Walsh-Hadamard 变换

Walsh-Hadamard 变换是一种将信号分解成一组基函数的非正弦类正交变换方法。这些基函数是 Walsh 函数，它们是值为 +1 或 –1 的矩形波或方波。Walsh-Hadamard 变换也称为 Hadamard 变换（请参阅 MATLAB 软件中的 hadamard 函数）、Walsh 变换或 Walsh-Fourier 变换。

前八个 Walsh 函数具有以下值：

索引	Walsh 函数值
0	1 1 1 1 1 1 1 1
1	1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
2	1 1 -1 -1 -1 -1 1 1
3	1 1 -1 -1 1 1 -1 -1
4	1 -1 -1 1 1 -1 -1 1
5	1 -1 -1 1 -1 1 1 -1
6	1 -1 1 -1 -1 1 -1 1
7	1 -1 1 -1 1 -1 1 -1

Walsh-Hadamard 变换返回列率值。列率是一种更广义的频率，定义为每单位时间间隔平均过零次数的一半。每个 Walsh 函数都有唯一的列率值。您可以使用返回的列率值来估计原始信号中的信号频率。

用来存储 Walsh 函数的排序方案有三种：列率法，Hadamard 法和并元法。列率排序用于信号处理应用，其中 Walsh 函数的顺序如上表所示。Hadamard 排序用于控制应用，函数顺序为 0、4、6、2、3、7、5、1。并元或格雷码排序用于数学，函数顺序为 0、1、3、2、6、7、5、4。

Walsh-Hadamard 变换用于许多应用，如图像处理、语音处理、滤波和功率谱分析。它对于降低带宽存储要求和扩频分析非常有用。像 FFT 一样，Walsh-Hadamard 变换有快速版本，即快速 Walsh-Hadamard 变换 (fwht)。与 FFT 相比，FWHT 所需的存储空间更少，并且计算速度更快，因为它只使用实数加法和减法，而 FFT 需要复数值。与 FFT 相比，FWHT 能够用更少的系数更精确地表示具有明显不连续性的信号。FWHT 和逆 FWHT (ifwht) 是对称的，因此使用相同的计算过程。长度为 N 的信号 x(t) 的 FWHT 和 IFWHT 定义为：

$\begin{array}{l} y_{n} = \frac{1}{N} \sum_{i = 0}^{N - 1} x_{i} WAL (n, i), \\ x_{i} = \sum_{i = 0}^{N - 1} y_{n} WAL (n, i), \end{array}$

，其中 i = 0,1, …, N – 1 和 WAL(n,i) 是 Walsh 函数。与 FFT 的 Cooley-Tukey 算法相似，这 N 个元素被分解成元素个数为 N/2 的两组，然后用蝶形结构合并以形成 FWHT。对于图像（其输入通常是二维信号），其 FWHT 系数的计算方法是先横向计算行，再纵向计算列。

对于以下简单信号，得到的 FWHT 表明 x 是使用列率值为 0、1、3 和 6 的 Walsh 函数创建的，这些值是变换后的 x 的非零索引。使用逆 FWHT 可重新创建原始信号。

x = [4 2 2 0 0 2 -2 0]
y = fwht(x)

x =

     4     2     2     0     0     2    -2     0

y =

     1     1     0     1     0     0     1     0

x1 = ifwht(y)

x1 =

     4     2     2     0     0     2    -2     0

另请参阅

fwht | ifwht