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rat

有理分式近似值

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语法

R = rat(X)
R = rat(X,tol)
[N,D] = rat(___)

说明

R = rat(X) 返回 X 在默认容差 1e-6*norm(X(:),1) 内的有理分式近似值。近似值是一个包含截断的连分式展开项的字符向量。

示例

R = rat(X,tol) 在容差 tol 内求 X 的近似值。

示例

[N,D] = rat(___) 使用以上任何语法返回两个数组 N 和 D，以使 N./D 求 X 的近似值。

示例

示例

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打开实时脚本

使用数量 pi 的有理表示形式计算值 π 的近似解。

数学数量 π 不是有理数，但为它求近似值的数量 pi 是一个有理数，因为所有浮点数都是有理数。

计算 pi 的有理表示形式。 

format rational
pi
ans = 
     355/113

结果表达式是一个字符向量。您还可以使用 rats(pi) 获得相同的答案。

使用 rat 可查看 pi 的连分式展开。 

R = rat(pi)
R = 
'3 + 1/(7 + 1/(16))'

结果是一个按连分式展开的近似值。如果您考虑展开的前两项，则会获得近似值 3+17=227，它仅与保留 2 位小数的 pi 一致。

但如果您考虑 rat 输出的所有三项，则可以恢复值 355/113，它与保留 6 位小数的 pi 一致。

3+17+116=355113

指定容差以增加近似值的精度。 

R = rat(pi,1e-7)
R = 
'3 + 1/(7 + 1/(16 + 1/(-294)))'

得到的近似值 104348/33215 与保留 9 位小数的 pi 一致。

打开实时脚本

创建一个 4×4 矩阵。 

format short;
X = hilb(4)
X = 4×4

    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500
    0.5000    0.3333    0.2500    0.2000
    0.3333    0.2500    0.2000    0.1667
    0.2500    0.2000    0.1667    0.1429

使用 rat 将 X 的元素表示为小整数的比率。 

[N,D] = rat(X)
N = 4×4

     1     1     1     1
     1     1     1     1
     1     1     1     1
     1     1     1     1


D = 4×4

     1     2     3     4
     2     3     4     5
     3     4     5     6
     4     5     6     7

两个矩阵 N 和 D 用 N./D 求 X 的近似值。

使用 format rational 将 X 的元素视为比率。

format rational
X
X = 
       1              1/2            1/3            1/4     
       1/2            1/3            1/4            1/5     
       1/3            1/4            1/5            1/6     
       1/4            1/5            1/6            1/7

在这种形式中，很明显 N 包含每个分数的分子，D 包含分母。

输入参数

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输入数组，指定为类 single 或 double 的数值数组。

数据类型: single | double
复数支持: 是

容差，指定为标量。N 和 D 求 X 的近似值，以使 abs(N./D - X) <= tol。默认容差是 1e-6*norm(X(:),1)。

输出参量

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连分式，以包含 m 个行的字符数组形式返回，其中 m 是 X 中的元素数。通过连分式获得的有理近似值的精度随项数增加。

分子，以数值数组形式返回。N./D 求 X 的近似值。

分母，以数值数组形式返回。N./D 求 X 的近似值。

算法

即使所有的浮点数都是有理数，有时也需要通过简单有理数求它们的近似值，这些有理数是其分子和分母都为小整数的分数。有理近似值是通过截取连分式展开式生成的。

rat 函数按以下形式的连分式为 X 的每个元素求近似值

ND=D1+1D2+1⋱+1Dk .

重复去掉整数部分，然后获取分数部分的倒数来获取 D。近似值的精度随项数呈指数增加，在 X = sqrt(2) 时精度最低。对于 X = sqrt(2)，k 项的误差大概是 2.68*(.173)^k，这样每增加一项便会使增加一定的精度，增量不到一位小数。要获得全浮点精度，项数需达到 21 项。

扩展功能

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

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