稀疏矩阵的图形表示

查看有限元网格

首先，将 x 和 y 分别以 $2^{-32}$ 为比例缩小，使其处于范围 $\left[0,1\right]$ 内。然后，从 (i,j) 连接点构造稀疏邻接矩阵，并将其设为正定矩阵。最后，使用 (x,y) 作为顶点（网格点）的坐标绘制邻接矩阵。

% Scaling x and y
x = pow2(x,-32); 
y = pow2(y,-32);

% Forming the sparse adjacency matrix and making it positive definite
n = max(max(i),max(j));
A = sparse(i,j,-1,n,n);
A = A + A';
d = abs(sum(A)) + 1;
A = A + diag(sparse(d));

% Plotting the finite element mesh
gplot(A,[x y])
title('Airfoil Cross-Section')

可视化稀疏模式

您可以使用 spy 可视化矩阵中的非零元素，该函数尤其适用于查看稀疏矩阵中的稀疏模式。spy(A) 可以绘制矩阵 A 的稀疏模式。

spy(A)
title('Airfoil Adjacency Matrix')

对称重新排序 - 反向卡西尔-麦基

symrcm 使用反向卡西尔-麦基方法对邻接矩阵重新排序。r = symrcm(A) 返回置换向量 r，因此，相对于 A，A(r,r) 往往具有更接近对角线的对角线元素。对于来自“瘦长”问题的矩阵的 LU 或乔列斯基分解来说，这是一种很好的预排序方法。此方法对于对称和非对称矩阵都适用。

r = symrcm(A);
spy(A(r,r))
title('Reverse Cuthill-McKee')

对称重新排序 - 列置换

使用 j = COLPERM(A) 可返回一个置换向量，该向量以非零计数的非递减顺序对稀疏矩阵 A 的各列进行重新排序。此方法有时很有用，可作为对 LU 分解的预排序方法，如 lu(A(:,j))。

j = colperm(A);
spy(A(j,j))
title('Column Count Reordering')

对称重新排序 - 对称近似最小度

symamd 可以进行对称近似最小度置换。对于对称正定矩阵 A，命令 p = symamd(S) 返回置换向量 p，因此 S(p,p) 倾向于比 S 具有更稀疏的乔列斯基因子。有时 symamd 也适用于对称的非正定矩阵。

m = symamd(A);
spy(A(m,m))
title('Approximate Minimum Degree')