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通过优化拟合曲线

此示例说明如何使用非线性函数对数据进行拟合。在本示例中,非线性函数是标准指数衰减曲线

y(t)=Aexp(-λt),

其中,y(t) 是时间 t 时的响应,Aλ 是要拟合的参数。对曲线进行拟合是指找出能够使误差平方和最小化的参数 Aλ

i=1n(yi-Aexp(-λti))2,

其中,时间为 ti,响应为 yi,i=1,,n。误差平方和为目标函数。

创建样本数据

通常,您要通过测量获得数据。在此示例中,请基于 A=40λ=0.5 且带正态分布伪随机误差的模型创建人工数据。

rng default % for reproducibility
tdata = 0:0.1:10;
ydata = 40*exp(-0.5*tdata) + randn(size(tdata));

编写目标函数

编写一个函数,该函数可接受参数 Alambda 以及数据 tdataydata,并返回模型 y(t) 的误差平方和。将要优化的所有变量(Alambda)置入单个向量变量 (x)。有关详细信息,请参阅求多元函数的最小值

type sseval
function sse = sseval(x,tdata,ydata)
A = x(1);
lambda = x(2);
sse = sum((ydata - A*exp(-lambda*tdata)).^2);

将此目标函数保存为 MATLAB® 路径上名为 sseval.m 的文件。

fminsearch 求解器适用于一个变量 x 的函数。但 sseval 函数包含三个变量。额外变量 tdataydata 不是要优化的变量,而是用于优化的数据。将 fminsearch 的目标函数定义为仅含有一个变量 x 的函数:

fun = @(x)sseval(x,tdata,ydata);

有关包括额外参数(例如 tdataydata)的信息,请参阅参数化函数

求最优拟合参数

从随机正参数集 x0 开始,使用 fminsearch 求使得目标函数值最小的参数。

x0 = rand(2,1);
bestx = fminsearch(fun,x0)
bestx = 2×1

   40.6877
    0.4984

结果 bestx 与生成数据的参数 A = 40lambda = 0.5 相当接近。

检查拟合质量

要检查拟合质量,请绘制数据和生成的拟合响应曲线。根据返回的模型参数创建响应曲线。

A = bestx(1);
lambda = bestx(2);
yfit = A*exp(-lambda*tdata);
plot(tdata,ydata,'*');
hold on
plot(tdata,yfit,'r');
xlabel('tdata')
ylabel('Response Data and Curve')
title('Data and Best Fitting Exponential Curve')
legend('Data','Fitted Curve')
hold off

Figure contains an axes. The axes with title Data and Best Fitting Exponential Curve contains 2 objects of type line. These objects represent Data, Fitted Curve.

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