混合整数 ga 优化

拉斯特里金函数的混合整数优化

此示例显示如何找到拉斯特里金函数的最小值，限制 x 的第一个分量为整数。X 的分量被进一步限制在区域 $$5\pi \le x(1)\le 20\pi ,-20\pi \le x(2)\le -4\pi$$ 内。

lb = [5*pi,-20*pi];
ub = [20*pi,-4*pi];

opts = optimoptions('ga','PlotFcn',@gaplotbestf);

rng(1,'twister') % for reproducibility
intcon = 1;
[x,fval,exitflag] = ga(@rastriginsfcn,2,[],[],[],[],...
    lb,ub,[],intcon,opts)

ga stopped because the average change in the penalty function value is less than options.FunctionTolerance and 
the constraint violation is less than options.ConstraintTolerance.

x = 1×2

   16.0000  -12.9325

fval = 
424.1355

exitflag = 
1

具有非线性约束的整数规划

此示例尝试在五维空间中根据以下约束找到 Ackley 函数（运行此示例时包含）的最小值：

ga 求解器不支持非线性等式约束，仅支持非线性不等式约束。此示例显示了一种适用于某些问题的解决方法，但不保证一定有效。

Ackley 函数很难最小化。添加整数和等式约束会增加难度。

为了包含非线性等式约束，给出一个小的容差 tol，使得 x 的范数在 tol 4 的范围内。如果没有容差，非线性等式约束就永远不会得到满足，求解器就无法得到可行解。

将表达式 norm(x) = 4 写成两个“小于零”的不等式。

$$-\Vert x-4\Vert \le 0$$.

允许不等式有微小的容差。

$$-\Vert x-4\Vert -tol\le 0$$.

编写一个非线性不等式约束函数 eqCon 来实现这些不等式。

type eqCon

function [c, ceq] = eqCon(x)

ceq = [];
rad = 4;
tol = 1e-3;
confcnval = norm(x) - rad;
c = [confcnval - tol;-confcnval - tol];

设置以下选项：

opts = optimoptions('ga','MaxStallGenerations',50,'FunctionTolerance',1e-10,...
    'MaxGenerations',500,'PlotFcn',@gaplotbestfun);

设置下界和上界来帮助求解器。

nVar = 5;
lb = -5*ones(1,nVar);
ub = 5*ones(1,nVar);

求解。

rng(0,'twister') % for reproducibility
[x,fval,exitflag] = ga(@ackleyfcn,nVar,[],[],[],[], ...
    lb,ub,@eqCon,[1 3 5],opts);

ga stopped because the average change in the penalty function value is less than options.FunctionTolerance and 
the constraint violation is less than options.ConstraintTolerance.

检查解。

x,fval,exitflag,norm(x)

x = 1×5

         0    0.9706    1.0000    3.6158   -1.0000

fval = 
5.9676

exitflag = 
1

ans = 
4.0020

奇数 x 分量是整数，如指定的那样。x 的范数为 4，在给定的 1e-3 相对容差范围内。

尽管退出标志为正，但该解并不是全局最优的。以更大的种群再次运行该问题并检查解。

opts = optimoptions(opts,'Display','off','PopulationSize',400);
[x2,fval2,exitflag2] = ga(@ackleyfcn,nVar,[],[],[],[], ...
    lb,ub,@eqCon,[1 3 5],opts);

检查第二个解。

x2,fval2,exitflag2,norm(x2)

x2 = 1×5

   -1.0000    2.0082   -1.0000   -2.9954    1.0000

fval2 = 
4.2385

exitflag2 = 
1

ans = 
4.0006

第二次运行给出了更好的解（更低的适应度函数值）。再次，奇数 x 分量是整数，并且 x2 的范数是 4，在给定的相对容差 1e-3 范围内。

请注意，此过程可能失败；ga 难以同时处理整数和非线性等式约束。