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向量化

向量化的应用

MATLAB® 针对涉及矩阵和向量的运算进行了优化。修正基于循环且面向标量的代码以使用 MATLAB 矩阵和向量运算的过程称为向量化。由于多种原因,代码的向量化是可取的:

  • 外观:向量化的数学代码在外观上更像教科书中的数学表达式,从而使代码更便于理解。

  • 不容易出错:由于不带循环,向量化的代码通常更短。代码行的减少意味着引入编程错误的机会也减少了。

  • 性能:向量化代码的运行速度通常比相应的、包含循环的代码更快。

实现代码向量化以进行常规计算

以下代码计算 1,001 个从 0 到 10 之内的值的正弦:

i = 0;
for t = 0:.01:10
    i = i + 1;
    y(i) = sin(t);
end

这是同一代码的向量化版本:

t = 0:.01:10;
y = sin(t);

第二个代码示例的执行速度通常比第一个快,是 MATLAB 的更高效的用法。通过创建包含所示代码的脚本测试您系统上的执行速度,然后使用 tictoc 函数测量其执行时间。

针对特定任务实行代码向量化

此代码计算某向量每五个元素的累加和:

x = 1:10000;
ylength = (length(x) - mod(length(x),5))/5;
y(1:ylength) = 0;
for n= 5:5:length(x)
    y(n/5) = sum(x(1:n));
end 

使用向量化,您可以编写一个更精确的 MATLAB 过程。以下代码显示了完成此项任务的一种方法:

x = 1:10000;
xsums = cumsum(x);
y = xsums(5:5:length(x)); 

数组运算

数组运算符对数据集中的所有元素执行相同的运算。这些类型的运算用于重复计算。例如,假设您通过记录各圆锥体的直径 (D) 和高度 (H) 来收集这些圆锥体的体积 (V)。如果您只收集一个圆锥体的信息,则可以只计算该圆锥体的体积:

V = 1/12*pi*(D^2)*H;

现在,收集 10,000 个圆锥体的信息。向量 DH 均包含 10,000 个元素,并且您需要计算 10,000 个体积。在绝大多数编程语言中,您需要设置类似于以下 MATLAB 代码的循环:

for n = 1:10000
   V(n) = 1/12*pi*(D(n)^2)*H(n));
end

借助 MATLAB,您可以使用与标量情形类似的语法对每个向量元素执行计算:

% Vectorized Calculation
V = 1/12*pi*(D.^2).*H;

注意

在运算符 */^ 之前放置句点 (.),将其转换为数组运算符。

借助数组运算符,您还能够组合不同维度的矩阵。这样自动扩展大小为 1 的维度有助于对网格创建、矩阵和向量运算等进行向量化处理。

假设矩阵 A 代表考试分数,各种行表示不同的班级。您需要计算每个班级的平均分数与各分数的差。使用循环,该运算如下所示:

A = [97 89 84; 95 82 92; 64 80 99;76 77 67;...
 88 59 74; 78 66 87; 55 93 85];

mA = mean(A);
B = zeros(size(A));
for n = 1:size(A,2)
    B(:,n) = A(:,n) - mA(n);
end

要执行该运算,一种更直接的方式是使用 A - mean(A),后者不需要使用循环并且速度明显更快。

devA = A - mean(A)
devA =

    18    11     0
    16     4     8
   -15     2    15
    -3    -1   -17
     9   -19   -10
    -1   -12     3
   -24    15     1

即使 A 是一个 7×3 矩阵,mean(A) 是一个 1×3 向量,MATLAB 也会隐式扩展该向量,就好像其大小与矩阵相同一样,并且该运算将作为正常的按元素减法运算来执行。

根据操作数的大小要求,对于每个维度,各数组必须大小相同,或者其中一个为 1。如果满足该要求,则含有大小为 1 的数组的维度将扩展为其他数组中相应维度的大小。有关详细信息,请参阅基本运算的兼容数组大小

并且,在您处理多维数据时,隐式扩展也有助于向量化操作。假设您要计算包含两个变量 xy 的函数 F

F(x,y) = x*exp(-x2 - y2)

要在 xy 向量中的每个点组合处计算该函数,您需要定义网格值。对于此任务,您应避免使用循环来循环访问点组合。在这种情况下,如果一个向量为列,而另一个向量为行,则当这些向量与数组运算符配合使用(例如 x+yx-y)时,MATLAB 将会自动构造网格。在此示例中,x 是一个 21×1 向量,y 是一个 1×16 向量,因此该运算会通过扩展 x 的第二个维度和 y 的第一个维度来生成一个 21×16 矩阵。

x = (-2:0.2:2)'; % 21-by-1
y = -1.5:0.2:1.5; % 1-by-16
F = x.*exp(-x.^2-y.^2); % 21-by-16

如果您要显式创建网格,可以使用 meshgridndgrid 函数。

逻辑数组运算

批量处理数组的逻辑扩展是实现比较的向量化并制定决策。MATLAB 比较器接受向量输入并返回向量输出。

例如,假设在从 10,000 个圆锥体中收集数据时,您记录多个负值作为直径的值。您可以使用 >= 运算符确定向量中的哪些值是有效的:

D = [-0.2 1.0 1.5 3.0 -1.0 4.2 3.14];
D >= 0
ans =

     0     1     1     1     0     1     1
您可以直接利用 MATLAB 的逻辑索引功能来选择有效的圆锥体体积 Vgood,其对应的 D 元素是非负的:
Vgood = V(D >= 0);

MATLAB 允许您分别使用 allany 函数对整个向量的元素执行逻辑 AND 或 OR 运算。如果 D 的所有值都小于零,则会引发以下警告:

if all(D < 0)
   warning('All values of diameter are negative.')
   return
end

MATLAB 也可以比较两个大小兼容的向量,并允许您施加更多限制。此代码查找 V 为非负且 D 大于 H 的所有值:

V((V >= 0) & (D > H))
生成的向量与输入的大小相等。

为便于比较,MATLAB 包含特殊值来表示溢出、下溢和未定义的运算符,例如 InfNaN。逻辑运算符 isinfisnan 有助于针对这些特殊值执行逻辑测试。例如,往往有助于从计算中排除 NaN 值:

x = [2 -1 0 3 NaN 2 NaN 11 4 Inf];
xvalid = x(~isnan(x))
xvalid =

     2    -1     0     3     2    11     4   Inf

注意

Inf == Inf 返回 true;但 NaN == NaN 始终返回 false。

矩阵运算

在使代码向量化时,您通常需要构造一个具有特定大小或结构的矩阵。有多种方式可用来创建均匀矩阵。例如,您可能需要一个包含相等元素的 5×5 矩阵:

A = ones(5,5)*10;
或者,您可能需要一个包含重复值的矩阵:
v = 1:5;
A = repmat(v,3,1)
A =

     1     2     3     4     5
     1     2     3     4     5
     1     2     3     4     5

函数 repmat 可以灵活地根据较小的矩阵或向量来构建矩阵。repmat 通过重复输入矩阵来创建矩阵:

A = repmat(1:3,5,2)
B = repmat([1 2; 3 4],2,2)
A =

     1     2     3     1     2     3
     1     2     3     1     2     3
     1     2     3     1     2     3
     1     2     3     1     2     3
     1     2     3     1     2     3


B =

     1     2     1     2
     3     4     3     4
     1     2     1     2
     3     4     3     4

排序、设置和计数运算

在许多应用程序中,对向量的某个元素执行的计算取决于同一向量中的其他元素。例如,向量 x 可能表示一个集。如何循环访问一个集而不使用 forwhile 循环并不明显。如果采用向量化代码,则此过程变得更加清晰而且语法也不再过于冗长。

消除冗余元素

有许多不同的方法可以用来查找向量的冗余元素。一种方法涉及到函数 diff。在对向量元素进行排序后,当您对该向量使用 diff 函数时,相等的邻接元素会产生零项。因为 diff(x) 生成的向量的元素数比 x 少一个,所以您必须添加一个不等于该集中的任何其他元素的元素。NaN 始终满足此条件。最后,您可以使用逻辑索引来选择该集中的唯一元素:

x = [2 1 2 2 3 1 3 2 1 3];
x = sort(x);
difference  = diff([x,NaN]);
y = x(difference~=0)
y =

     1     2     3
再者,也可以使用 unique 函数完成同样的操作:
y=unique(x);
但是,unique 函数可能提供超出需要的功能并且降低代码的执行速度。如果您要衡量每个代码节的性能,请使用 tictoc 函数。

计算向量中的元素数

您可以计算某元素在向量中的出现次数,而不只是返回 x 的集或子集。该向量排序后,您可以使用 find 函数来确定 diff(x) 中零值的索引并显示元素的值在何处发生了改变。find 函数中后续索引之间的差可指明特定元素的出现次数:

x = [2 1 2 2 3 1 3 2 1 3];
x = sort(x);
difference  = diff([x,max(x)+1]);
count = diff(find([1,difference]))
y = x(find(difference))
count =

     3     4     3


y =

     1     2     3
find 函数不返回 NaN 元素的索引。您可以使用 isnanisinf 函数计算 NaNInf 值的数目。

count_nans = sum(isnan(x(:)));
count_infs = sum(isinf(x(:)));

向量化的常用函数

函数说明
all

确定所有数组元素均为非零元素还是 true

any

确定任何数组元素是否为非零

cumsum

累积和

diff

差分和近似导数

find

查找非零元素的索引和值

ind2sub

线性索引的下标

ipermute

N 维数组的逆置换维度

logical

将数值转换为逻辑值

meshgrid

二维和三维空间中的矩形网格

ndgrid

N 维空间中的矩形网格

permute

重新排列 N 维数组的维度

prod

数组元素的乘积

repmat

重复数组副本

reshape

重构数组

shiftdim

移动维度

sort

对数组元素排序

squeeze

删除单一维度

sub2ind

将下标转换为线性索引

sum

数组元素总和

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外部网站

中的矩阵索引