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lsqlin

求解约束线性最小二乘问题

说明

具有边界或线性约束的线性最小二乘求解器。

求解以下形式的最小二乘曲线拟合问题

minx12Cxd22 such that {Axb,Aeqx=beq,lbxub.

注意

lsqlin 仅适用于基于求解器的方法。有关这两种优化方法的讨论,请参阅首先选择基于问题或基于求解器的方法

示例

x = lsqlin(C,d,A,b) 在满足 A*xb 的情况下基于最小二乘思想求解线性方程组 C*x = d

示例

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub) 增加线性等式约束 Aeq*x = beq 和边界 lbxub。如果您不需要某些约束,如 Aeqbeq,请将其设置为 []。如果 x(i) 无下界,请设置 lb(i) = -Inf,如果 x(i) 无上界,请设置 ub(i) = Inf

示例

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) 使用初始点 x0options 所指定的优化选项执行最小化。使用 optimoptions 可设置这些选项。如果您不想包含初始点,请将 x0 参数设置为 []

x = lsqlin(problem)problem 的最小值,它是 problem 中所述的一个结构体。使用圆点表示法或 struct 函数创建 problem 结构体。您也可以使用 prob2structOptimizationProblem 对象创建一个 problem 结构体。

示例

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(___) 使用上述任一输入参数组合,返回:

  • 残差的 2-范数平方 resnorm = Cxd22

  • 残差 residual = C*x - d

  • 描述退出条件的值 exitflag

  • 包含有关优化过程信息的结构体 output

  • 包含拉格朗日乘数的结构体 lambda

    问题定义中的因子 ½ 会影响 lambda 结构体中的值。

示例

[wsout,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,ws) 使用 ws 中的选项,从热启动对象 ws 中的数据启动 lsqlin。返回的参数 wsout 包含 wsout.X 中的解点。通过在后续求解器调用中使用 wsout 作为初始热启动对象,lsqlin 可以提高运行速度。

示例

全部折叠

对于具有线性不等式约束的超定问题,求使 C*x - d 的范数最小的 x

指定问题和约束。

C = [0.9501    0.7620    0.6153    0.4057
    0.2311    0.4564    0.7919    0.9354
    0.6068    0.0185    0.9218    0.9169
    0.4859    0.8214    0.7382    0.4102
    0.8912    0.4447    0.1762    0.8936];
d = [0.0578
    0.3528
    0.8131
    0.0098
    0.1388];
A = [0.2027    0.2721    0.7467    0.4659
    0.1987    0.1988    0.4450    0.4186
    0.6037    0.0152    0.9318    0.8462];
b = [0.5251
    0.2026
    0.6721];

调用 lsqlin 以求解问题。

x = lsqlin(C,d,A,b)
Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 4×1

    0.1299
   -0.5757
    0.4251
    0.2438

对于具有线性等式和不等式约束和边界的超定问题,求使 C*x - d 的范数最小的 x

指定问题和约束。

C = [0.9501    0.7620    0.6153    0.4057
    0.2311    0.4564    0.7919    0.9354
    0.6068    0.0185    0.9218    0.9169
    0.4859    0.8214    0.7382    0.4102
    0.8912    0.4447    0.1762    0.8936];
d = [0.0578
    0.3528
    0.8131
    0.0098
    0.1388];
A =[0.2027    0.2721    0.7467    0.4659
    0.1987    0.1988    0.4450    0.4186
    0.6037    0.0152    0.9318    0.8462];
b =[0.5251
    0.2026
    0.6721];
Aeq = [3 5 7 9];
beq = 4;
lb = -0.1*ones(4,1);
ub = 2*ones(4,1);

调用 lsqlin 以求解问题。

x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 4×1

   -0.1000
   -0.1000
    0.1599
    0.4090

此示例说明如何使用非默认选项执行线性最小二乘运算。

设置选项以使用 'interior-point' 算法并提供迭代输出。

options = optimoptions('lsqlin','Algorithm','interior-point','Display','iter');

建立线性最小二乘问题。

C = [0.9501    0.7620    0.6153    0.4057
    0.2311    0.4564    0.7919    0.9354
    0.6068    0.0185    0.9218    0.9169
    0.4859    0.8214    0.7382    0.4102
    0.8912    0.4447    0.1762    0.8936];
d = [0.0578
    0.3528
    0.8131
    0.0098
    0.1388];
A = [0.2027    0.2721    0.7467    0.4659
    0.1987    0.1988    0.4450    0.4186
    0.6037    0.0152    0.9318    0.8462];
b = [0.5251
    0.2026
    0.6721];

运行问题。

x = lsqlin(C,d,A,b,[],[],[],[],[],options)
 Iter            Fval  Primal Infeas    Dual Infeas  Complementarity  
    0   -7.687420e-02   1.600492e+00   6.150431e-01     1.000000e+00  
    1   -7.687419e-02   8.002458e-04   3.075216e-04     2.430833e-01  
    2   -3.162837e-01   4.001229e-07   1.537608e-07     5.945636e-02  
    3   -3.760545e-01   2.000617e-10   2.036997e-08     1.370933e-02  
    4   -3.912129e-01   9.997558e-14   1.006816e-08     2.548273e-03  
    5   -3.948062e-01   1.665335e-16   2.955102e-09     4.295807e-04  
    6   -3.953277e-01   2.775558e-17   1.237758e-09     3.102850e-05  
    7   -3.953581e-01   1.110223e-16   1.645862e-10     1.138719e-07  
    8   -3.953582e-01   1.387779e-16   2.401829e-13     5.693290e-11  

Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 4×1

    0.1299
   -0.5757
    0.4251
    0.2438

获取并解释所有 lsqlin 输出。

定义具有线性不等式约束和边界的问题。问题是超定的,因为 C 矩阵中有四列,但有五行。这意味着问题有四个未知数和五个条件,而这还不包括线性约束和边界。

C = [0.9501    0.7620    0.6153    0.4057
    0.2311    0.4564    0.7919    0.9354
    0.6068    0.0185    0.9218    0.9169
    0.4859    0.8214    0.7382    0.4102
    0.8912    0.4447    0.1762    0.8936];
d = [0.0578
    0.3528
    0.8131
    0.0098
    0.1388];
A = [0.2027    0.2721    0.7467    0.4659
    0.1987    0.1988    0.4450    0.4186
    0.6037    0.0152    0.9318    0.8462];
b = [0.5251
    0.2026
    0.6721];
lb = -0.1*ones(4,1);
ub = 2*ones(4,1);

设置选项以使用 'interior-point' 算法。

options = optimoptions('lsqlin','Algorithm','interior-point');

'interior-point' 算法不使用初始点,因此将 x0 设置为 []

x0 = [];

带所有输出调用 lsqlin

[x,resnorm,residual,exitflag,output,lambda] = ...
    lsqlin(C,d,A,b,[],[],lb,ub,x0,options)
Minimum found that satisfies the constraints.

Optimization completed because the objective function is non-decreasing in 
feasible directions, to within the value of the optimality tolerance,
and constraints are satisfied to within the value of the constraint tolerance.
x = 4×1

   -0.1000
   -0.1000
    0.2152
    0.3502

resnorm = 0.1672
residual = 5×1

    0.0455
    0.0764
   -0.3562
    0.1620
    0.0784

exitflag = 1
output = struct with fields:
            message: '...'
          algorithm: 'interior-point'
      firstorderopt: 4.3374e-11
    constrviolation: 0
         iterations: 6
       linearsolver: 'dense'
       cgiterations: []

lambda = struct with fields:
    ineqlin: [3x1 double]
      eqlin: [0x1 double]
      lower: [4x1 double]
      upper: [4x1 double]

更详细地检查非零拉格朗日乘数字段。首先检查线性不等式约束的拉格朗日乘数。

lambda.ineqlin
ans = 3×1

    0.0000
    0.2392
    0.0000

当解位于对应的约束边界上时,拉格朗日乘数为非零值。换句话说,当对应的约束处于活动状态时,拉格朗日乘数为非零值。lambda.ineqlin(2) 为非零值。这意味着 A*x 中的第二个元素应等于 b 中的第二个元素,因为约束处于活动状态。

[A(2,:)*x,b(2)]
ans = 1×2

    0.2026    0.2026

现在检查下界和上界约束的拉格朗日乘数。

lambda.lower
ans = 4×1

    0.0409
    0.2784
    0.0000
    0.0000

lambda.upper
ans = 4×1

     0
     0
     0
     0

lambda.lower 的前两个元素为非零值。您会看到 x(1)x(2) 位于其下界 -0.1 上。lambda.upper 的所有元素实质上为零,您会看到 x 的所有分量都小于其上界 2

创建一个热启动对象,以便您可以快速求解修改后的问题。设置选项以关闭迭代输出来支持热启动。

rng default % For reproducibility
options = optimoptions('lsqlin','Algorithm','active-set','Display','off');
n = 15;
x0 = 5*rand(n,1);
ws = optimwarmstart(x0,options);

创建并求解第一个问题。找出求解时间。

r = 1:n-1; % Index for making vectors
v(n) = (-1)^(n+1)/n; % Allocating the vector v
v(r) =( -1).^(r+1)./r;
C = gallery('circul',v);
C = [C;C];
r = 1:2*n;
d(r) = n-r;
lb = -5*ones(1,n);
ub = 5*ones(1,n);
tic
[ws,fval,~,exitflag,output] = lsqlin(C,d,[],[],[],[],lb,ub,ws)
toc
Elapsed time is 0.005117 seconds.

添加一个线性约束并再次求解。

A = ones(1,n);
b = -10;
tic
[ws,fval,~,exitflag,output] = lsqlin(C,d,A,b,[],[],lb,ub,ws)
toc
Elapsed time is 0.001491 seconds.

输入参数

全部折叠

乘数矩阵,指定为由双精度值组成的矩阵。C 表示 C*x - d 表达式中解 x 的乘数。C 的大小为 M×N,其中 M 是方程的数目,Nx 的元素数。

示例: C = [1,4;2,5;7,8]

数据类型: double

常向量,指定为由双精度值组成的向量。d 表示表达式 C*x - d 中的附加常数项。d 的大小为 M×1,其中 M 是方程的数目。

示例: d = [5;0;-12]

数据类型: double

线性不等式约束,指定为实矩阵。AM×N 矩阵,其中 M 是不等式的数目,而 N 是变量的数目(x0 中的元素数)。对于大型问题,将 A 作为稀疏矩阵传递。

A 以如下形式编写 M 个线性不等式

A*x <= b

其中,x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)b 是具有 M 个元素的列向量。

例如,要指定

x1 +2x2 ≤10
3x1 +4x2 ≤20
5x1 +6x2 ≤30,

请输入以下约束:

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

示例: 要指定 x 分量总和等于或小于 1,请使用 A = ones(1,N)b = 1

数据类型: double

线性不等式约束,指定为实数向量。b 是与 A 矩阵相关的包含 M 个元素的向量。如果将 b 作为行向量传递,求解器会在内部将 b 转换为列向量 b(:)。对于大型问题,将 b 作为稀疏向量传递。

b 以如下形式编写 M 个线性不等式

A*x <= b

其中,x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)A 是大小为 M×N 的矩阵。

例如,假设有以下不等式:

x1 + 2x2 ≤ 10
3x1 + 4x2 ≤ 20
5x1 + 6x2 ≤ 30。

通过输入以下约束来指定不等式。

A = [1,2;3,4;5,6];
b = [10;20;30];

示例: 要指定 x 分量总和等于或小于 1,请使用 A = ones(1,N)b = 1

数据类型: double

线性等式约束,指定为实矩阵。AeqMe×N 矩阵,其中 Me 是等式的数目,而 N 是变量的数目(x0 中的元素数)。对于大型问题,将 Aeq 作为稀疏矩阵传递。

Aeq 以如下形式编写 Me 个线性等式

Aeq*x = beq

其中,x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)beq 是具有 Me 个元素的列向量。

例如,要指定

x1 +2x2 +3x3 =10
2x1 +4x2 + x3 =20,

请输入以下约束:

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

示例: 要指定 x 分量总和为 1,请使用 Aeq = ones(1,N)beq = 1

数据类型: double

线性等式约束,指定为实数向量。beq 是与 Aeq 矩阵相关的包含 Me 个元素的向量。如果将 beq 作为行向量传递,求解器会在内部将 beq 转换为列向量 beq(:)。对于大型问题,将 beq 作为稀疏向量传递。

beq 以如下形式编写 Me 个线性等式

Aeq*x = beq

其中,x 是由 N 个变量组成的列向量 x(:)Aeq 是大小为 Me×N 的矩阵。

例如,请参考以下等式:

x1 + 2x2 + 3x3 = 10
2x1 + 4x2 + x3 = 20。

通过输入以下约束来指定等式。

Aeq = [1,2,3;2,4,1];
beq = [10;20];

示例: 要指定 x 分量总和为 1,请使用 Aeq = ones(1,N)beq = 1

数据类型: double

下界,指定为双精度值组成的向量或数组。lb 按元素表示下界,形如 lb  x  ub

lsqlin 在内部将数组 lb 转换为向量 lb(:)

示例: lb = [0;-Inf;4] 表示 x(1) ≥ 0x(3) ≥ 4

数据类型: double

上界,指定为双精度值组成的向量或数组。ub 按元素表示上界,形如 lb  x  ub

lsqlin 在内部将数组 ub 转换为向量 ub(:)

示例: ub = [Inf;4;10] 表示 x(2) ≤ 4x(3) ≤ 10

数据类型: double

求解过程的初始点,指定为实数向量或数组。'trust-region-reflective''active-set' 算法使用 x0(可选)。

如果您没有为 'trust-region-reflective''active-set' 算法指定 x0lsqlin 会将 x0 设置为零向量。如果零向量 x0 的任何分量违反边界,lsqlin 会将 x0 设置为边界定义的框内部的一个点。

示例: x0 = [4;-3]

数据类型: double

lsqlin 的选项,指定为 optimoptions 函数的输出或诸如由 optimset 创建的结构体。

optimoptions 显示中缺少某些选项。这些选项在下表中以斜体显示。有关详细信息,请参阅View Options

所有算法

Algorithm

选择算法:

  • 'interior-point'(默认值)

  • 'trust-region-reflective'

  • 'active-set'

'trust-region-reflective' 算法只允许上界和下界,没有线性不等式或等式。如果同时指定 'trust-region-reflective' 算法和线性约束,lsqlin 将使用 'interior-point' 算法。

'trust-region-reflective' 算法不允许相等的上界和下界。

当问题没有约束时,lsqlin 会在内部调用 mldivide

如果您有大量的线性约束而没有大量的变量,请尝试 'active-set' 算法。

有关选择算法的详细信息,请参阅选择算法

Diagnostics

显示关于要最小化或求解的函数的诊断信息。选择项是 'on' 或默认值 'off'

Display

返回到命令行的输出显示级别。

  • 'off''none' 不显示输出。

  • 'final' 仅显示最终输出(默认值)。

'interior-point' 算法允许其他值:

  • 'iter' 显示迭代输出。

  • 'iter-detailed' 显示迭代输出以及详细的退出消息。

  • 'final-detailed' 仅显示最终输出以及详细的退出消息。

MaxIterations

允许的迭代最大次数,为正整数。'active-set' 算法的默认值为 2000,其他算法的默认值为 200

对于 optimset,选项名称为 MaxIter。请参阅当前选项名称和旧选项名称

trust-region-reflective 算法选项

FunctionTolerance

关于函数值的终止容差,为正标量。默认值为 100*eps,大约为 2.2204e-14

对于 optimset,选项名称为 TolFun。请参阅当前选项名称和旧选项名称

JacobianMultiplyFcn

Jacobian 矩阵乘法函数,指定为函数句柄。对于大规模结构问题,此函数应计算 Jacobian 矩阵乘积 C*YC'*YC'*(C*Y),而并不实际构造 C。以如下形式编写函数

W = jmfun(Jinfo,Y,flag)

其中 Jinfo 包含用于计算 C*Y(或 C'*YC'*(C*Y))的矩阵。

jmfun 必须计算三种不同乘积之一,具体取决于 lsqlin 传递的 flag 的值:

  • 如果 flag == 0,则 W = C'*(C*Y)

  • 如果 flag > 0,则 W = C*Y

  • 如果 flag < 0,则 W = C'*Y

jmfun 在以上任一情形都无需显式构造 Clsqlin 使用 Jinfo 计算预条件子。有关如何根据需要提供额外参数的信息,请参阅传递额外参数

有关示例,请参阅Jacobian Multiply Function with Linear Least Squares

对于 optimset,选项名称为 JacobMult。请参阅当前选项名称和旧选项名称

MaxPCGIter

PCG(预条件共轭梯度)迭代的最大次数,正标量。默认值为 max(1,floor(numberOfVariables/2))。有关详细信息,请参阅信赖域反射算法

OptimalityTolerance

一阶最优性的终止容差,正标量。默认值为 100*eps,大约为 2.2204e-14。请参阅一阶最优性度量

对于 optimset,选项名称为 TolFun。请参阅当前选项名称和旧选项名称

PrecondBandWidth

PCG(预条件共轭梯度)的预条件子上带宽。默认情况下,使用对角预条件(上带宽为 0)。对于某些问题,增加带宽会减少 PCG 迭代次数。将 PrecondBandWidth 设置为 Inf 会使用直接分解 (Cholesky),而不是共轭梯度 (CG)。直接分解的计算成本较 CG 高,但所得的求解步质量更好。有关详细信息,请参阅信赖域反射算法

SubproblemAlgorithm

确定迭代步的计算方式。与 'factorization' 相比,默认值 'cg' 采用的步执行速度更快,但不够准确。请参阅信赖域反射最小二乘

TolPCG

PCG(预条件共轭梯度)迭代的终止容差,正标量。默认值为 0.1

TypicalX

典型的 x 值。TypicalX 中的元素数等于变量数。默认值为 ones(numberofvariables,1)lsqlin 在内部使用 TypicalX 进行缩放。仅当 x 具有无界分量且一个无界分量的 TypicalX 值大于 1 时,TypicalX 才会起作用。

interior-point 算法选项

ConstraintTolerance

约束违反度度容差;正标量。默认值为 1e-8

对于 optimset,选项名称为 TolCon。请参阅当前选项名称和旧选项名称

LinearSolver

算法内部线性求解器的类型:

  • 'auto'(默认值)- 如果 C 矩阵为稀疏矩阵,则使用 'sparse',否则使用 'dense'

  • 'sparse' - 使用稀疏线性代数。请参阅稀疏矩阵

  • 'dense' - 使用稠密线性代数。

OptimalityTolerance

一阶最优性的终止容差,正标量。默认值为 1e-8。请参阅一阶最优性度量

对于 optimset,选项名称为 TolFun。请参阅当前选项名称和旧选项名称

StepTolerance

关于正标量 x 的终止容差。默认值为 1e-12

对于 optimset,选项名称为 TolX。请参阅当前选项名称和旧选项名称

'active-set' 算法选项

ConstraintTolerance

约束违反度度容差;正标量。默认值为 1e-8

对于 optimset,选项名称为 TolCon。请参阅当前选项名称和旧选项名称

ObjectiveLimit

容差(停止条件),标量。如果目标函数值低于 ObjectiveLimit 并且当前点可行,则迭代停止,因为问题很可能是无界的。默认值为 -1e20

OptimalityTolerance

一阶最优性的终止容差,正标量。默认值为 1e-8。请参阅一阶最优性度量

对于 optimset,名称是 TolFun。请参阅当前选项名称和旧选项名称

StepTolerance

关于正标量 x 的终止容差。默认值为 1e-8

对于 optimset,选项名称为 TolX。请参阅当前选项名称和旧选项名称

优化问题,指定为具有以下字段的结构体。

C

C*x - d 中的矩阵乘数

d

C*x - d 中的加法常数

Aineq

线性不等式约束的矩阵

bineq

线性不等式约束的向量

Aeq

线性等式约束的矩阵

beq

线性等式约束的向量
lb由下界组成的向量
ub由上界组成的向量

x0

x 的初始点

solver

'lsqlin'

options

optimoptions 创建的选项

注意

您不能将热启动与 problem 参数结合使用。

数据类型: struct

热启动对象,指定为使用 optimwarmstart 创建的对象。热启动对象包含起点和选项,以及代码生成中的内存大小数据(可选)。请参阅Warm Start Best Practices

示例: ws = optimwarmstart(x0,options)

输出参数

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解,以向量形式返回,它在满足所有边界和线性约束的情况下最小化 C*x-d 的范数。

热启动对象求解,以 LsqlinWarmStart 对象形式返回。解点是 wsout.X

您可以在后续的 lsqlin 调用中使用 wsout 作为输入热启动对象。

目标值,以标量值 norm(C*x-d)^2 形式返回。

解残差,以向量 C*x-d 形式返回。

算法停止条件,以整数形式返回,标识算法停止的原因。下面列出 exitflag 的值以及相应的 lsqlin 停止原因。

3

残差的变化小于指定容差 options.FunctionTolerance。(trust-region-reflective 算法)

2

步长小于 options.StepTolerance,满足约束。(interior-point 算法)

1

函数收敛于解 x

0

迭代次数超出 options.MaxIterations

-2

此问题不可行。或者,对于 interior-point 算法,步长小于 options.StepTolerance,但不满足约束。

-3此问题无界。

-4

病态会妨碍进一步优化。

-8

无法计算步的方向。

interior-point 算法的退出消息可以提供关于 lsqlin 停止原因的详细信息,例如超出容差。请参阅退出标志和退出消息

求解过程摘要,以包含优化过程信息的结构体形式返回。

iterations

求解器已进行的迭代次数。

algorithm

下列算法之一:

  • 'interior-point'

  • 'trust-region-reflective'

  • 'mldivide'(对于无约束问题)

对于无约束问题,iterations = 0,且 output 结构体中的其余各项为空。

constrviolation

约束违反度,在违反约束时为正值('trust-region-reflective' 算法不返回此项)。

constrviolation = max([0;norm(Aeq*x-beq, inf);(lb-x);(x-ub);(A*x-b)])

message

退出消息。

firstorderopt

解处的一阶最优性。请参阅一阶最优性度量

linearsolver

内部线性求解器的类型,'dense''sparse'(仅适用于 'interior-point' 算法)

cgiterations

求解器执行的共轭梯度迭代的次数。仅对 'trust-region-reflective' 算法为非空。

请参阅Output Structures

拉格朗日乘数,以具有以下字段的结构体形式返回。

lower

下界 lb

upper

上界 ub

ineqlin

线性不等式

eqlin

线性等式

请参阅拉格朗日乘数结构体

提示

  • 对于没有约束的问题,可以使用 mldivide(矩阵左除)。当没有约束时,lsqlin 返回 x = C\d

  • 由于要求解的问题始终为凸,因此 lsqlin 寻找一个全局解,尽管它不一定唯一。

  • 如果您的问题有很多线性约束和很少的变量,请尝试使用 'active-set' 算法。请参阅Quadratic Programming with Many Linear Constraints

  • 如果您使用 Aeqbeq 显式指定(而不是使用 lbub 隐式指定)等式,可能会得到更好的数值结果。

  • trust-region-reflective 算法不允许相等的上界和下界。在这种情况下,请换一种算法。

  • 如果问题的指定输入边界不一致,则输出 xx0,输出 resnormresidual[]

  • 您可以使用 trust-region-reflective 算法和 Jacobian 矩阵乘法函数来求解一些大规模结构问题,包括那些因 C 矩阵太大而无法放入内存的问题。有关信息,请参阅trust-region-reflective 算法选项

算法

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信赖域反射算法

此方法是一种子空间信赖域方法,基于 [1] 中所述的内部反射牛顿法。每次迭代都涉及使用预条件共轭梯度法 (PCG) 来近似求解大型线性方程组。请参阅信赖域反射最小二乘,尤其是大规模线性最小二乘

内点算法

'interior-point' 算法基于 quadprog 'interior-point-convex' 算法。请参阅线性最小二乘:内点或活动集

活动集算法

'active-set' 算法基于 quadprog 'active-set' 算法。有关详细信息,请参阅线性最小二乘:内点或活动集active-set quadprog 算法

参考

[1] Coleman, T. F. and Y. Li. “A Reflective Newton Method for Minimizing a Quadratic Function Subject to Bounds on Some of the Variables,” SIAM Journal on Optimization, Vol. 6, Number 4, pp. 1040–1058, 1996.

[2] Gill, P. E., W. Murray, and M. H. Wright. Practical Optimization, Academic Press, London, UK, 1981.

热启动

热启动对象维护先前已求解问题的活动约束列表。求解器将尽可能多地携带活动约束信息来求解当前问题。如果前一个问题与当前问题差异太大,则不会重用任何活动约束集信息。在这种情况下,求解器实际上执行冷启动,以重新构建活动约束列表。

替代功能

App

优化实时编辑器任务为 lsqlin 提供可视化界面。

扩展功能

在 R2006a 之前推出