约束的条件下对 1/2*x'*H*x + f'*x 进行最小化的向量。x 可以是非凸问题的局部最小值。对于凸问题，x 是全局最小值。有关详细信息，请参阅局部最优与全局最优。

`wsout` — 热启动对象求解
`QuadprogWarmStart` 对象

热启动对象求解，以 QuadprogWarmStart 对象形式返回。解点是 wsout.X。

您可以在后续的 quadprog 调用中使用 wsout 作为输入热启动对象。

`fval` — 解处的目标函数值
实数标量

在解处的目标函数值，以实数标量形式返回。fval 是 1/2*x'*H*x + f'*x 在解 x 处的值。

`exitflag` — `quadprog` 停止的原因
整数

quadprog 停止的原因，以下表中所述的整数形式返回。

所有算法
`1`	函数收敛于解 `x`。
`0`	迭代次数超出 `options.MaxIterations`。
`-2`	问题不可行。或者，对于 `'interior-point-convex'`，步长小于 `options.StepTolerance`，但不满足约束。
`-3`	问题无界。
`'interior-point-convex'` 算法
`2`	步长小于 `options.StepTolerance`，也满足约束。
`-6`	检测到非凸问题。
`-8`	无法计算步的方向。
`'trust-region-reflective'` 算法
`4`	找到局部最小值；最小值不唯一。
`3`	目标函数值的变化小于 `options.FunctionTolerance`。
`-4`	当前搜索方向不是下降方向。无法取得进一步进展。
`'active-set'` 算法
`-6`	检测到非凸问题；`H` 在 `Aeq` 的零空间上的投影不是半正定的。

注意

有时，在问题实际无界时，'active-set' 算法会停止并返回退出标志 0。设置更高的迭代限制也会返回退出标志 0。

`output` — 有关优化过程的信息
结构体

有关优化过程的信息，以包含下列字段的结构体形式返回：

`iterations`	执行的迭代次数
`algorithm`	使用的优化算法
`cgiterations`	PCG 迭代总数（仅适用于 `'trust-region-reflective'` 算法）
`constrviolation`	约束函数的最大值
`firstorderopt`	一阶最优性的测度
`linearsolver`	内部线性求解器的类型，`'dense'` 或 `'sparse'`（仅适用于 `'interior-point-convex'` 算法）
`message`	退出消息

`lambda` — 解处的拉格朗日乘数
结构体

在解处的拉格朗日乘数，以包含下列字段的结构体形式返回：

`lower`	下界 `lb`
`upper`	上界 `ub`
`ineqlin`	线性不等式
`eqlin`	线性等式

有关详细信息，请参阅拉格朗日乘数结构体。

算法

全部折叠

`'interior-point-convex'`

'interior-point-convex' 算法尝试遵循严格在约束范围内的路径。它使用预求解模块来消除冗余，并通过求解简单的分量来简化问题。

该算法针对稀疏黑塞矩阵 H 和稠密矩阵有不同的实现。通常，对于大型稀疏问题，稀疏实现更快，对于稠密或小型问题，稠密实现更快。有关详细信息，请参阅interior-point-convex quadprog 算法。

`'trust-region-reflective'`

'trust-region-reflective' 算法基于 [1] 中所述的内部反射牛顿法的子空间信赖域方法。每次迭代都涉及使用预条件共轭梯度法 (PCG) 来近似求解大型线性系统。有关详细信息，请参阅trust-region-reflective quadprog 算法。

`'active-set'`

'active-set' 算法是一种投影方法，类似于 [2] 中所述的方法。算法不是大型算法；请参阅大规模算法与中等规模算法。有关详细信息，请参阅active-set quadprog 算法。

热启动

热启动对象维护先前已求解问题的活动约束列表。求解器将尽可能多地携带活动约束信息来求解当前问题。如果前一个问题与当前问题差异太大，则不会重用任何活动约束集信息。在这种情况下，求解器实际上执行冷启动，以重新构建活动约束列表。

替代功能

App

优化实时编辑器任务为 quadprog 提供可视化界面。

参考

[1] Coleman, T. F., and Y. Li. “A Reflective Newton Method for Minimizing a Quadratic Function Subject to Bounds on Some of the Variables.” SIAM Journal on Optimization. Vol. 6, Number 4, 1996, pp. 1040–1058.

[2] Gill, P. E., W. Murray, and M. H. Wright. Practical Optimization. London: Academic Press, 1981.

[3] Gould, N., and P. L. Toint. “Preprocessing for quadratic programming.” Mathematical Programming. Series B, Vol. 100, 2004, pp. 95–132.

扩展功能

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

quadprog 支持使用 codegen (MATLAB Coder) 函数或 MATLAB^® Coder™ 生成代码。您必须拥有 MATLAB Coder 许可证才能生成代码。
目标硬件必须支持标准双精度浮点计算。您不能为单精度或定点计算生成代码。
代码生成目标与 MATLAB 求解器不使用相同的数学核心函数库。因此，代码生成解可能不同于求解器解，尤其是对于病态问题。
在生成代码时，quadprog 不支持 problem 参量。
```
[x,fval] = quadprog(problem) % Not supported
```
所有 quadprog 输入矩阵（如 A、Aeq、lb 和 ub）都必须是满矩阵，而不能是稀疏矩阵。您可以使用 full 函数将稀疏矩阵转换为满矩阵。
lb 和 ub 参量的条目数必须与 H 中的列数相同，或必须为空 []。
如果您的目标硬件不支持无限边界，请使用 optim.coder.infbound。
对于涉及嵌入式处理器的高级代码优化，您还需要 Embedded Coder^® 许可证。
您必须包括适用于 quadprog 的选项，并使用 optimoptions 指定这些选项。选项中必须包括 Algorithm 并将其设置为 'active-set'。
```
options = optimoptions('quadprog','Algorithm','active-set');
[x,fval,exitflag] = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options);
```
代码生成支持以下选项：
- Algorithm - 必须为 'active-set'
- ConstraintTolerance
- MaxIterations
- ObjectiveLimit
- OptimalityTolerance
- StepTolerance

生成的代码只会对选项进行有限的错误检查。更新选项的推荐方法是使用 optimoptions，而不是圆点表示法。

opts = optimoptions('quadprog','Algorithm','active-set');
opts = optimoptions(opts,'MaxIterations',1e4); % Recommended
opts.MaxIterations = 1e4; % Not recommended

不要从文件中加载选项。否则会导致代码生成失败。请在代码中创建选项。
如果您指定了不受支持的选项，在代码生成过程中通常会忽略该选项。为了获得可靠的结果，请仅指定支持的选项。

有关示例，请参阅为 quadprog 生成代码。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

quadprog

语法

说明

示例

具有线性约束的二次规划

具有线性等式约束的二次规划

具有线性约束和边界的二次最小化

使用非默认选项的二次最小化

基于 prob2struct 的二次问题

返回 quadprog 目标函数值

检查 quadprog 优化过程

返回 quadprog 拉格朗日乘数

返回热启动对象

输入参数

H — 二次目标项 对称实矩阵

f — 线性目标项 实数向量

A — 线性不等式约束 实矩阵

b — 线性不等式约束 实数向量

Aeq — 线性等式约束 实矩阵

beq — 线性等式约束 实数向量

lb — 下界 实数向量 | 实数数组

ub — 上界 实数向量 | 实数数组

x0 — 初始点 实数向量

options — 优化选项 optimoptions 的输出 | 结构体，例如 optimset 返回的结构体

problem — 问题结构体 结构体

ws — 热启动对象 使用 optimwarmstart 创建的对象

输出参量

x — 解 实数向量

wsout — 热启动对象求解 QuadprogWarmStart 对象

fval — 解处的目标函数值 实数标量

exitflag — quadprog 停止的原因 整数

output — 有关优化过程的信息 结构体

lambda — 解处的拉格朗日乘数 结构体

算法

'interior-point-convex'

'trust-region-reflective'

'active-set'

热启动

替代功能

App

参考

扩展功能

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

版本历史记录

另请参阅

主题

WeChat

基于 `prob2struct` 的二次问题

返回 `quadprog` 目标函数值

检查 `quadprog` 优化过程

返回 `quadprog` 拉格朗日乘数

`H` — 二次目标项
对称实矩阵

`f` — 线性目标项
实数向量

`A` — 线性不等式约束
实矩阵

`b` — 线性不等式约束
实数向量

`Aeq` — 线性等式约束
实矩阵

`beq` — 线性等式约束
实数向量

`lb` — 下界
实数向量 | 实数数组

`ub` — 上界
实数向量 | 实数数组

`x0` — 初始点
实数向量

`options` — 优化选项
`optimoptions` 的输出 | 结构体，例如 `optimset` 返回的结构体

`problem` — 问题结构体
结构体

`ws` — 热启动对象
使用 `optimwarmstart` 创建的对象

`x` — 解
实数向量

`wsout` — 热启动对象求解
`QuadprogWarmStart` 对象

`fval` — 解处的目标函数值
实数标量

`exitflag` — `quadprog` 停止的原因
整数

`output` — 有关优化过程的信息
结构体

`lambda` — 解处的拉格朗日乘数
结构体

`'interior-point-convex'`

`'trust-region-reflective'`

`'active-set'`

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。