滤波器实现

卷积和滤波

滤波的数学基础是卷积。对于有限冲激响应 (FIR) 滤波器，滤波运算的输出 y(k) 是输入信号 x(k) 与冲激响应 h(k) 的卷积：

$y (k) = \sum_{l = - \infty}^{\infty} h (l) x (k - l) .$

如果输入信号也是有限长度的，您可以使用 MATLAB^® conv 函数来执行滤波运算。例如，要用三阶平均值滤波器对包含五个样本的随机向量进行滤波，可以将 x(k) 存储在向量 x 中，将 h(k) 存储在向量 h 中，并求这两个向量的卷积：

x = randn(5,1);
h = [1 1 1 1]/4;   % A third-order filter has length 4
y = conv(h,x)

y 的长度比 x 和 h 的长度之和小 1。

滤波器和传递函数

滤波器的传递函数是其冲激响应的 Z 变换。对于 FIR 滤波器，输出 y 的 Z 变换 Y(z) 是传递函数和输入 x 的 Z 变换 X(z) 的乘积：

$Y (z) = H (z) X (z) = (h (1) + h (2) z^{- 1} + \dots + h (n + 1) z^{- n}) X (z) .$

多项式系数 h(1), h(2), …, h(n + 1) 对应于第 n 阶滤波器的冲激响应的系数。

注意

滤波器系数索引从 1 到 (n + 1)，而不是从 0 到 n。这反映了用于 MATLAB 向量的标准索引方案。

FIR 滤波器也称为全零、非递归或移动平均值 (MA) 滤波器。

对于无限冲激响应 (IIR) 滤波器，传递函数不是多项式，而是有理函数。输入和输出信号的 Z 变换的关系是：

$Y (z) = H (z) X (z) = \frac{b (1) + b (2) z^{- 1} + ... + b (n + 1) z^{- n}}{a (1) + a (2) z^{- 1} + ... + a (m + 1) z^{- m}} X (z),$

其中 b(i) 和 a(i) 是滤波器系数。在本例中，滤波器的阶是 n 和 m 的最大值。n = 0 的 IIR 滤波器也称为全极点、递归或自回归 (AR) 滤波器。n 和 m 均大于零的 IIR 滤波器也称为零极点、递归或自回归移动平均值 (ARMA) 滤波器。缩写 AR、MA 和 ARMA 通常应用于与滤波随机过程相关联的滤波器。

使用 `filter` 函数进行滤波

对于 IIR 滤波器，滤波运算不能用简单的卷积来说明，而需要用可从传递函数关系中找到的差分方程来说明。假设 a(1) = 1，将分母移到左侧，并进行逆 Z 变换，以获得

$y (k) + a (2) y (k - 1) + \dots + a (m + 1) y (k - m) = b (1) x (k) + b (2) x (k - 1) + \dots + b (n + 1) x (k - n) .$

对于当前输入、过去的输入以及过去的输出，y(k) 是

$y (k) = b (1) x (k) + b (2) x (k - 1) + \dots + b (n + 1) x (k - n) - a (2) y (k - 1) - \dots - a (m + 1) y (k - m),$

这是数字滤波器的标准时域表示。从 y(1) 开始，假设一个初始条件为零的因果系统，表示等效于

$\begin{array}{l} y (1) = b (1) x (1) \\ y (2) = b (1) x (2) + b (2) x (1) - a (2) y (1) \\ y (3) = b (1) x (3) + b (2) x (2) + b (3) x (1) - a (2) y (2) - a (3) y (1) \\ ⋮ \\ y (n) = b (1) x (n) + \dots + b (n) x (1) - a (2) y (n - 1) - \dots - a (n) y (1) . \end{array}$