jacobian

向量函数的雅可比矩阵是由该函数的偏导数组成的矩阵。

计算 [x*y*z,y^2,x + z] 关于 [x,y,z] 的雅可比矩阵。

syms x y z
jacobian([x*y*z,y^2,x + z],[x,y,z])

ans = 
$$\left(\begin{array}{ccc}y\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}y\\ 0& 2\hspace{0.17em}y& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

现在，计算 [x*y*z,y^2,x + z] 关于 [x;y;z] 的雅可比矩阵。

jacobian([x*y*z,y^2,x + z], [x;y;z])

ans = 
$$\left(\begin{array}{ccc}y\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}z& x\hspace{0.17em}y\\ 0& 2\hspace{0.17em}y& 0\\ 1& 0& 1\end{array}\right)$$

雅可比矩阵不会因第二个输入位置的向量方向而改变。

标量函数的雅可比矩阵是其梯度的转置。

计算 2*x + 3*y + 4*z 关于 [x,y,z] 的雅可比矩阵。

syms x y z
jacobian(2*x + 3*y + 4*z,[x,y,z])

ans = $$\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\end{array}\right)$$

现在，计算同一表达式的梯度。

gradient(2*x + 3*y + 4*z,[x,y,z])

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}2\\ 3\\ 4\end{array}\right)$$

一个函数关于标量的雅可比矩阵是该函数的一阶导数。对于向量函数而言，它关于标量的雅可比矩阵是一个由一阶导数组成的向量。

计算 [x^2*y,x*sin(y)] 关于 x 的雅可比矩阵。

syms x y
jacobian([x^2*y,x*sin(y)],x)

ans = 
$$\left(\begin{array}{c}2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}y\\ \sin \left(y\right)\end{array}\right)$$

现在，计算导数。

diff([x^2*y,x*sin(y)],x)

ans = $$\left(\begin{array}{cc}2\hspace{0.17em}x\hspace{0.17em}y& \sin \left(y\right)\end{array}\right)$$

指定极坐标 $$r(t)$$、$$\varphi (t)$$ 和 $$\theta (t)$$，它们是时间函数。

syms r(t) phi(t) theta(t)

定义从球面坐标到笛卡尔坐标的坐标变换。

R = [r*sin(phi)*cos(theta), r*sin(phi)*sin(theta), r*cos(phi)]

R(t) = $$\left(\begin{array}{ccc}\cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& \sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)\end{array}\right)$$

求从球面坐标到笛卡尔坐标的坐标变换的雅可比矩阵。

jacobian(R,[r,phi,theta])

ans(t) = 
$$\left(\begin{array}{ccc}\cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)& \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& -\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)\\ \sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)& \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& \cos \left(\theta \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)\\ \cos \left(\varphi \left(t\right)\right)& -\sin \left(\varphi \left(t\right)\right)\hspace{0.17em}r\left(t\right)& 0\end{array}\right)$$