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非线性约束

一些优化求解器接受非线性约束,包括 fminconfseminffgoalattainfminimax,以及 Global Optimization Toolbox 求解器 ga (Global Optimization Toolbox)gamultiobj (Global Optimization Toolbox)patternsearch (Global Optimization Toolbox)paretosearch (Global Optimization Toolbox)GlobalSearch (Global Optimization Toolbox)MultiStart (Global Optimization Toolbox)。非线性约束允许您将解约束在可以用平滑函数描述的任何区域内。

非线性不等式约束的形式为 c(x) ≤ 0,其中 c 是约束组成的向量,每个约束对应一个分量。同样,非线性等式约束的形式为 ceq(x) = 0

注意

非线性约束函数必须同时返回 cceq,即不等式和等式约束函数,即使它们并不都存在也会返回。对于不存在的约束,返回空条目 []

例如,假设您有以下不等式作为约束:

x129+x2241,x2x121.

请按如下所示在函数文件中编写这些约束:

function [c,ceq] = ellipseparabola(x)
c(1) = (x(1)^2)/9 + (x(2)^2)/4 - 1;
c(2) = x(1)^2 - x(2) - 1;
ceq = [];
end
ellipseparabola 为非线性等式约束函数 ceq 返回空条目 []。同样,需要将第二个不等式重写为 ≤ 0 形式。

ellipseparabola 约束条件下最小化 exp(x(1) + 2*x(2)) 函数。

fun = @(x)exp(x(1) + 2*x(2));
nonlcon = @ellipseparabola;
x0 = [0 0];
A = []; % No other constraints
b = [];
Aeq = [];
beq = [];
lb = [];
ub = [];
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x =

   -0.2500   -0.9375

在约束函数中包含梯度

如果您为 c 和 ceq 提供梯度,求解器的运行速度可以更快,提供的结果更可靠。

提供梯度还有另一项优势。求解器可以到达点 x,这说明 x 是可行点,但 x 附近的有限差分总是导致不可行点。在这种情况下,求解器可能会失败或过早停止。提供梯度可允许求解器继续。

要包含梯度信息,请编写一个条件化函数,如下所示:

function [c,ceq,gradc,gradceq] = ellipseparabola(x)
c(1) = x(1)^2/9 + x(2)^2/4 - 1;
c(2) = x(1)^2 - x(2) - 1;
ceq = [];

if nargout > 2
    gradc = [2*x(1)/9, 2*x(1); ...
             x(2)/2, -1];
    gradceq = [];
end

请参阅编写标量目标函数了解有关条件化函数的信息。梯度矩阵具有以下形式

gradci, j = [∂c(j)/∂xi]。

梯度矩阵的第一列与 c(1) 相关联,第二列与 c(2) 相关联。这种导数形式是 Jacobian 矩阵形式的转置。

要让求解器使用非线性约束的梯度,请使用 optimoptions 指示这些梯度的存在:

options = optimoptions(@fmincon,'SpecifyConstraintGradient',true);

确保将选项结构体传递给求解器:

[x,fval] = fmincon(@myobj,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub, ...
           @ellipseparabola,options)

如果您有 Symbolic Math Toolbox™ 许可证,您可以自动计算梯度和 Hessian 矩阵,如 Calculate Gradients and Hessians Using Symbolic Math Toolbox™中所述。

匿名非线性约束函数

非线性约束函数必须返回两个输出。第一个输出对应于非线性不等式,第二个输出对应于非线性等式。

匿名函数只返回一个输出。那么该如何将匿名函数写成非线性约束呢?

deal 函数分配多个输出。例如,假设您有非线性不等式

x129+x2241,x2x12-1.

假设您有非线性等式

x2=tanh(x1)

请编写一个如下所示的非线性约束函数。

c = @(x)[x(1)^2/9 + x(2)^2/4 - 1;
        x(1)^2 - x(2) - 1];
ceq = @(x)tanh(x(1)) - x(2);
nonlinfcn = @(x)deal(c(x),ceq(x));

要在满足 nonlinfcn 约束的条件下最小化 cosh(x1) + sinh(x2) 函数,请使用 fmincon

obj = @(x)cosh(x(1))+sinh(x(2));
opts = optimoptions(@fmincon,'Algorithm','sqp');
z = fmincon(obj,[0;0],[],[],[],[],[],[],nonlinfcn,opts)
Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
z = 2×1

   -0.6530
   -0.5737

要检查得到的点 z 满足约束的程度,请使用 nonlinfcn

[cout,ceqout] = nonlinfcn(z)
cout = 2×1

   -0.8704
         0

ceqout = 1.1102e-16

z 在约束容差 ConstraintTolerance 默认值 1e-6 范围内满足所有约束。

有关匿名目标函数的信息,请参阅匿名函数目标

另请参阅

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