当求解器可能成功求解时

终点等于初始点

初始点可能是一个局部最小值或解，因为一阶最优性测度接近于 0。您可能对此结果不满意，因为求解器并未改进您的初始点。

如果您不确定初始点是否确实为局部最小值，请尝试：

从不同点开始 - 请参阅更改初始点。
检查您的目标和约束是否正确定义（例如，它们在某些点处是否返回了正确的值？）- 请参阅检查您的目标函数和约束函数。检查以确保不可行点不会导致函数中出现错误；请参阅迭代可能违反约束。
更改容差，例如 OptimalityTolerance、ConstraintTolerance 和 StepTolerance - 请参阅使用适当的容差。
缩放您的问题，使每个坐标具有大致相同的影响 - 请参阅重新缩放问题。
提供梯度和黑塞矩阵信息 - 请参阅提供解析梯度或雅可比矩阵和提供黑塞矩阵。

可能是局部最小值

求解器可能已达到局部最小值，但无法确定，因为一阶最优性测度不小于 OptimalityTolerance 容差。（要了解有关一阶最优性测度的更多信息，请参阅一阶最优性测度。）要查看报告的解是否可靠，请考虑以下建议。

1.非平滑函数

如果您尝试最小化非平滑函数，或具有非平滑约束，“可能是局部最小值”也许是最好的退出消息。这是因为，一阶最优性条件不适用于非平滑点。

为了让自己确信该解是充分的，请尝试检查附近的点。

2.以终点作为起点重新执行优化

如果在终点处重新开始优化，则可以生成具有更好的一阶最优性测度的解。更好（较低）的一阶最优性测度让您更有理由相信解是可靠的。

例如，假设有以下最小化问题，摘自示例使用符号数学和 Optimization Toolbox 求解器：

options = optimoptions('fminunc','Algorithm','quasi-newton');
funh = @(x)log(1 + (x(1) - 4/3)^2 + 3*(x(2) - (x(1)^3 - x(1)))^2);
[xfinal fval exitflag] = fminunc(funh,[-1;2],options)

Local minimum possible.

fminunc stopped because it cannot decrease the 
objective function along the current search direction.

xfinal =
    1.3333
    1.0370

fval =
  8.5265e-014

exitflag =
     5

退出标志值 5 表示一阶最优性测度大于函数容差。从 xfinal 开始再次运行最小化：

[xfinal2 fval2 exitflag2] = fminunc(funh,xfinal,options)

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is 
less than the default value of the function tolerance.

xfinal2 =
    1.3333
    1.0370

fval2 =
  6.5281e-014

exitflag2 =
     1

局部最小值是“找到”，而不是“可能”，exitflag 为 1 而不是 5。这两个解实际上相同。然而，第二次运行有更令人满意的退出消息，因为一阶最优性测度相当低，是 7.5996e-007，而不是 3.9674e-006。

3.尝试不同算法

许多求解器都允许您选择算法。不同的算法可能会导致使用不同的停止条件。

例如，以终点作为起点重新执行优化会返回第一次运行时的 exitflag 5。这次运行使用 quasi-newton 算法。

信赖域算法需要用户提供的梯度。betopt.m 包含目标函数和梯度的计算：

function [f gradf] = betopt(x)

g = 1 + (x(1)-4/3)^2 + 3*(x(2) - (x(1)^3-x(1)))^2;
f = log(g);
gradf(1) = 2*(x(1)-4/3) + 6*(x(2) - (x(1)^3-x(1)))*(1-3*x(1)^2);
gradf(1) = gradf(1)/g;
gradf(2) = 6*(x(2) - (x(1)^3 -x(1)))/g;

使用 trust-region 算法运行优化会生成不同的 exitflag：

options = optimoptions('fminunc','Algorithm','trust-region','SpecifyObjectiveGradient',true);
[xfinal3 fval3 exitflag3] = fminunc(@betopt,[-1;2],options)

Local minimum possible.

fminunc stopped because the final change in function value 
relative to its initial value is less than the default value 
of the function tolerance.

xfinal3 =
    1.3333
    1.0370

fval3 =
  7.6659e-012

exitflag3 =
     3

退出条件优于 quasi-newton 条件，尽管前者仍不是最佳条件。从终点重新运行该算法会产生更好的点，其一阶最优性测度极小：

[xfinal4 fval4 eflag4 output4] = fminunc(@betopt,xfinal3,options)

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is 
less than the default value of the function tolerance.

xfinal4 =

    1.3333
    1.0370

fval4 =
     0

eflag4 =
     1

output4 = 
         iterations: 1
          funcCount: 2
       cgiterations: 1
      firstorderopt: 7.5497e-11
          algorithm: 'trust-region'
            message: 'Local minimum found.

Optimization completed because the size o...'
    constrviolation: []

4.更改容差

有时，收紧或放松容差会产生更令人满意的结果。例如，在尝试不同算法部分中选择较小的 OptimalityTolerance 值：

options = optimoptions('fminunc','Algorithm','trust-region',...
    'OptimalityTolerance',1e-8,'SpecifyObjectiveGradient',true); % default=1e-6
[xfinal3 fval3 eflag3 output3] = fminunc(@betopt,[-1;2],options)

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is 
less than the selected value of the function tolerance.

xfinal3 =
    1.3333
    1.0370

fval3 =
     0

eflag3 =
     1

output3 = 
         iterations: 15
          funcCount: 16
       cgiterations: 12
      firstorderopt: 7.5497e-11
          algorithm: 'trust-region'
            message: 'Local minimum found.

Optimization completed because the size...'
    constrviolation: []

fminunc 比以前多进行了一次迭代，但得到的解更好。

5.重新缩放问题

尝试通过缩放和中心化，让每个坐标对目标函数和约束函数的影响大致相同。有关示例，请参阅中心化和缩放问题。

6.检查附近的点

在接近终点的点处计算您的目标函数和约束（如果它们存在）。如果终点是局部最小值，附近的可行点具有较大的目标函数值。有关示例，请参阅检查附近的点。

如果您有 Global Optimization Toolbox 许可证，请尝试从终点运行 patternsearch (Global Optimization Toolbox) 求解器。patternsearch 会检查附近的点，并接受所有类型的约束。

7.更改有限差分选项

中心有限差分计算起来更费时，但更精确。当您的问题可能有高曲率时，请使用中心差分。

要在命令行中选择中心差分，请使用 optimoptions 将 'FiniteDifferenceType' 设置为 'central'，而不是默认值 'forward'。

8.提供解析梯度或雅可比矩阵

如果不提供梯度或雅可比矩阵，求解器会通过有限差分来估计梯度和雅可比矩阵。因此，提供这些导数可以节省计算时间，并可以提高准确度。基于问题的方法可以自动提供梯度；请参阅 Optimization Toolbox 中的自动微分。

对于约束问题，提供梯度还有另一个优势。求解器可以到达点 x，这说明 x 是可行点，但 x 附近的有限差分总是导致不可行点。在这种情况下，求解器可能会失败或过早停止。提供梯度可允许求解器继续。

在文件中为目标函数和非线性约束函数提供梯度或雅可比矩阵。有关语法的详细信息，请参阅编写标量目标函数、编写向量和矩阵目标函数和非线性约束。

要检查梯度或雅可比函数是否正确，请使用 checkGradients 函数，如检查梯度或雅可比矩阵的有效性中所述。

如果您有 Symbolic Math Toolbox™ 许可证，您可以通过编程方式计算梯度和黑塞矩阵。有关示例，请参阅使用 Symbolic Math Toolbox 计算梯度和 Hessian。

有关使用梯度和雅可比矩阵的示例，请参阅使用梯度和黑塞矩阵的最小化、带梯度的非线性约束、使用 Symbolic Math Toolbox 计算梯度和 Hessian、求解不含和含雅可比矩阵的非线性系统和具有雅可比矩阵的大型稀疏非线性方程组。对于基于问题的方法中的自动微分，请参阅自动微分在基于问题的优化中的作用。

9.提供黑塞矩阵

当您提供黑塞矩阵时，求解器的运行通常更可靠，迭代次数也更少。

以下求解器和算法接受黑塞矩阵：

fmincon interior-point.将黑塞矩阵编写为一个单独的函数。有关示例，请参阅使用解析黑塞函数的 fmincon 内点算法。
fmincon trust-region-reflective.通过目标函数的第三个输出给出黑塞矩阵。有关示例，请参阅使用密集结构 Hessian 和线性等式进行最小化。
fminunc trust-region.通过目标函数的第三个输出给出黑塞矩阵。有关示例，请参阅使用梯度和黑塞矩阵的最小化。

如果您有 Symbolic Math Toolbox 许可证，您可以通过编程方式计算梯度和黑塞矩阵。有关示例，请参阅使用 Symbolic Math Toolbox 计算梯度和 Hessian。要在基于问题的方法中提供黑塞矩阵，请参阅基于问题的工作流中的供应衍生品。

使用 Symbolic Math Toolbox 计算梯度和 Hessian中的示例说明 fmincon 在没有黑塞矩阵的情况下进行 77 次迭代，但在有黑塞矩阵的情况下只进行 19 次迭代。