fmincon
寻找约束非线性多变量函数的最小值
语法
说明
非线性规划求解器。
求以下问题的最小值:
b 和 beq 是向量,A 和 Aeq 是矩阵,c(x) 和 ceq(x) 是返回向量的函数,f(x) 是返回标量的函数。f(x)、c(x) 和 ceq(x) 可以是非线性函数。
x、lb 和 ub 可以作为向量或矩阵传递;请参阅矩阵参量。
对 x
= fmincon(fun
,x0
,A
,b
,Aeq
,beq
,lb
,ub
)x
中的设计变量定义一组下界和上界,使解始终在 lb
≤ x
≤ ub
范围内。如果不存在等式,请设置 Aeq = []
和 beq = []
。如果 x(i)
无下界,请设置 lb(i) = -Inf
,如果 x(i)
无上界,请设置 ub(i) = Inf
。
注意
如果为问题指定的输入边界不一致,fmincon
会引发错误。这种情况下,输出 x
为 x0
,fval
为 []
。
对于默认的 'interior-point'
算法,fmincon
将违反边界 lb ≤ x ≤ ub
或等于某一边界的 x0
分量重置到边界区域内部。对于 'trust-region-reflective'
算法,fmincon
将违反边界的分量重置到边界区域内部。对于其他算法,fmincon
将违反边界的分量重置为最近边界的值。遵守边界的分量不会更改。请参阅迭代可能违反约束。
示例
线性不等式约束
在具有线性不等式约束的情况下求罗森布罗克函数的最小值。
将目标函数 fun
设置为罗森布罗克函数。众所周知,Rosenbrock 函数很难实现最小化。它在点 (1,1) 处的最小目标值为 0。有关详细信息,请参阅使用优化实时编辑器任务或求解器的有约束非线性问题。
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
从点 [-1,2]
开始求最小值,约束为 。以 A = [1,2]
和 b = 1
为条件,以 Ax <= b
形式表达此约束。请注意,此约束意味着解不会在无约束解 (1,1) 处,因为在此点处 。
x0 = [-1,2]; A = [1,2]; b = 1; x = fmincon(fun,x0,A,b)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.5022 0.2489
线性不等式和等式约束
在既有线性不等式约束又有线性等式约束的情况下求罗森布罗克函数的最小值。
将目标函数 fun
设置为罗森布罗克函数。
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
从点 [0.5,0]
开始求最小值,约束为 和 。
以
A = [1,2]
和b = 1
为条件,以A*x <= b
形式表达线性不等式约束。以
Aeq = [2,1]
和beq = 1
为条件,以Aeq*x = beq
形式表达线性等式约束。
x0 = [0.5,0]; A = [1,2]; b = 1; Aeq = [2,1]; beq = 1; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.4149 0.1701
具有边界约束的最小化
在存在边界约束的情况下,求目标函数的最小值。
目标函数是具有两个变量的简单代数函数。
fun = @(x)1+x(1)/(1+x(2)) - 3*x(1)*x(2) + x(2)*(1+x(1));
关注 为正值且满足 和 的区域。
lb = [0,0]; ub = [1,2];
该问题没有线性约束,因此将这些参量设置为 []
。
A = []; b = []; Aeq = []; beq = [];
尝试使用一个位于区域中部的初始点。
x0 = (lb + ub)/2;
求解。
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
1.0000 2.0000
使用另一个初始点会得到不同的解。
x0 = x0/5; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
10-6 ×
0.4000 0.4000
要确定哪个解更好,请参阅获得目标函数值。
非线性约束
在非线性约束下求函数的最小值
在边界约束下求罗森布罗克函数在圆内最小的点。
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2;
在区域 、 内寻找。
lb = [0,0.2]; ub = [0.5,0.8];
同时在以 [1/3,1/3] 为圆心、半径为 1/3 的圆内寻找。将以下代码复制到您的 MATLAB® 路径上名为 circlecon.m
的文件中。
% Copyright 2015 The MathWorks, Inc. function [c,ceq] = circlecon(x) c = (x(1)-1/3)^2 + (x(2)-1/3)^2 - (1/3)^2; ceq = [];
没有线性约束,因此将这些参量设置为 []
。
A = []; b = []; Aeq = []; beq = [];
选择一个满足所有约束的初始点。
x0 = [1/4,1/4];
求解。
nonlcon = @circlecon; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance. x = 0.5000 0.2500
非默认选项
设置选项以在迭代期间查看输出信息并使用不同算法。
要观察 fmincon
求解过程,请将 Display
选项设置为 'iter'
。此外,尝试 'sqp'
算法,该算法有时比默认的 'interior-point'
算法更快或更准确。
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp');
在单位圆盘 上求罗森布罗克函数的最小值。首先创建一个表示非线性约束的函数。将此函数保存为 MATLAB® 路径上名为 unitdisk.m
的文件。
type unitdisk.m
function [c,ceq] = unitdisk(x) c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1; ceq = [];
创建其余的问题设定。然后运行 fmincon
。
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = []; ub = []; nonlcon = @unitdisk; x0 = [0,0]; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
Iter Func-count Fval Feasibility Step Length Norm of First-order step optimality 0 3 1.000000e+00 0.000e+00 1.000e+00 0.000e+00 2.000e+00 1 12 8.913011e-01 0.000e+00 1.176e-01 2.353e-01 1.107e+01 2 22 8.047847e-01 0.000e+00 8.235e-02 1.900e-01 1.330e+01 3 28 4.197517e-01 0.000e+00 3.430e-01 1.217e-01 6.172e+00 4 31 2.733703e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.254e-02 5.705e-01 5 34 2.397111e-01 0.000e+00 1.000e+00 7.498e-02 3.164e+00 6 37 2.036002e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.960e-02 3.106e+00 7 40 1.164353e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.459e-01 1.059e+00 8 43 1.161753e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.754e-01 7.383e+00 9 46 5.901602e-02 0.000e+00 1.000e+00 1.547e-02 7.278e-01 10 49 4.533081e-02 2.898e-03 1.000e+00 5.393e-02 1.252e-01 11 52 4.567454e-02 2.225e-06 1.000e+00 1.492e-03 1.679e-03 12 55 4.567481e-02 4.386e-12 1.000e+00 2.095e-06 1.502e-05 13 58 4.567481e-02 0.000e+00 1.000e+00 2.193e-12 1.406e-05 Local minimum possible. Constraints satisfied. fmincon stopped because the size of the current step is less than the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.7864 0.6177
有关迭代输出的详细信息,请参阅迭代输出。
使用梯度
将梯度计算加入目标函数中,以实现更快或更可靠的计算。
将梯度计算作为条件化输出包含在目标函数文件中。有关详细信息,请参阅包括梯度和黑塞函数。目标函数是罗森布罗克函数,
它有梯度
function [f,g] = rosenbrockwithgrad(x) % Calculate objective f f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; if nargout > 1 % gradient required g = [-400*(x(2)-x(1)^2)*x(1)-2*(1-x(1)); 200*(x(2)-x(1)^2)]; end
将此代码保存为 MATLAB® 路径上名为 rosenbrockwithgrad.m
的文件。
创建使用目标函数梯度的选项。
options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true);
为问题创建其他输入。然后调用 fmincon
。
fun = @rosenbrockwithgrad; x0 = [-1,2]; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = [-2,-2]; ub = [2,2]; nonlcon = []; x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance. x = 1.0000 1.0000
使用问题结构体
使用问题结构体而不是单独的参量来求解与非默认选项中相同的问题。
创建选项以及一个问题结构体。有关字段名称和必需的字段,请参阅problem。
options = optimoptions('fmincon','Display','iter','Algorithm','sqp'); problem.options = options; problem.solver = 'fmincon'; problem.objective = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; problem.x0 = [0,0];
非线性约束函数 unitdisk
出现在此示例末尾。在 problem
中包含该非线性约束函数。
problem.nonlcon = @unitdisk;
求解。
x = fmincon(problem)
Iter Func-count Fval Feasibility Step Length Norm of First-order step optimality 0 3 1.000000e+00 0.000e+00 1.000e+00 0.000e+00 2.000e+00 1 12 8.913011e-01 0.000e+00 1.176e-01 2.353e-01 1.107e+01 2 22 8.047847e-01 0.000e+00 8.235e-02 1.900e-01 1.330e+01 3 28 4.197517e-01 0.000e+00 3.430e-01 1.217e-01 6.172e+00 4 31 2.733703e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.254e-02 5.705e-01 5 34 2.397111e-01 0.000e+00 1.000e+00 7.498e-02 3.164e+00 6 37 2.036002e-01 0.000e+00 1.000e+00 5.960e-02 3.106e+00 7 40 1.164353e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.459e-01 1.059e+00 8 43 1.161753e-01 0.000e+00 1.000e+00 1.754e-01 7.383e+00 9 46 5.901602e-02 0.000e+00 1.000e+00 1.547e-02 7.278e-01 10 49 4.533081e-02 2.898e-03 1.000e+00 5.393e-02 1.252e-01 11 52 4.567454e-02 2.225e-06 1.000e+00 1.492e-03 1.679e-03 12 55 4.567481e-02 4.386e-12 1.000e+00 2.095e-06 1.502e-05 13 58 4.567481e-02 0.000e+00 1.000e+00 2.193e-12 1.406e-05 Local minimum possible. Constraints satisfied. fmincon stopped because the size of the current step is less than the value of the step size tolerance and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
0.7864 0.6177
迭代输出和解与在非默认选项中的相同。
以下代码创建 unitdisk
函数。
function [c,ceq] = unitdisk(x) c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1; ceq = []; end
获得目标函数值
带 fval
输出调用 fmincon
,以获得解处的目标函数值。
具有边界约束的最小化示例给出了两个解。哪个更好?运行以下示例,它请求 fval
输出和解。
fun = @(x)1+x(1)./(1+x(2)) - 3*x(1).*x(2) + x(2).*(1+x(1)); lb = [0,0]; ub = [1,2]; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; x0 = (lb + ub)/2; [x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 1×2
1.0000 2.0000
fval = -0.6667
使用另一个起点 x0
运行问题。
x0 = x0/5; [x2,fval2] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x2 = 1×2
10-6 ×
0.4000 0.4000
fval2 = 1.0000
此解的目标函数值 fval2
= 1,高于第一个值 fval
= –0.6667。第一个解 x
具有较低的目标函数局部最小值。
使用额外输出检查解
要轻松检查解的质量,可请求 exitflag
和 output
输出。
设立一个在单位圆盘 上最小化罗森布罗克函数的问题。首先创建一个表示非线性约束的函数。将此函数保存为 MATLAB® 路径上名为 unitdisk.m
的文件。
function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];
创建其余的问题设定。
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; nonlcon = @unitdisk; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = []; ub = []; x0 = [0,0];
使用 fval
、exitflag
和 output
输出调用 fmincon
。
[x,fval,exitflag,output] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance. x = 0.7864 0.6177 fval = 0.0457 exitflag = 1 output = struct with fields: iterations: 24 funcCount: 84 constrviolation: 0 stepsize: 6.9162e-06 algorithm: 'interior-point' firstorderopt: 2.4373e-08 cgiterations: 4 message: 'Local minimum found that satisfies the constraints....' bestfeasible: [1x1 struct]
exitflag
值1
表示该解是局部最小值。output
结构体报告有关求解过程的几个统计量。具体来说,它在output.iterations
中给出迭代次数,在output.funcCount
中给出函数计算次数,以及在output.constrviolation
中给出可行性。
获取所有输出
fmincon
可以返回几个输出,您可以使用这些输出来分析报告的解。
设立一个在单位圆盘上最小化罗森布罗克函数的问题。首先创建一个表示非线性约束的函数。将此函数保存为 MATLAB® 路径上名为 unitdisk.m
的文件。
function [c,ceq] = unitdisk(x)
c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
ceq = [];
创建其余的问题设定。
fun = @(x)100*(x(2)-x(1)^2)^2 + (1-x(1))^2; nonlcon = @unitdisk; A = []; b = []; Aeq = []; beq = []; lb = []; ub = []; x0 = [0,0];
请求所有 fmincon
输出。
[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
Local minimum found that satisfies the constraints. Optimization completed because the objective function is non-decreasing in feasible directions, to within the value of the optimality tolerance, and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance. x = 0.7864 0.6177 fval = 0.0457 exitflag = 1 output = struct with fields: iterations: 24 funcCount: 84 constrviolation: 0 stepsize: 6.9162e-06 algorithm: 'interior-point' firstorderopt: 2.4373e-08 cgiterations: 4 message: 'Local minimum found that satisfies the constraints....' bestfeasible: [1x1 struct] lambda = struct with fields: eqlin: [0x1 double] eqnonlin: [0x1 double] ineqlin: [0x1 double] lower: [2x1 double] upper: [2x1 double] ineqnonlin: 0.1215 grad = -0.1911 -0.1501 hessian = 497.2903 -314.5589 -314.5589 200.2392
lambda.ineqnonlin
输出显示非线性约束在解处为活动状态,并给出相关联的拉格朗日乘数的值。grad
输出给出了在解x
处目标函数梯度的值。fmincon黑塞函数 中描述了
hessian
输出。
输入参数
fun
— 要计算最小值的函数
函数句柄 | 函数名称
要计算最小值的函数,指定为函数句柄或函数名称。fun
函数接受向量或数组 x
,并返回实数标量 f
,即在 x
处计算的目标函数值。
fmincon
以 x0
参量的形状将 x
传递给目标函数和任何非线性约束函数。例如,如果 x0
是 5×3 数组,则 fmincon
将 x
以 5×3 数组的形式传递给 fun
。但是,在将 x
转换为列向量 x(:)
后,fmincon
会将线性约束矩阵 A
或 Aeq
乘以 x
。
将 fun
指定为文件的函数句柄:
x = fmincon(@myfun,x0,A,b)
其中 myfun
是一个 MATLAB® 函数,例如
function f = myfun(x) f = ... % Compute function value at x
您还可以为匿名函数指定 fun
作为函数句柄:
x = fmincon(@(x)norm(x)^2,x0,A,b);
如果您可以计算 fun
的梯度且 SpecifyObjectiveGradient
选项设置为 true
,设置如下
options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true)
fun
必须在第二个输出参量中返回梯度向量 g(x)
。
如果您还可以计算黑塞矩阵,并通过 optimoptions
将 HessianFcn
选项设置为 'objective'
,且将 Algorithm
选项设置为 'trust-region-reflective'
,则 fun
必须在第三个输出参量中返回黑塞函数值 H(x)
,它是一个对称矩阵。fun
可以给出稀疏黑塞矩阵。有关详细信息,请参阅适用于 fminunc 信赖域或 fmincon 信赖域反射算法的黑塞函数。
如果您还可以计算黑塞矩阵,并且 Algorithm
选项设置为 'interior-point'
,则有另一种方法将黑塞矩阵传递给 fmincon
。有关详细信息,请参阅适用于 fmincon 内点算法的黑塞函数。有关使用 Symbolic Math Toolbox™ 计算梯度和黑塞矩阵的示例,请参阅使用 Symbolic Math Toolbox 计算梯度和 Hessian。
interior-point
和 trust-region-reflective
算法允许您提供黑塞矩阵乘法函数。此函数给出黑塞乘以向量的乘积结果,而不直接计算黑塞矩阵。这可以节省内存。请参阅黑塞矩阵乘法函数。
示例: fun = @(x)sin(x(1))*cos(x(2))
数据类型: char
| function_handle
| string
x0
— 初始点
实数向量 | 实数数组
A
— 线性不等式约束
实矩阵
线性不等式约束,指定为实矩阵。A
是 M
×N
矩阵,其中 M
是不等式的数目,而 N
是变量的数目(x0
中的元素数)。对于大型问题,将 A
作为稀疏矩阵传递。
A
以如下形式编写 M
个线性不等式
A*x <= b
,
其中,x
是由 N
个变量组成的列向量 x(:)
,b
是具有 M
个元素的列向量。
例如,假设有以下不等式:
x1 +2x2 ≤10
3x1 +4x2 ≤20
5x1 +6x2 ≤30,
通过输入以下约束来指定不等式。
A = [1,2;3,4;5,6]; b = [10;20;30];
示例: 要指定 x 分量总和等于或小于 1,请使用 A = ones(1,N)
和 b = 1
。
数据类型: double
b
— 线性不等式约束
实数向量
线性不等式约束,指定为实数向量。b
是与 A
矩阵相关的包含 M
个元素的向量。如果将 b
作为行向量传递,求解器会在内部将 b
转换为列向量 b(:)
。对于大型问题,将 b
作为稀疏向量传递。
b
以如下形式编写 M
个线性不等式
A*x <= b
,
其中,x
是由 N
个变量组成的列向量 x(:)
,A
是大小为 M
×N
的矩阵。
例如,假设有以下不等式:
x1 + 2x2 ≤ 10
3x1 + 4x2 ≤ 20
5x1 + 6x2 ≤ 30。
通过输入以下约束来指定不等式。
A = [1,2;3,4;5,6]; b = [10;20;30];
示例: 要指定 x 分量总和等于或小于 1,请使用 A = ones(1,N)
和 b = 1
。
数据类型: double
Aeq
— 线性等式约束
实矩阵
线性等式约束,指定为实矩阵。Aeq
是 Me
×N
矩阵,其中 Me
是等式的数目,而 N
是变量的数目(x0
中的元素数)。对于大型问题,将 Aeq
作为稀疏矩阵传递。
Aeq
以如下形式编写 Me
个线性等式
Aeq*x = beq
,
其中,x
是由 N
个变量组成的列向量 x(:)
,beq
是具有 Me
个元素的列向量。
例如,假设有以下不等式:
x1 +2x2 +3x3 =10
2x1 +4x2 + x3 =20,
通过输入以下约束来指定不等式。
Aeq = [1,2,3;2,4,1]; beq = [10;20];
示例: 要指定 x 分量总和为 1,请使用 Aeq = ones(1,N)
和 beq = 1
。
数据类型: double
beq
— 线性等式约束
实数向量
线性等式约束,指定为实数向量。beq
是与 Aeq
矩阵相关的包含 Me
个元素的向量。如果将 beq
作为行向量传递,求解器会在内部将 beq
转换为列向量 beq(:)
。对于大型问题,将 beq
作为稀疏向量传递。
beq
以如下形式编写 Me
个线性等式
Aeq*x = beq
,
其中,x
是由 N
个变量组成的列向量 x(:)
,Aeq
是大小为 Me
×N
的矩阵。
例如,请参考以下等式:
x1 + 2x2 + 3x3 = 10
2x1 + 4x2 + x3 = 20。
通过输入以下约束来指定等式。
Aeq = [1,2,3;2,4,1]; beq = [10;20];
示例: 要指定 x 分量总和为 1,请使用 Aeq = ones(1,N)
和 beq = 1
。
数据类型: double
lb
— 下界
实数向量 | 实数数组
下界,指定为实数向量或实数数组。如果 x0
中的元素数等于 lb
中的元素数,则 lb
指定
x(i) >= lb(i)
(对于全部 i
)。
如果 numel(lb) < numel(x0)
,则 lb
指定
x(i) >= lb(i)
(1 <= i <= numel(lb)
)。
如果 lb
的元素数少于 x0
,求解器将发出警告。
示例: 要指定所有 x 分量为正,请使用 lb = zeros(size(x0))
。
数据类型: double
ub
— 上界
实数向量 | 实数数组
上界,指定为实数向量或实数数组。如果 x0
中的元素数等于 ub
中的元素数,则 ub
指定
x(i) <= ub(i)
(对于全部 i
)。
如果 numel(ub) < numel(x0)
,则 ub
指定
x(i) <= ub(i)
(1 <= i <= numel(ub)
)。
如果 ub
的元素数少于 x0
,求解器将发出警告。
示例: 要指定 x 的所有分量小于 1,请使用 ub = ones(size(x0))
。
数据类型: double
nonlcon
— 非线性约束
函数句柄 | 函数名称
非线性约束,指定为函数句柄或函数名称。nonlcon
函数接受向量或数组 x
,并返回两个数组 c(x)
和 ceq(x)
。
c(x)
是由x
处的非线性不等式约束组成的数组。fmincon
尝试满足对于
c
的所有项,有c(x) <= 0
。ceq(x)
是由x
处的非线性等式约束组成的数组。fmincon
尝试满足对于
ceq
的所有项,有ceq(x) = 0
。
例如,
x = fmincon(@myfun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@mycon)
其中 mycon
是一个 MATLAB 函数,例如
function [c,ceq] = mycon(x) c = ... % Compute nonlinear inequalities at x. ceq = ... % Compute nonlinear equalities at x.
SpecifyConstraintGradient
选项是 true
,设置如下:options = optimoptions('fmincon','SpecifyConstraintGradient',true)
nonlcon
还必须在第三个输出参量 GC
中返回 c(x)
的梯度,在第四个输出参量 GCeq
中返回 ceq(x)
的梯度。GC
和 GCeq
可以是稀疏的或稠密的。如果 GC
或 GCeq
较大,非零项相对较少,则通过将它们表示为稀疏矩阵,可以节省 interior-point
算法的运行时间和内存使用量。有关详细信息,请参阅非线性约束。
数据类型: char
| function_handle
| string
options
— 优化选项
optimoptions
的输出 | 结构体,例如 optimset
返回的结构体
优化选项,指定为 optimoptions
的输出或 optimset
等返回的结构体。
一些选项适用于所有算法,其他选项则与特定算法相关。有关详细信息,请参阅优化选项参考。
optimoptions
显示中缺少某些选项。这些选项在下表中以斜体显示。有关详细信息,请参阅查看优化选项。
所有算法 | |||||
Algorithm | 选择优化算法:
有关选择算法的信息,请参阅选择算法。
如果您选择
| ||||
CheckGradients | 将用户提供的导数(目标或约束的梯度)与有限差分导数进行比较。选项是 对于 以后的版本中将会删除 | ||||
ConstraintTolerance | 约束违反值的容差,非负标量。默认值为 对于 | ||||
Diagnostics | 显示关于要最小化或求解的函数的诊断信息。选项是 | ||||
DiffMaxChange | 有限差分梯度变量的最大变化(正标量)。默认值为 | ||||
DiffMinChange | 有限差分梯度变量的最小变化(正标量)。默认值为 | ||||
Display | 显示级别(请参阅迭代输出):
| ||||
FiniteDifferenceStepSize | 有限差分的标量或向量步长因子。当您将
sign′(x) = sign(x) (例外是 sign′(0) = 1 )。中心有限差分是
FiniteDifferenceStepSize 扩展为向量。对于正向有限差分,默认值为 sqrt(eps) ;对于中心有限差分,默认值为 eps^(1/3) 。 对于 | ||||
FiniteDifferenceType | 用于估计梯度的有限差分,可以是 当同时估计这两种类型的有限差分时, 对于 | ||||
FunValCheck | 检查目标函数值是否有效。默认设置 | ||||
MaxFunctionEvaluations | 允许的最大函数计算次数,非负整数。除 对于 | ||||
MaxIterations | 允许的最大迭代次数,非负整数。除 对于 | ||||
OptimalityTolerance | 一阶最优性的终止容差(非负标量)。默认值为 对于 | ||||
OutputFcn | 指定优化函数在每次迭代中调用的一个或多个用户定义的函数。传递函数句柄或函数句柄的元胞数组。默认值是“无”( | ||||
PlotFcn | 对算法执行过程中的各种进度测量值绘图,可以选择预定义的绘图,也可以自行编写绘图函数。传递内置绘图函数名称、函数句柄或由内置绘图函数名称或函数句柄组成的元胞数组。对于自定义绘图函数,传递函数句柄。默认值是“无”(
自定义绘图函数使用与输出函数相同的语法。请参阅Optimization Toolbox 的输出函数和输出函数和绘图函数语法。 对于 | ||||
SpecifyConstraintGradient | 用户定义的非线性约束函数梯度。当设置为默认值 对于 | ||||
SpecifyObjectiveGradient | 用户定义的目标函数梯度。请参阅 对于 | ||||
StepTolerance |
对于 | ||||
TypicalX | 典型的
| ||||
UseParallel | 此选项为 | ||||
信赖域反射算法 | |||||
FunctionTolerance | 函数值的终止容差,非负标量。默认值为 对于 | ||||
HessianFcn | 如果为 对于 | ||||
HessianMultiplyFcn | 黑塞矩阵乘法函数,指定为函数句柄。对于大规模结构问题,此函数计算黑塞矩阵乘积 W = hmfun(Hinfo,Y) 其中 上述第一个参量与目标函数 [f,g,Hinfo] = fun(x)
注意 要使用 请参阅黑塞矩阵乘法函数。有关示例,请参阅使用密集结构 Hessian 和线性等式进行最小化。 对于 | ||||
HessPattern | 用于有限差分的黑塞矩阵稀疏模式。如果存在 ∂2 如果不方便在 当结构未知时,不要设置 | ||||
MaxPCGIter | 预条件共轭梯度 (PCG) 迭代的最大次数,正标量。对于边界约束问题,默认值为 | ||||
PrecondBandWidth | PCG 的预条件子上带宽,非负整数。默认情况下,使用对角预条件(上带宽为 0)。对于某些问题,增加带宽会减少 PCG 迭代次数。将 | ||||
SubproblemAlgorithm | 确定迭代步的计算方式。与 对于 | ||||
TolPCG | PCG 迭代的终止容差,正标量。默认值为 | ||||
活动集算法 | |||||
FunctionTolerance | 函数值的终止容差,非负标量。默认值为 对于 | ||||
MaxSQPIter | 允许的 SQP 迭代最大次数,正整数。默认值为 | ||||
RelLineSrchBnd | 线搜索步长的相对边界(非负实数标量值)。x 中的总位移满足 |Δx(i)| ≤ relLineSrchBnd· max(|x(i)|,|typicalx(i)|)。当认为求解器采取的步过大时,可使用此选项控制 x 中位移的模。默认值为无边界 ( | ||||
RelLineSrchBndDuration |
| ||||
TolConSQP | 内部迭代 SQP 约束违反值的终止容差,正标量。默认值为 | ||||
内点算法 | |||||
BarrierParamUpdate | 指定
此选项会影响求解器的速度和收敛,但效果不容易预测。 | ||||
EnableFeasibilityMode | 当为 当 | ||||
HessianApproximation | 指定
注意 要使用 对于 | ||||
HessianFcn | 如果为 对于 | ||||
HessianMultiplyFcn | 用户提供的函数,它给出黑塞矩阵乘以向量的乘积(请参阅黑塞矩阵乘法函数)。传递函数句柄。 注意 要使用 对于 | ||||
HonorBounds | 默认值 对于 | ||||
InitBarrierParam | 初始障碍值,正标量。有时尝试高于默认值 | ||||
InitTrustRegionRadius | 信赖域的初始半径,正标量。对于未正确缩放的问题,选择小于默认值 的值可能会有所帮助,其中 n 是变量的数目。 | ||||
MaxProjCGIter | 投影共轭梯度迭代次数的容差(停止条件);这是内部迭代,而不是算法的迭代次数。它是一个正整数,默认值为 | ||||
ObjectiveLimit | 容差(停止条件),标量。如果目标函数值低于 | ||||
ScaleProblem |
对于 | ||||
SubproblemAlgorithm | 确定迭代步的计算方式。默认值 对于 | ||||
TolProjCG | 投影共轭梯度算法的相对容差(停止条件);它针对内部迭代,而不是算法迭代。它是一个正标量,默认值为 | ||||
TolProjCGAbs | 投影共轭梯度算法的绝对容差(停止条件);它针对内部迭代,而不是算法迭代。它是一个正标量,默认值为 | ||||
SQP 和 SQP 传统算法 | |||||
ObjectiveLimit | 容差(停止条件),标量。如果目标函数值低于 | ||||
ScaleProblem |
对于 | ||||
单精度代码生成 | |||||
Algorithm | 必须为 | ||||
ConstraintTolerance | 约束违反值的容差,非负标量。默认值为 | ||||
FiniteDifferenceStepSize | 有限差分的标量或向量步长因子。当您将
sign′(x) = sign(x) (例外是 sign′(0) = 1 )。中心有限差分是
FiniteDifferenceStepSize 扩展为向量。对于正向有限差分,默认值为 sqrt(eps('single')) ;对于中心有限差分,默认值为 eps('single')^(1/3) 。 | ||||
FiniteDifferenceType | 用于估计梯度的有限差分,可以是 当同时估计这两种类型的有限差分时, | ||||
MaxFunctionEvaluations | 允许的最大函数计算次数,非负整数。默认值为 | ||||
MaxIterations | |||||
ObjectiveLimit | 容差(停止条件),标量。如果目标函数值低于 | ||||
OptimalityTolerance | 一阶最优性的终止容差(非负标量)。默认值为 | ||||
ScaleProblem |
| ||||
SpecifyConstraintGradient | 用户定义的非线性约束函数梯度。当设置为默认值 | ||||
SpecifyObjectiveGradient | 用户定义的目标函数梯度。请参阅 | ||||
StepTolerance |
| ||||
TypicalX | 典型的 |
示例: options = optimoptions('fmincon','SpecifyObjectiveGradient',true,'SpecifyConstraintGradient',true)
problem
— 问题结构体
结构体
问题结构体,指定为含有以下字段的结构体:
字段名称 | 条目 |
---|---|
| 目标函数 |
| x 的初始点 |
| 线性不等式约束的矩阵 |
| 线性不等式约束的向量 |
| 线性等式约束的矩阵 |
| 线性等式约束的向量 |
lb | 由下界组成的向量 |
ub | 由上界组成的向量 |
| 非线性约束函数 |
| 'fmincon' |
| 用 optimoptions 创建的选项 |
您必须在 problem
结构体中至少提供 objective
、x0
、solver
和 options
字段。
数据类型: struct
输出参量
fval
— 解处的目标函数值
实数
解处的目标函数值,以实数形式返回。通常,fval
= fun(x)
。
exitflag
— fmincon
停止的原因
整数
fmincon
停止的原因,以整数形式返回。
所有算法: | |
| 一阶最优性测度小于 |
| 迭代次数超出 |
| 由输出函数或绘图函数停止。 |
| 找不到可行点。 |
除 | |
|
|
仅 | |
| 目标函数值的变化小于 |
仅 | |
| 搜索方向的模小于 2* |
| 搜索方向中方向导数的模小于 2* |
| |
| 当前迭代的目标函数低于 |
output
— 有关优化过程的信息
结构体
有关优化过程的信息,以包含下列字段的结构体形式返回:
iterations | 执行的迭代次数 |
funcCount | 函数计算次数 |
lssteplength | 相对于搜索方向的线搜索步的大小(仅适用于 |
constrviolation | 约束函数的最大值 |
stepsize |
|
algorithm | 使用的优化算法 |
cgiterations | PCG 迭代总次数(适用于 |
firstorderopt | 一阶最优性的测度 |
bestfeasible | 遇到的最佳(最低目标函数)可行点。具有以下字段的结构体:
如果找不到可行点,则 |
message | 退出消息 |
grad
— 解处的梯度
实数向量
解处的梯度,以实数向量形式返回。grad
给出 fun
在 x(:)
点处的梯度。
hessian
— 逼近黑塞矩阵
实矩阵
逼近黑塞矩阵,以实矩阵形式返回。有关 hessian
的含义,请参阅黑塞矩阵输出。
局限性
fmincon
是基于梯度的方法,旨在处理目标函数和约束函数均为连续且具有连续一阶导数的问题。对于
'trust-region-reflective'
算法,您必须在fun
中提供梯度,并将'SpecifyObjectiveGradient'
选项设置为true
。'trust-region-reflective'
算法不允许相等的上界和下界。例如,如果lb(2)==ub(2)
,则fmincon
给出以下错误:Equal upper and lower bounds not permitted in trust-region-reflective algorithm. Use either interior-point or SQP algorithms instead.
传递黑塞矩阵有两种不同的语法,传递
HessianMultiplyFcn
函数也有两种不同的语法;一种针对trust-region-reflective
,另一种针对interior-point
。请参阅包含黑塞函数。对于
trust-region-reflective
,拉格朗日函数的黑塞矩阵与目标函数的黑塞矩阵相同。您将黑塞矩阵作为目标函数的第三个输出进行传递。对于
interior-point
,拉格朗日函数的黑塞矩阵涉及拉格朗日乘数和非线性约束函数的黑塞矩阵。您将黑塞函数作为单独的函数传递,该函数同时考虑当前点x
和拉格朗日乘数结构体lambda
。
当问题不可行时,
fmincon
会尝试将最大约束值最小化。
详细信息
作为输入的黑塞矩阵
fmincon
将黑塞矩阵作为可选输入。此黑塞矩阵是拉格朗日函数二阶导数的矩阵(请参阅公式 1),即,
(3) |
有关如何向 trust-region-reflective
或 interior-point
算法提供黑塞矩阵的详细信息,请参阅包含黑塞函数。
active-set
和 sqp
算法不接受 黑塞 矩阵作为输入。它们计算拉格朗日函数的黑塞矩阵的拟牛顿逼近。
interior-point
算法提供多种 'HessianApproximation'
选项;请参阅为内点 fmincon 选择输入黑塞函数逼近方法:
'bfgs'
-fmincon
通过稠密矩阵拟牛顿逼近来计算黑塞矩阵。这是默认黑塞逼近。'lbfgs'
-fmincon
通过限制内存使用量的大规模拟牛顿逼近计算黑塞矩阵。此选项使用默认内存量,即进行 10 次迭代。{'lbfgs',positive integer}
-fmincon
通过限制内存使用量的大规模拟牛顿逼近计算黑塞矩阵。正整数指定要保留记录的最近迭代次数。'finite-difference'
-fmincon
通过梯度的有限差分计算黑塞矩阵乘以向量的乘积。您必须提供目标函数的梯度,还要提供非线性约束的梯度(如果存在)。将'SpecifyObjectiveGradient'
选项设置为true
,并在适用时将'SpecifyConstraintGradient'
选项设置为true
。您必须将'SubproblemAlgorithm'
设置为'cg'
。
黑塞矩阵乘法函数
interior-point
和 trust-region-reflective
算法允许您提供黑塞矩阵乘法函数。此函数给出黑塞矩阵乘以向量的乘积结果,而不直接计算黑塞矩阵。这可以节省内存。有关详细信息,请参阅黑塞矩阵乘法函数。
算法
选择算法
有关选择算法的帮助,请参阅fmincon 算法。要设置算法,请使用 optimoptions
创建 options
,并使用 'Algorithm'
名称-值对组。
本节在后续部分提供每种算法的简要总结或信息指南。
内点优化
fmincon 内点算法中说明了此算法。在 [1]、[41] 和 [9] 中有更广泛的说明。
SQP 和 SQP 传统优化
fmincon
'sqp'
和 'sqp-legacy'
算法类似于活动集优化中所述的 'active-set'
算法。fmincon SQP 算法说明了主要区别。这些区别总结如下:
活动集优化
信赖域反射优化
'trust-region-reflective'
算法是一种子空间信赖域方法,基于 [3] 和 [4] 中所述的内部反射牛顿法。每次迭代都涉及使用预条件共轭梯度法 (PCG) 来近似求解大型线性系统。请参阅fmincon 信赖域反射算法中有关信赖域和预条件共轭梯度法的说明。
替代功能
App
优化实时编辑器任务为 fmincon
提供可视化界面。
参考
[1] Byrd, R. H., J. C. Gilbert, and J. Nocedal. “A Trust Region Method Based on Interior Point Techniques for Nonlinear Programming.” Mathematical Programming, Vol 89, No. 1, 2000, pp. 149–185.
[2] Byrd, R. H., Mary E. Hribar, and Jorge Nocedal. “An Interior Point Algorithm for Large-Scale Nonlinear Programming.” SIAM Journal on Optimization, Vol 9, No. 4, 1999, pp. 877–900.
[3] Coleman, T. F. and Y. Li. “An Interior, Trust Region Approach for Nonlinear Minimization Subject to Bounds.” SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, 1996, pp. 418–445.
[4] Coleman, T. F. and Y. Li. “On the Convergence of Reflective Newton Methods for Large-Scale Nonlinear Minimization Subject to Bounds.” Mathematical Programming, Vol. 67, Number 2, 1994, pp. 189–224.
[5] Gill, P. E., W. Murray, and M. H. Wright. Practical Optimization, London, Academic Press, 1981.
[6] Han, S. P. “A Globally Convergent Method for Nonlinear Programming.” Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 22, 1977, pp. 297.
[7] Powell, M. J. D. “A Fast Algorithm for Nonlinearly Constrained Optimization Calculations.” Numerical Analysis, ed. G. A. Watson, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, Vol. 630, 1978.
[8] Powell, M. J. D. “The Convergence of Variable Metric Methods For Nonlinearly Constrained Optimization Calculations.” Nonlinear Programming 3 (O. L. Mangasarian, R. R. Meyer, and S. M. Robinson, eds.), Academic Press, 1978.
[9] Waltz, R. A., J. L. Morales, J. Nocedal, and D. Orban. “An interior algorithm for nonlinear optimization that combines line search and trust region steps.” Mathematical Programming, Vol 107, No. 3, 2006, pp. 391–408.
扩展功能
C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。
用法说明和限制:
fmincon
支持使用codegen
(MATLAB Coder) 函数或 MATLAB Coder™ 生成代码。您必须拥有 MATLAB Coder 许可证才能生成代码。目标硬件必须支持标准双精度浮点计算或标准单精度浮点计算。
代码生成目标与 MATLAB 求解器不使用相同的数学核心函数库。因此,代码生成解可能不同于求解器解,尤其是对于病态问题。
生成的所有代码必须为 MATLAB 代码。特别是,您不能将自定义黑盒函数用作
fmincon
的目标函数。您可以使用coder.ceval
计算用 C 或 C++ 编码的自定义函数。但是,自定义函数必须在 MATLAB 函数中调用。在生成代码时,
fmincon
不支持problem
参量。[x,fval] = fmincon(problem) % Not supported
您必须使用函数句柄(而不是字符串或字符名称)来指定目标函数和任何非线性约束函数。
x = fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@nonlcon) % Supported % Not supported: fmincon('fun',...) or fmincon("fun",...)
所有
fmincon
输入矩阵(如A
、Aeq
、lb
和ub
)都必须是满矩阵,而不能是稀疏矩阵。您可以使用full
函数将稀疏矩阵转换为满矩阵。lb
和ub
参量的条目数必须与x0
参量相同,或必须为空[]
。如果您的目标硬件不支持无限边界,请使用
optim.coder.infbound
。对于涉及嵌入式处理器的高级代码优化,您还需要 Embedded Coder® 许可证。
您必须包括适用于
fmincon
的选项,并使用optimoptions
指定这些选项。选项中必须包括Algorithm
并将其设置为'sqp'
或'sqp-legacy'
。options = optimoptions('fmincon','Algorithm','sqp'); [x,fval,exitflag] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options);
代码生成支持以下选项:
Algorithm
- 必须为'sqp'
或'sqp-legacy'
。ConstraintTolerance
FiniteDifferenceStepSize
FiniteDifferenceType
MaxFunctionEvaluations
MaxIterations
ObjectiveLimit
OptimalityTolerance
ScaleProblem
SpecifyConstraintGradient
SpecifyObjectiveGradient
StepTolerance
TypicalX
生成的代码只会对选项进行有限的错误检查。更新选项的推荐方法是使用
optimoptions
,而不是圆点表示法。opts = optimoptions('fmincon','Algorithm','sqp'); opts = optimoptions(opts,'MaxIterations',1e4); % Recommended opts.MaxIterations = 1e4; % Not recommended
不要从文件中加载选项。否则会导致代码生成失败。请在代码中创建选项。
通常,如果您指定了不受支持的选项,在代码生成过程中会以静默方式忽略该选项。但是,如果使用圆点表示法指定绘图函数或输出函数,代码生成可能引发错误。为确保可靠性,请仅指定支持的选项。
由于不支持输出函数和绘图函数,
fmincon
不会返回退出标志 –1。为
fmincon
生成的代码中返回的output
结构体不包含bestfeasible
字段。
有关示例,请参阅优化代码生成基础知识。
自动并行支持
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 自动运行并行计算来加快代码执行。
要并行运行,请将 'UseParallel'
选项设置为 true
。
options = optimoptions('
solvername
','UseParallel',true)
有关详细信息,请参阅在 Optimization Toolbox 中使用并行计算。
版本历史记录
在 R2006a 之前推出R2024a: 单精度代码生成
您可以在单精度浮点硬件上为 fmincon
生成代码。有关说明,请参阅单精度代码生成。
R2023b: CheckGradients
选项将被删除
以后的版本中将会删除 CheckGradients
选项。要检查目标函数或非线性约束函数的一阶导数,请使用 checkGradients
函数。
MATLAB 命令
您点击的链接对应于以下 MATLAB 命令:
请在 MATLAB 命令行窗口中直接输入以执行命令。Web 浏览器不支持 MATLAB 命令。
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