几何变换的矩阵表示

您可以使用几何变换矩阵来执行图像的全局变换。首先，定义变换矩阵，并使用它创建几何变换对象。然后，通过使用几何变换对象调用 imwarp 对图像应用全局变换。有关示例，请参阅Perform Simple 2-D Translation Transformation。

二维仿射变换

下表列出了二维仿射变换以及用于定义它们的变换矩阵。对于二维仿射变换，最后一列必须包含 [0 0 1] 同构坐标。

使用二维变换矩阵的任意组合来创建一个 affine2d 几何变换对象。使用二维平移和旋转矩阵的组合来创建一个 rigid2d 几何变换对象。

二维仿射变换	示例（原始图像和变换后的图像）	变换矩阵
平移			`t`_x 指定沿 x 轴的位移 `t`_y 指定沿 y 轴的位移。有关像素坐标的详细信息，请参阅图像坐标系。
缩放			`s`_x 指定沿 x 轴的缩放因子 `s`_y 指定沿 y 轴的缩放因子。
剪切			`sh`_x 指定沿 x 轴的剪切因子 `sh`_y 指定沿 y 轴的剪切因子。
旋转			`q` 指定围绕原点的旋转角度。

二维投影变换

投影变换使图像平面倾斜。平行线可以向一个消失点收敛，形成深度的外观。

变换矩阵是一个 3×3 矩阵。与仿射变换不同，变换矩阵的最后一列没有限制。

二维投影变换示例变换矩阵

倾斜

二维投影变换	示例	变换矩阵
倾斜		$[\begin{matrix} 1 & 0 & E \\ 0 & 1 & F \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	`E` 和 `F` 对消失点有影响。当 `E` 和 `F` 较大时，消失点更接近原点，因此平行线似乎收敛得更快。请注意，当 `E` 和 `F` 等于 0 时，该变换成为仿射变换。

$[\begin{matrix} 1 & 0 & E \\ 0 & 1 & F \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$

E 和 F 对消失点有影响。

当 E 和 F 较大时，消失点更接近原点，因此平行线似乎收敛得更快。

请注意，当 E 和 F 等于 0 时，该变换成为仿射变换。

投影变换经常用于配准未对齐的图像。如果您要对齐两个图像，请先使用 cpselect 选择控制点对。然后，使用 fitgeotrans 并将 transformationType 设置为 'projective' 来对成对控制点进行投影变换矩阵拟合。这将自动创建 projective2d 几何变换对象。变换矩阵作为属性存储在 projective2d 对象中。然后，可以使用 imwarp 将变换应用于其他图像。

创建复合二维仿射变换

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您可以使用矩阵乘法将多个变换合并成一个矩阵。矩阵乘法的顺序很重要。

此示例说明如何创建二维平移和旋转变换组合。

创建一个将发生变换的棋盘图像。同时为图像创建一个空间参照对象。

cb = checkerboard(4,2);
cb_ref = imref2d(size(cb));

要展示图像的空间位置，请创建一个平面背景图像。将棋盘叠加到背景上，使用绿色突出显示棋盘位置。

background = zeros(150);
imshowpair(cb,cb_ref,background,imref2d(size(background)))

创建一个变换矩阵，并将其存储为 affine2d 几何变换对象。此平移将使图像水平移动 100 个像素。

T = [1 0 0;0 1 0;100 0 1];
tform_t = affine2d(T);

创建一个旋转矩阵，并将其存储为 affine2d 几何变换对象。此旋转将使图关于原点顺时针旋转 30 度。

R = [cosd(30) sind(30) 0;-sind(30) cosd(30) 0;0 0 1];
tform_r = affine2d(R);

平移后旋转

首先执行平移，然后执行旋转。在变换矩阵的乘法运算中，平移矩阵 T 位于左侧，旋转矩阵 R 位于右侧。

TR = T*R;
tform_tr = affine2d(TR);
[out,out_ref] = imwarp(cb,cb_ref,tform_tr);
imshowpair(out,out_ref,background,imref2d(size(background)))

旋转后平移

颠倒变换的顺序：先执行旋转，再执行平移。在变换矩阵的乘法运算中，旋转矩阵 R 位于左侧，平移矩阵 T 位于右侧。

RT = R*T;
tform_rt = affine2d(RT);
[out,out_ref] = imwarp(cb,cb_ref,tform_rt);
imshowpair(out,out_ref,background,imref2d(size(background)))

请注意变换后的图像的空间位置与先平移后旋转情形的不同之处。

三维仿射变换

下表列出了三维仿射变换以及用于定义它们的变换矩阵。请注意，在三维情况下具有多个矩阵，具体取决于您要如何旋转或剪切图像。最后一列必须包含 [0 0 0 1]。

使用三维变换矩阵的任意组合来创建一个 affine3d 几何变换对象。使用三维平移和旋转矩阵的组合来创建一个 rigid3d 几何变换对象。

三维仿射变换	变换矩阵
平移	$[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ t_{x} & t_{y} & t_{z} & 1 \end{matrix}]$
缩放	$[\begin{matrix} s_{x} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & s_{y} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & s_{z} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$
剪切	x,y 剪切： $\begin{array}{l} x' = x + a z \\ y' = y + b z \\ z' = z \end{array}$ $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ a & b & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	x,z 剪切： $\begin{array}{l} x' = x + a y \\ y' = y \\ z' = z + c y \end{array}$ $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ a & 1 & c & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	y, z 剪切： $\begin{array}{l} x' = x \\ y' = y + b x \\ z' = z + c x \end{array}$ $[\begin{matrix} 1 & b & c & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$
旋转	关于 x 轴： $[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos (a) & \sin (a) & 0 \\ 0 & - \sin (a) & \cos (a) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	关于 y 轴： $[\begin{matrix} \cos (a) & 0 & - \sin (a) & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \sin (a) & 0 & \cos (a) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$	关于 z 轴： $[\begin{matrix} \cos (a) & \sin (a) & 0 & 0 \\ - s i n (a) & \cos (a) & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]$