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balred

（不建议）模型阶数缩减

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    不推荐使用 balred 和 balredOptions。请改用 reducespec (Control System Toolbox) (自 R2023b 起)。有关更新代码的信息，请参阅版本历史记录。

    语法

    [rsys,info] = balred(sys,order)
    [~,info] = balred(sys)
    [___] = balred(___,opts)
    balred(sys)

    说明

    [rsys,info] = balred(sys,order) 计算了线性时不变 (LTI) 模型 sys 的降阶逼近 rsys。所需阶数（状态数）由 order 指定。您可以通过将 order 设置为一个整数向量来同时尝试多种阶数，此时 rsys 是一个包含简化模型的数组。balred 还会返回一个结构体 info，其中包含额外信息，例如汉克尔奇异值 (HSV)、误差界、正则化级别以及格拉米安矩阵的乔利斯基因子。

    [~,info] = balred(sys) 返回结构体 info，而无需计算降阶模型。您可以根据所需的精度，利用这些信息选择降阶模型 order。

    注意

    如果关注性能，请利用上述语法获得的信息选择所需的模型阶数，然后使用 rsys = balred(sys,order,info) 计算降阶模型，从而避免重复计算汉克尔奇异值。

    [___] = balred(___,opts) 使用您通过 balredOptions 指定的 opts 选项来计算简化模型。您可以指定其他选项，用于消除状态、使用绝对误差控制或相对误差控制、侧重特定时间或频率带，以及区分稳定模式和不稳定模式。请参阅 balredOptions 以创建和配置选项集 opts。

    示例

    balred(sys) 在绘图上显示汉克尔奇异值和逼近误差。使用 hsvplot (Control System Toolbox) 自定义此图。

    示例

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    计算由以下方程给出的系统的降阶逼近：

    G ( s ) = ( s + 0 . 5 ) ( s + 1 . 1 ) ( s + 2 . 9 ) ( s + 1 0 - 6 ) ( s + 1 ) ( s + 2 ) ( s + 3 ) .

    创建模型。

    sys = zpk([-0.5 -1.1 -2.9],[-1e-6 -2 -1 -3],1);

    在稳定/不稳定分解中，将位于 s = 1 0 - 6 的极点从稳定项中剔除。要实现这一点，请将 balredOptions 的 Offset 选项设置为一个大于您要排除的极点的值。

    opts = balredOptions('Offset',0.001,'StateProjection','Truncate');

    可视化汉克尔奇异值 (HSV) 和逼近误差。

    balred(sys,opts)

    红色的 HSV 表示其与不稳定模式相关。

    现在，使用指定的选项计算二阶逼近。

    [rsys,info] = balred(sys,2,opts);
rsys
    rsys =
 
  0.99113 (s+0.5235)
  -------------------
  (s+1e-06) (s+1.952)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.

    请注意，在简化模型 rsys 中，-1e-6 处的极点似乎没有变化。

    比较原始模型与降阶模型的响应。

    bodeplot(sys,rsys,'r--')

    可以观察到，原始模型和降阶模型的波德响应几乎完全一致。

    输入参数

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    动态系统，指定为 SISO 或 MIMO 动态系统模型 (Control System Toolbox)。可用的动态系统可以是连续时间或离散时间的数值线性时不变 (LTI) 模型，例如 tf、zpk (Control System Toolbox) 或 ss (Control System Toolbox) 模型。

    当 sys 具有不稳定极点时，balred 将 sys 分解为稳定部分和不稳定部分，并仅对稳定部分进行逼近。使用 balredOptions (Control System Toolbox) 来指定稳定/不稳定分解的附加选项。

    balred 不支持频率响应数据模型、不确定状态空间模型和广义状态空间模型、PID 模型或稀疏模型对象。

    所需的状态数，指定为一个整数或一个整数向量。您可以通过将 order 设置为一个整数向量来同时尝试多个排序，此时 rys 将返回一个包含简化模型的数组。

    您还可以利用汉克尔奇异值和误差界信息，根据所需的模型保真度来选择简化模型的阶数。

    模型降维的其他选项，以选项集的形式指定。您可以指定其他选项，用于消除状态、使用绝对误差控制或相对误差控制、侧重特定时间或频率带，以及区分稳定模式和不稳定模式。

    请参阅 balredOptions (Control System Toolbox) 以创建和配置选项集 opts。

    输出参量

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    降阶模型，以动态系统模型或动态系统模型数组的形式返回。

    有关 LTI 模型的附加信息，以包含以下字段的结构形式返回：

    • HSV - 汉克尔奇异值（状态对输入/输出行为的贡献）。在使输入到状态与状态到输出的能量传递相等的状态坐标系中，汉克尔奇异值衡量了每个状态对输入/输出行为的贡献。汉克尔奇异值之于模型阶，正如奇异值之于矩阵秩。特别是，较小的汉克尔奇异值表明存在可忽略的状态，从而可以简化模型。

    • ErrorBound - 对绝对或相对逼近误差的限制。info.ErrorBound(J+1) 对第 J 阶的误差进行限制。

    • Regularization - 正则化级别 ⍴（仅适用于相对误差）。在此，sys 被替换为 [sys,⍴*I] 或 [sys;⍴*I]，以确保在所有频率下相对误差均明确界定。

    • Rr、Ro - 格拉米安矩阵的霍尔斯基分解。

    算法

    1. balred 首先将 G 分解为稳定部分和不稳定部分：

      G=Gs+Gu

    2. 当您将 ErrorBound 指定为 absolute 时，balred 会采用 [1] 的平衡截断法来缩减 Gs。该公式基于可控性与可观测性的格拉米安矩阵，计算汉克尔奇异值 (HSV) σj。对于阶数为 r 的序列，其绝对误差 ‖Gs−Gr‖∞ 上界为 2∑j=r+1nσj。这里，n 是 Gs 中的状态数。

    3. 当您将 ErrorBound 指定为 relative 时，balred 会采用 [2] 的平衡随机截断法来缩减 Gs。对于方阵 Gs，这计算了相位矩阵 F=(W')−1G 的 HSV σj，其中 W(s) 是 GG’ 的一个稳定的、最小相位的谱因子：

      W'(s)W(s)=G(s)G'(s)

      对于阶数 r，当 2∑j=r+1nσj≪1 时，相对误差 ‖Gs−1(Gs−Gr)‖∞ 上界为：

      ∏j=r+1H(1+σj1−σj)−1≈2∑j=r+1nσj

      。

    替代功能

    App

    模型降阶器 (Control System Toolbox)

    实时编辑器任务

    Reduce Model Order (Control System Toolbox)

    参考

    [1] Varga, A., "Balancing-Free Square-Root Algorithm for Computing Singular Perturbation Approximations," Proc. of 30th IEEE CDC, Brighton, UK (1991), pp. 1062-1065.

    [2] Green, M., "A Relative Error Bound for Balanced Stochastic Truncation", IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 33, No. 10, 1988

    版本历史记录

    在 R2006a 之前推出

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    另请参阅

    函数

    App

    实时编辑器任务

    主题