基于问题的非线性最小二乘

此示例说明如何使用基于问题的优化工作流执行非线性最小二乘曲线拟合。

模型

此问题的模型方程是

$y (t) = A_{1} \exp (r_{1} t) + A_{2} \exp (r_{2} t),$

其中 $A_{1}$ 、 $A_{2}$ 、 $r_{1}$ 和 $r_{2}$ 是未知参数， $y$ 是响应， $t$ 是时间。该问题需要时间 tdata 和（含噪）响应测量 ydata 的数据。目标是找到最佳 $A$ 和 $r$ ，也就是最小化下式的那些值：

$\sum_{t \in t d a t a} {(y (t) - y d a t a)}^{2} .$

样本数据

通常，您有针对某个问题的数据。在这种情况下，请为该问题生成人为含噪数据。使用 A = [1,2] 和 r = [-1,-3] 作为基础值，使用从 0 到 3 的 200 个随机值作为时间数据。绘制生成的数据点。

rng default % For reproducibility
A = [1,2];
r = [-1,-3];
tdata = 3*rand(200,1);
tdata = sort(tdata); % Increasing times for easier plotting
noisedata = 0.05*randn(size(tdata)); % Artificial noise
ydata = A(1)*exp(r(1)*tdata) + A(2)*exp(r(2)*tdata) + noisedata;
plot(tdata,ydata,'r*')
xlabel 't'
ylabel 'Response'

数据是含噪数据。因此，该解可能不会很好地匹配原始参数 A 和 r。

基于问题的方法

要找到最佳拟合参数 A 和 r，首先用这些名称定义优化变量。

A = optimvar('A',2);
r = optimvar('r',2);

为目标函数创建一个表达式，它是要最小化的平方和。

fun = A(1)*exp(r(1)*tdata) + A(2)*exp(r(2)*tdata);
obj = sum((fun - ydata).^2);

用目标函数 obj 创建一个优化问题。

lsqproblem = optimproblem("Objective",obj);

对于基于问题的方法，将初始点指定为结构体，并将变量名称作为结构体的字段。指定初始 A = [1/2,3/2] 和初始 r = [-1/2,-3/2]。

x0.A = [1/2,3/2];
x0.r = [-1/2,-3/2];

检查问题表示。

show(lsqproblem)

  OptimizationProblem : 

	Solve for:
       A, r

	minimize :
       sum(arg6)

       where:

           arg5 = extraParams{3};
           arg6 = (((A(1) .* exp((r(1) .* extraParams{1}))) + (A(2) .* exp((r(2) .* extraParams{2})))) - arg5).^2;

         extraParams{1}:

         0.0139
         0.0357
         0.0462
         0.0955
         0.1033
         0.1071
         0.1291
         0.1385
         0.1490
         0.1619
         0.1793
         0.2276
         0.2279
         0.2345
         0.2434
         0.2515
         0.2533
         0.2894
         0.2914
         0.2926

         :
         :

       extraParams{2}:

         0.0139
         0.0357
         0.0462
         0.0955
         0.1033
         0.1071
         0.1291
         0.1385
         0.1490
         0.1619
         0.1793
         0.2276
         0.2279
         0.2345
         0.2434
         0.2515
         0.2533
         0.2894
         0.2914
         0.2926

         :
         :

       extraParams{3}:

         2.9278
         2.7513
         2.7272
         2.4199
         2.3172
         2.3961
         2.2522
         2.1974
         2.1666
         2.0944
         1.9566
         1.7989
         1.7984
         1.7540
         1.8318
         1.6745
         1.6874
         1.5526
         1.5229
         1.5680

         :
         :

基于问题的解

求解。

[sol,fval] = solve(lsqproblem,x0)

Solving problem using lsqnonlin.

Local minimum found.

Optimization completed because the size of the gradient is less than
the value of the optimality tolerance.

sol = struct with fields:
    A: [2x1 double]
    r: [2x1 double]

fval = 0.4724

绘制得到的解和原始数据。

figure
responsedata = evaluate(fun,sol);
plot(tdata,ydata,'r*',tdata,responsedata,'b-')
legend('Original Data','Fitted Curve')
xlabel 't'
ylabel 'Response'
title("Fitted Response")

该图显示拟合数据与原始含噪数据匹配良好。

查看拟合参数与原始参数 A = [1,2] 和 r = [-1,-3] 的匹配程度。

disp(sol.A)

    1.1615
    1.8629

disp(sol.r)

   -1.0882
   -3.2256

A 中的拟合参数偏差约为 15%，r 中的拟合参数偏差约为 8%。

不受支持的函数要求 `fcn2optimexpr`

如果您的目标函数不是由初等函数组成，您必须使用 fcn2optimexpr 将该函数转换为优化表达式。请参阅将非线性函数转换为优化表达式。对于本示例：

fun = @(A,r) A(1)*exp(r(1)*tdata) + A(2)*exp(r(2)*tdata);
response = fcn2optimexpr(fun,A,r);
obj = sum((response - ydata).^2);

求解此问题的其余步骤是相同的。唯一不同是在绘图例程中调用 response 而不是 fun：

responsedata = evaluate(response,sol);

有关支持的函数列表，请参阅Supported Operations for Optimization Variables and Expressions。

另请参阅

solve

基于问题的非线性最小二乘

模型

样本数据

基于问题的方法

基于问题的解

不受支持的函数要求 fcn2optimexpr

另请参阅

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不受支持的函数要求 `fcn2optimexpr`