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滤波器实现

卷积和滤波

滤波的数学基础是卷积。对于有限脉冲响应 (FIR) 滤波器,滤波运算的输出 y(k) 是输入信号 x(k) 与脉冲响应 h(k) 的卷积:

y(k)=l=h(l)x(kl).

如果输入信号也是有限长度的,您可以使用 MATLAB® conv 函数来执行滤波运算。例如,要用三阶平均值滤波器对包含五个样本的随机向量进行滤波,可以将 x(k) 存储在向量 x 中,将 h(k) 存储在向量 h 中,并求这两个向量的卷积:

x = randn(5,1);
h = [1 1 1 1]/4;   % A third-order filter has length 4
y = conv(h,x)
y =
   -0.3375
    0.4213
    0.6026
    0.5868
    1.1030
    0.3443
    0.1629
    0.1787
y 的长度比 xh 的长度之和小 1。

滤波器和传递函数

滤波器的传递函数是其脉冲响应的 Z 变换。对于 FIR 滤波器,输出 y 的 Z 变换 Y(z) 是传递函数和 x 的 Z 变换 X(z) 的乘积:

Y(z)=H(z)X(z)=(h(1)+h(2)z1++h(n+1)zn)X(z).

多项式系数 h(1), h(2), …, h(n + 1) 对应于第 n 阶滤波器的脉冲响应的系数。

注意

滤波器系数索引从 1 到 (n + 1),而不是从 0 到 n。这反映了用于 MATLAB 向量的标准索引方案。

FIR 滤波器也称为全零、非递归或移动平均值 (MA) 滤波器。

对于无限脉冲响应 (IIR) 滤波器,传递函数不是多项式,而是有理函数。输入和输出信号的 Z 变换的关系是:

Y(z)=H(z)X(z)=b(1)+b(2)z1+...+b(n+1)zna(1)+a(2)z1+...+a(m+1)zmX(z),

其中 b(i) 和 a(i) 是滤波器系数。在本例中,滤波器的阶是 n 和 m 的最大值。n = 0 的 IIR 滤波器也称为全极点、递归或自回归 (AR) 滤波器。n 和 m 均大于零的 IIR 滤波器也称为极点-零点、递归或自回归移动平均值 (ARMA) 滤波器。缩写 AR、MA 和 ARMA 通常应用于与滤波随机过程相关联的滤波器。

使用 filter 函数进行滤波

对于 IIR 滤波器,滤波运算不能用简单的卷积来说明,而需要用可从传递函数关系中找到的差分方程来说明。假设 a(1) = 1,将分母移到左侧,并进行逆 Z 变换,以获得

y(k)+a(2)y(k1)++a(m+1)y(km)=b(1)x(k)+b(2)x(k1)++b(n+1)x(kn).

对于当前输入、过去的输入以及过去的输出,y(k) 是

y(k)=b(1)x(k)+b(2)x(k1)++b(n+1)x(kn)a(2)y(k1)a(m+1)y(km),

这是数字滤波器的标准时域表示。从 y(1) 开始,假设一个初始条件为零的因果系统,表示形式等效于

y(1)=b(1)x(1)y(2)=b(1)x(2)+b(2)x(1)a(2)y(1)y(3)=b(1)x(3)+b(2)x(2)+b(3)x(1)a(2)y(2)a(3)y(1)y(n)=b(1)x(n)++b(n)x(1)a(2)y(n1)a(n)y(1).

要实现此滤波运算,您可以使用 MATLAB filter 函数。filter 将系数存储在两个行向量中,其中一个为分子,一个为分母。例如,要求解差分方程

y(n)0.9y(n1)=x(n)Y(z)=110.9z1X(z)=H(z)X(z),

,您可以使用

b = 1;
a = [1 -0.9];
y = filter(b,a,x);
filter 提供的输出样本的数量与输入样本一样多,即 y 的长度与 x 的长度相同。如果 a 的第一个元素不是 1,则 filter 在实现差分方程之前,将系数除以 a(1)。

另请参阅

App

函数