Main Content

本页的翻译已过时。点击此处可查看最新英文版本。

三角剖分表示法

二维和三维域

三角剖分通常用于表示计算机图形、物理建模、地理信息系统、医学成像及其他应用领域中的二维和三维几何域。如下所示的地图多边形

Plot of land mass with a rough border.

可以通过如下所示的地图的三角剖分来表示。

Plot of a land mass with a rough border that has triangles of various sizes superimposed.

三角剖分将一个复杂的多边形分解为一组较简单的三角多边形。可以使用这些多边形开发基于几何学的算法或图形应用。

同样,可以使用三角剖分表示三维几何域的边界。下图显示了三维空间中一组点的凸包。凸包的每个分面都是三角形。

Plot of 3-D shape boundary formed by triangles of various sizes.

三角剖分矩阵格式

MATLAB® 使用矩阵格式表示三角剖分。此格式包含以下两个部分:

  • 采用一个矩阵表示的顶点,该矩阵中每行包含三角剖分中一个点的坐标。

  • 采用一个矩阵表示的三角剖分连接,该矩阵中每行定义一个三角形或四面体。

此图显示了一个简单的二维三角剖分。

Plot of triangulation consisting of six vertices and four triangles, with each vertex and triangle labeled.

下表显示了顶点信息。

顶点
顶点 IDx 坐标y 坐标
V12.58.0
V26.58.0
V32.55.0
V46.55.0
V51.06.5
V68.06.5

上一个表中的数据在 MATLAB 环境中存储为矩阵。顶点 ID 是用于标识特定顶点的标签。这些标签用于说明顶点 ID 的概念,但不会显式存储。矩阵的行号充当顶点 ID。

该表中显示了三角剖分连接数据。

连接
三角形 ID边界顶点的 ID
T1531
T2321
T3342
T4462

此表中的数据在 MATLAB 环境中存储为矩阵。三角形 ID 是用于标识特定三角形的标签。这些标签用于说明三角形 ID 的概念,但不会显式存储。矩阵的行号充当三角形 ID。

可以看到三角形 T1 是由三个顶点 {V5, V3, V1} 定义的。同样,T4 是由顶点 {V4, V6, V2} 定义的。此格式可自然扩展到要求更多数据列的更高维度。例如,三维空间中的四面体由四个顶点定义,每个顶点都包含三个坐标 (x, y, z)。

您可以使用 MATLAB 来表示和查询以下类型的三角剖分:

  • 二维三角剖分,包含由顶点和边线限定的三角形

  • 三维曲面三角剖分,包含由顶点和边线限定的三角形

  • 三维三角剖分,包含由顶点、边线和面限定的四面体

使用三角剖分类查询三角剖分

矩阵格式提供基于紧凑型低级别数组的表示形式的三角剖分。使用三角剖分开发算法时,可能需要更多有关几何属性、拓扑和邻接信息的信息。

例如,在绘制如下所示的带注释的三角剖分之前,可以计算三角形内心。在这种情况下,使用内心显示每个三角形中的三角形标签(T1、T2 等)。如果要用红色绘制边界,需要确定仅由一个三角形引用的边线。

Triangulation consisting of six vertices and four triangles, with the outer border outlined in red.

三角剖分类

可以使用 triangulation 创建矩阵格式的任何二维或三维三角剖分数据的内存表示形式,例如 delaunay 函数或其他软件工具的矩阵输出。使用 triangulation 表示数据时,可以执行拓扑和几何查询,使用这些查询可开发几何算法。例如,您可以查找连接到某一顶点或共享某一条边的三角形或四面体,查找它们的外心,或查找其他特征。

可以通过以下两种方式之一创建 triangulation

  • 将矩阵格式的现有数据传递到 triangulation。这些数据可以是 MATLAB 函数的输出,例如 delaunayconvhull。您可以导入通过其他软件应用程序创建的三角剖分数据。使用导入的数据时,请确保连接数据使用从 1 开始而不是从 0 开始的索引来引用顶点数组。

  • 将一组点传递到 delaunayTriangulation。生成的 Delaunay 三角剖分一种特殊的 triangulation。这意味着可以对数据执行任何 triangulation 查询以及任何 Delaunay 特定的查询。在比较正式的 MATLAB 语言术语中,delaunayTriangulationtriangulation 的子类。

通过矩阵数据创建三角剖分

此示例说明如何使用三角剖分矩阵数据创建 triangulation,探索数据,以及可以对数据执行的操作。

创建包含顶点数据的矩阵 P

P = [ 2.5    8.0
      6.5    8.0
      2.5    5.0
      6.5    5.0
      1.0    6.5
      8.0    6.5];

定义连接 T

T = [5  3  1;
     3  2  1;
     3  4  2;
     4  6  2];

从该数据创建 triangulation

TR = triangulation(T,P)
TR = 
  triangulation with properties:

              Points: [6x2 double]
    ConnectivityList: [4x3 double]

按照访问 struct 的字段的相同方式访问 triangulation 中的属性。例如,检查包含顶点坐标的 Points 属性。

TR.Points
ans = 6×2

    2.5000    8.0000
    6.5000    8.0000
    2.5000    5.0000
    6.5000    5.0000
    1.0000    6.5000
    8.0000    6.5000

接下来检查连接。

TR.ConnectivityList
ans = 4×3

     5     3     1
     3     2     1
     3     4     2
     4     6     2

PointsConnectivityList 属性定义三角剖分的矩阵数据。

triangulation 类是矩阵数据的封装类。真实益处是 triangulation 类方法的有用性。这些方法类似于接受 triangulation 和其他相关输入数据的函数。

triangulation 类提供了一种简单方法创建 ConnectivityList 属性矩阵的索引。访问三角剖分中的第一个三角形。

TR.ConnectivityList(1,:)
ans = 1×3

     5     3     1

获取第一个三角形的另一种方法是 TR(1,:)

检查第一个三角形的第一个顶点。

TR(1,1)
ans = 5

检查第一个三角形的第二个顶点。

TR(1,2)
ans = 3

现在检查三角剖分中的所有三角形。

TR(:,:)
ans = 4×3

     5     3     1
     3     2     1
     3     4     2
     4     6     2

使用 triplot 绘制 triangulationtriplot 函数不是 triangulation 方法,但它接受并可绘制 triangulation

figure
triplot(TR)
axis equal

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

使用 triangulation 方法 freeBoundary 可查询自由边界并在绘图中突出显示该边界。该方法返回仅一个三角形共享的三角剖分边线。返回的边线以顶点 ID 方式表示。

boundaryedges = freeBoundary(TR)';

现在用红色线绘制边界线。

hold on 
plot(P(boundaryedges,1),P(boundaryedges,2),'-r','LineWidth',2)
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 2 objects of type line.

可以使用 freeBoundary 方法验证三角剖分。例如,如果观察三角剖分内部的红色边线,会发现它指明三角形的连接方式存在问题。

使用 delaunayTriangulation 创建三角剖分

此示例说明如何使用 delaunayTriangulation 创建 Delaunay 三角剖分。

使用 delaunayTriangulation 类创建 Delaunay 三角剖分时,会自动获得 triangulation 方法的访问权限,因为 delaunayTriangulationtriangulation 的子类。

基于一组点创建 delaunayTriangulation

P = [ 2.5    8.0
      6.5    8.0
      2.5    5.0
      6.5    5.0
      1.0    6.5
      8.0    6.5];

DT = delaunayTriangulation(P)
DT = 
  delaunayTriangulation with properties:

              Points: [6x2 double]
    ConnectivityList: [4x3 double]
         Constraints: []

生成的 delaunayTriangulation 对象具有属性 PointsConnectivityList,就像 triangulation 对象一样。

使用直接索引访问三角剖分,就像 triangulation 一样。例如,可以检查第一个三角形的连接。

DT(1,:)
ans = 1×3

     5     3     1

接下来,检查整个三角剖分的连接。

DT(:,:)
ans = 4×3

     5     3     1
     3     4     1
     1     4     2
     4     6     2

使用 triplot 函数绘制三角剖分。

triplot(DT)
axis equal

Figure contains an axes. The axes contains an object of type line.

父类 triangulation 提供了 incenter 方法计算每个三角形的内心。

IC = incenter(DT)
IC = 4×2

    1.8787    6.5000
    3.5000    6.0000
    5.5000    7.0000
    7.1213    6.5000

返回的值 IC 是表示三角形内心的坐标数组。

现在,使用内心找到将三角形标签放置于绘图中的位置。

hold on
numtri = size(DT,1);
trilabels = arrayfun(@(P) {sprintf('T%d', P)}, (1:numtri)');
Htl = text(IC(:,1),IC(:,2),trilabels,'FontWeight','bold', ...
'HorizontalAlignment','center','Color','blue');
hold off

Figure contains an axes. The axes contains 5 objects of type line, text.

无需使用 delaunayTriangulation 创建 Delaunay 三角剖分,可以使用 delaunay 函数创建三角剖分连接数据,然后将连接数据传递到 triangulation。例如,

P = [ 2.5    8.0
      6.5    8.0
      2.5    5.0
      6.5    5.0
      1.0    6.5
      8.0    6.5];

T = delaunay(P);
TR = triangulation(T,P);
IC = incenter(TR);

两种方法在此示例中都有效,但如果要创建 Delaunay 三角剖分并对其执行查询,由于以下原因应使用 delaunayTriangulation

  • delaunayTriangulation 类可以提供适合处理三角剖分的其他方法。例如,可以执行最近邻点和三角形内的点搜索。

  • 它允许您编辑三角剖分以添加、移动或删除点。

  • 它允许您创建约束性的 Delaunay 三角剖分。这允许您创建二维域的三角剖分。

另请参阅

| | | |

相关主题