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基于求解器求解有约束非线性问题

典型优化问题

此示例说明如何使用 Optimization Toolbox™ 求解器求解有约束非线性问题。该示例展示了典型的工作流:创建目标函数、创建约束、求解问题和检查结果。

此示例提供两种求解问题的方法。一种方法使用优化实时编辑器任务,这是一种可视化方法。另一种方法使用 MATLAB® 命令行,这是一种基于文本的方法。您也可以使用基于问题的方法来求解这类问题;请参阅基于问题求解有约束非线性问题:

问题表示:Rosenbrock 函数

问题可以表示为在单位圆盘上最小化 Rosenbrock 函数

f(x)=100(x2x12)2+(1x1)2,

单位圆盘指以原点为中心、半径为 1 的圆盘)。也就是说,基于数据集 x12+x221,求使函数 f(x) 最小的 x。此问题是最小化具有非线性约束的非线性函数。

注意

Rosenbrock 函数是优化中的标准测试函数。它在点 [1,1] 点达到唯一最小值 0。对于某些算法来说,求最小值是一个挑战,因为函数在深度弯曲的波谷中有一个浅最小值。此问题的解不在 [1,1] 点处,因为该点不满足约束。

以下图窗显示单位圆盘中 Rosenbrock 函数的两个视图。垂直轴采用对数刻度;换句话说,绘图显示 log(1+f(x))。等高线位于曲面图下方。

经过对数尺度变换的 Rosenbrock 函数:两个视图。

 用于生成图窗的代码

函数 f(x) 称为目标函数。目标函数是您要进行最小化的函数。不等式 x12+x221 称为约束。约束限制求解器用于搜索最小值的 x 集。您可以使用任意数量的约束,约束可以是不等式,也可以是等式。

所有 Optimization Toolbox 优化函数都可用于最小化目标函数。要最大化函数 f,请应用优化例程来最小化 –f。有关最大化的详细信息,请参阅对目标进行最大化

使用优化实时编辑器任务定义和求解问题

优化实时编辑器任务允许您使用可视化方法设置和求解问题。

  1. 点击主页选项卡文件部分的新建实时脚本按钮,创建一个新的实时脚本。

    New Live Script button

  2. 插入一个优化实时编辑器任务。点击插入选项卡,然后在代码部分中选择任务 > 优化

    Optimize Live Editor task

  3. 在任务的指定问题类型节中,选择目标 > 非线性约束 > 非线性。该任务选择求解器 “fmincon - 有约束非线性最小化”。

  4. 包括 Rosenbrock 函数作为目标函数。在任务的选择问题数据节中,选择目标函数 > 局部函数,然后点击新建... 按钮。新局部函数出现在任务下的一个节中。

    function f = objectiveFcn(optimInput)
    % Example:
    % Minimize Rosenbrock's function
    % f = 100*(y - x^2)^2 + (1 - x)^2
    
    % Edit the lines below with your calculation
    x = optimInput(1);
    y = optimInput(2);
    f = 100*(y - x^2)^2 + (1 - x)^2;
    end

    此函数实现 Rosenbrock 函数。

  5. 在任务的选择问题数据节中,选择目标函数 > objectiveFcn

  6. 将初始点 x0 = [0;0] 放入 MATLAB 工作区中。通过点击任务,然后点击插入选项卡上的分节符按钮,在优化任务上方插入一个新节。在任务上方的新节中,输入以下初始点代码。

    x0 = [0;0];
  7. 通过按 Ctrl+Enter 运行该节。此操作会将 x0 放入工作区中。

  8. 在任务的选择问题数据节中,选择初始点(x0) > x0

    Objective function and x0

  9. 选择问题数据节中,选择约束 > 非线性 > 局部函数,然后点击新建... 按钮。新局部函数出现在前一个局部函数的下方。

  10. 按如下所示编辑新局部函数。

    function [c,ceq] = unitdisk(x)
    c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
    ceq = [ ];
    end
  11. 选择问题数据节中,选择 “unitdisk” 作为约束函数。

    Problem data: objective, initial point, nonlinear constraint

  12. 要监控求解器进度,请在任务的显示进度节中,选择文本显示 > 每次迭代。此外,为绘图选择目标值和可行性

    Iterative display and Objective value and feasibility plot function

  13. 要运行求解器,请点击任务窗口右上角的选项按钮 ,并选择运行节。绘图出现在单独的图窗窗口中和输出区域中。

    Function values generally decrease as iterations proceed

    输出区域显示一个迭代表,解释结果中有对它的进一步说明。

  14. 要找到解,请查看任务的顶部。

    solution, objectiveValue are returned from fmincon

    求解器将变量 solutionobjectiveValue 放置在工作区中。通过在任务下方插入新分节符并输入以下行来查看其值。

    disp(solution); disp(objectiveValue)

  15. 通过按 Ctrl+Enter 运行该节。

    solution = [0.7864,0.6177]. objectiveValue = 0.0457.

    要了解 fmincon 得到结果的过程,请参阅解释结果

  16. 要显示优化为求解问题而生成的代码,请点击任务窗口右上角的选项按钮 ,并选择控件和代码

    Controls and Code

    在任务的底部,出现以下代码。

    % Set nondefault solver options
    options = optimoptions('fmincon','Display','iter','PlotFcn',...
        'optimplotfvalconstr');
    
    % Solve
    [solution,objectiveValue] = fmincon(@objectiveFcn,x0,[],[],[],[],[],[],...
        @unitdisk,options);

    此代码是您在命令行中用于求解问题的代码,如下节中所述。

在命令行中定义和求解问题

在命令行中求解优化问题的第一步是选择求解器。请查阅优化决策表。对于具有非线性目标函数和非线性约束的问题,通常使用 fmincon 求解器。

请查阅 fmincon 函数参考页。求解器语法如下。

[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

funnonlcon 输入分别表示目标函数和非线性约束函数。

以如下方式表达您的问题:

  1. 以 MATLAB 语言将目标函数定义为函数文件或匿名函数。此示例使用一个函数文件。

  2. 将约束定义为一个单独的文件或匿名函数。

函数文件是包含 MATLAB 命令的文本文件,扩展名为 .m。在任何文本编辑器中创建函数文件,或像此示例中一样使用内置的 MATLAB 编辑器。

  1. 在命令行中输入:

    edit rosenbrock
  2. 在 MATLAB 编辑器中输入:

    %% ROSENBROCK(x) expects a two-column matrix and returns a column vector
    % The output is the Rosenbrock function, which has a minimum at
    % (1,1) of value 0, and is strictly positive everywhere else.
    
    function f = rosenbrock(x)
    
    f = 100*(x(:,2) - x(:,1).^2).^2 + (1 - x(:,1)).^2;

    注意

    rosenbrock 是向量化函数,它可以一次计算多个点处的值。请参阅向量化。向量化函数最适合绘图。对于非向量化版本,请输入:

    %% ROSENBROCK1(x) expects a two-element vector and returns a scalar
    % The output is the Rosenbrock function, which has a minimum at
    % (1,1) of value 0, and is strictly positive everywhere else.
    
    function f = rosenbrock1(x)
    
    f = 100*(x(2) - x(1)^2)^2 + (1 - x(1))^2;
  3. 用名称 rosenbrock.m 保存文件。

约束函数的形式为 c(x) ≤ 0ceq(x) = 0.约束 x12+x221 未采用求解器处理的形式。要使用正确的语法,请将约束重新表示为 x12+x2210

非线性约束的语法会同时返回等式和不等式约束。此示例仅包含一个不等式约束,因此您必须将空数组 [] 作为等式约束函数 ceq 进行传递。

考虑到这些因素,为非线性约束编写一个函数文件。

  1. 创建一个名为 unitdisk.m 的文件,其中包含以下代码:

    function [c,ceq] = unitdisk(x)
    c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1;
    ceq = [ ];
  2. 保存 unitdisk.m 文件。

现在您已定义了目标函数和约束函数,接着创建其他 fmincon 输入。

  1. fmincon 创建选项,以使用 'optimplotfvalconstr' 绘图函数并返回迭代输出。

    options = optimoptions('fmincon',...
        'PlotFcn','optimplotfvalconstr',...
        'Display','iter');
  2. 创建初始点。

    x0 = [0 0];
  3. 为此示例不使用的约束创建空项。

    A = [];
    b = [];
    Aeq = [];
    beq = [];
    lb = [];
    ub = [];

通过调用 fmincon 求解问题。

[x,fval] = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
                                            First-order      Norm of
 Iter F-count            f(x)  Feasibility   optimality         step
    0       3    1.000000e+00    0.000e+00    2.000e+00
    1      13    7.753537e-01    0.000e+00    6.250e+00    1.768e-01
    2      18    6.519648e-01    0.000e+00    9.048e+00    1.679e-01
    3      21    5.543209e-01    0.000e+00    8.033e+00    1.203e-01
    4      24    2.985207e-01    0.000e+00    1.790e+00    9.328e-02
    5      27    2.653799e-01    0.000e+00    2.788e+00    5.723e-02
    6      30    1.897216e-01    0.000e+00    2.311e+00    1.147e-01
    7      33    1.513701e-01    0.000e+00    9.706e-01    5.764e-02
    8      36    1.153330e-01    0.000e+00    1.127e+00    8.169e-02
    9      39    1.198058e-01    0.000e+00    1.000e-01    1.522e-02
   10      42    8.910052e-02    0.000e+00    8.378e-01    8.301e-02
   11      45    6.771960e-02    0.000e+00    1.365e+00    7.149e-02
   12      48    6.437664e-02    0.000e+00    1.146e-01    5.701e-03
   13      51    6.329037e-02    0.000e+00    1.883e-02    3.774e-03
   14      54    5.161934e-02    0.000e+00    3.016e-01    4.464e-02
   15      57    4.964194e-02    0.000e+00    7.913e-02    7.894e-03
   16      60    4.955404e-02    0.000e+00    5.462e-03    4.185e-04
   17      63    4.954839e-02    0.000e+00    3.993e-03    2.208e-05
   18      66    4.658289e-02    0.000e+00    1.318e-02    1.255e-02
   19      69    4.647011e-02    0.000e+00    8.006e-04    4.940e-04
   20      72    4.569141e-02    0.000e+00    3.136e-03    3.379e-03
   21      75    4.568281e-02    0.000e+00    6.440e-05    3.974e-05
   22      78    4.568281e-02    0.000e+00    8.000e-06    1.084e-07
   23      81    4.567641e-02    0.000e+00    1.601e-06    2.793e-05
   24      84    4.567482e-02    0.000e+00    2.023e-08    6.916e-06

Local minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.

x =

    0.7864    0.6177


fval =

    0.0457

Function values generally decrease as iterations proceed

退出消息指出,由于目标函数在约束允许方向上的导数接近 0,因此对约束下的最优值的搜索结束,并且解在要求的准确度内满足约束。消息中有一些语句包含指向所用词语的详细信息链接。有关这些链接的详细信息,请参阅增强版退出消息

解释结果

实时编辑器任务输出区域和 MATLAB 命令行窗口中的迭代表显示 MATLAB 如何在单位圆盘中搜索 Rosenbrock 函数的最小值。根据您使用的工具箱版本和计算平台的不同,该表可能有所不同。以下说明适用于此示例中显示的表。

  • 第一列(标记为 Iter)是从 0 到 24 的迭代编号。fmincon 经过 24 次迭代后收敛。

  • 第二列(标记为 F-count)报告计算 Rosenbrock 函数的累计次数。最后一行显示 F-count 为 84,表明 fmincon 在求解最小值的过程中对 Rosenbrock 函数进行了 84 次计算。

  • 第三列(标记为 f(x))显示目标函数值。最终值 4.567482e-2 是在优化运行中报告的最小值,位于命令行窗口中退出消息的末尾。

  • 第四列 Feasibility 对于所有迭代均为 0。此列显示在约束为正的每次迭代中约束函数 unitdisk 的值。由于 unitdisk 的值在所有迭代中均为负数,因此每次迭代都满足约束。

迭代表的其他列在迭代输出中有说明。

另请参阅

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