非线性约束

一些优化求解器接受非线性约束，包括 fmincon、fseminf、fgoalattain、fminimax，以及 Global Optimization Toolbox 求解器 ga (Global Optimization Toolbox)、gamultiobj (Global Optimization Toolbox)、patternsearch (Global Optimization Toolbox)、paretosearch (Global Optimization Toolbox)、GlobalSearch (Global Optimization Toolbox) 和 MultiStart (Global Optimization Toolbox)。非线性约束允许您将解约束在可以用平滑函数描述的任何区域内。

非线性不等式约束的形式为 c(x) ≤ 0，其中 c 是约束组成的向量，每个约束对应一个分量。同样，非线性等式约束的形式为 ceq(x) = 0。

注意

非线性约束函数必须同时返回 c 和 ceq，即不等式和等式约束函数，即使它们并不都存在也会返回。对于不存在的约束，返回空条目 []。

例如，假设您有以下不等式作为约束：

$\begin{matrix} \frac{x_{1}^{2}}{9} + \frac{x_{2}^{2}}{4} \leq 1, \\ x_{2} \geq x_{1}^{2} - 1. \end{matrix}$

请按如下所示在函数文件中编写这些约束：

function [c,ceq] = ellipseparabola(x)
c(1) = (x(1)^2)/9 + (x(2)^2)/4 - 1;
c(2) = x(1)^2 - x(2) - 1;
ceq = [];
end

ellipseparabola 为非线性等式约束函数 ceq 返回空条目 []。同样，需要将第二个不等式重写为 ≤ 0 形式。

在 ellipseparabola 约束条件下最小化 exp(x(1) + 2*x(2)) 函数。

fun = @(x)exp(x(1) + 2*x(2));
nonlcon = @ellipseparabola;
x0 = [0 0];
A = []; % No other constraints
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x =

   -0.2500   -0.9375

在约束函数中包含梯度

如果您为 c 和 ceq 提供梯度，求解器的运行速度可以更快，提供的结果更可靠。

提供梯度还有另一项优势。求解器可以到达点 x，这说明 x 是可行点，但 x 附近的有限差分总是导致不可行点。在这种情况下，求解器可能会失败或过早停止。提供梯度可允许求解器继续。

要包含梯度信息，请编写一个条件化函数，如下所示：

function [c,ceq,gradc,gradceq] = ellipseparabola(x)
c(1) = x(1)^2/9 + x(2)^2/4 - 1;
c(2) = x(1)^2 - x(2) - 1;
ceq = [];

if nargout > 2
    gradc = [2*x(1)/9, 2*x(1); ...
             x(2)/2, -1];
    gradceq = [];
end

请参阅编写标量目标函数了解有关条件化函数的信息。梯度矩阵具有以下形式

gradc_{i, j} = [∂c(j)/∂x_i]。

梯度矩阵的第一列与 c(1) 相关联，第二列与 c(2) 相关联。这种导数形式是雅可比矩阵形式的转置。

要让求解器使用非线性约束的梯度，请使用 optimoptions 指示这些梯度的存在：

options = optimoptions(@fmincon,'SpecifyConstraintGradient',true);

确保将 options 结构体传递给求解器：

[x,fval] = fmincon(@myobj,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub, ...
           @ellipseparabola,options)

如果您有 Symbolic Math Toolbox™ 许可证，您可以自动计算梯度和黑塞矩阵，如Calculate Gradients and Hessians Using Symbolic Math Toolbox中所述。

匿名非线性约束函数

打开实时脚本

非线性约束函数必须返回两个输出。第一个输出对应于非线性不等式，第二个输出对应于非线性等式。

匿名函数只返回一个输出。那么该如何将匿名函数写成非线性约束呢？

deal 函数分配多个输出。例如，假设您有非线性不等式

$\begin{array}{c} \frac{x_{1}^{2}}{9} + \frac{x_{2}^{2}}{4} \leq 1, \\ x_{2} \geq x_{1}^{2} - 1 . \end{array}$

假设您有非线性等式

$x_{2} = \tanh (x_{1})$ .

请编写一个如下所示的非线性约束函数。

c = @(x)[x(1)^2/9 + x(2)^2/4 - 1;
        x(1)^2 - x(2) - 1];
ceq = @(x)tanh(x(1)) - x(2);
nonlinfcn = @(x)deal(c(x),ceq(x));

要在满足 nonlinfcn 约束的条件下最小化 $\cosh (x_{1}) + \sinh (x_{2})$ 函数，请使用 fmincon。

obj = @(x)cosh(x(1))+sinh(x(2));
opts = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','sqp');
z = fmincon(obj,[0;0],[],[],[],[],[],[],nonlinfcn,opts)

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.