residue

部分分式展开（部分分式分解）

语法

[r,p,k] = residue(b,a)

[b,a] = residue(r,p,k)

说明

[r,p,k] = residue(b,a) 计算以如下形式展开的两个多项式之比的部分分式展开式的留数、极点和直项

$\frac{b (s)}{a (s)} = \frac{b_{m} s^{m} + b_{m - 1} s^{m - 1} + \dots + b_{1} s + b_{0}}{a_{n} s^{n} + a_{n - 1} s^{n - 1} + \dots + a_{1} s + a_{0}} = \frac{r_{n}}{s - p_{n}} + ... + \frac{r_{2}}{s - p_{2}} + \frac{r_{1}}{s - p_{1}} + k (s) .$

residue 的输入是由多项式 b = [bm ... b1 b0] 和 a = [an ... a1 a0] 的系数组成的向量。输出为留数 r = [rn ... r2 r1]、极点 p = [pn ... p2 p1] 和多项式 k。对于大多数教科书问题，k 为 0 或常量。

示例

[b,a] = residue(r,p,k) 将部分分式展开式转换回两个多项式之比，并将系数返回给 b 和 a。

示例

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求解具有实根的部分分式展开式

打开实时脚本

使用 residue 求以下多项式之比 F(s) 的部分分式展开式

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{- 4 s + 8}{s^{2} + 6 s + 8} .$

b = [-4 8];
a = [1 6 8];
[r,p,k] = residue(b,a)

p = 2×1

    -4
    -2

k =

     []

此结果代表以下部分分式展开式

$\frac{- 4 s + 8}{s^{2} + 6 s + 8} = \frac{- 12}{s + 4} + \frac{8}{s + 2} .$

使用 residue 将部分分式展开转换回多项式系数。

[b,a] = residue(r,p,k)

b = 1×2

    -4     8

a = 1×3

     1     6     8

此结果表示初始分式 F(s)。

展开具有复数根和同次分子及分母的分式

打开实时脚本

如果分子的次数与分母的次数相等，输出 k 可以是非零值。

求解具有复数根和同次分子和分母的两个多项式 F(s) 之比的部分分式展示式，其中 F(s) 为

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{2 s^{3} + s^{2}}{s^{3} + s + 1} .$

b = [2 1 0 0];
a = [1 0 1 1];
[r,p,k] = residue(b,a)

r = 3×1 complex

   0.5354 + 1.0390i
   0.5354 - 1.0390i
  -0.0708 + 0.0000i

p = 3×1 complex

   0.3412 + 1.1615i
   0.3412 - 1.1615i
  -0.6823 + 0.0000i

k = 
2

residue 返回代表部分分式展开式的复数根和极点，以及常项 k

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{2 s^{3} + s^{2}}{s^{3} + s + 1} = \frac{0.5354 + 1.0390 i}{s - (0.3412 + 1.1615 i)} + \frac{0.5354 - 1.0390 i}{s - (0.3412 - 1.1615 i)} + \frac{- 0.0708}{s + 0.6823} + 2 .$

展开分子次数高于分母次数的分式

打开实时脚本

当分子次数大于分母次数时，输出 k 为代表 s 中多项式系数的向量。

使用 residue 执行 F(s) 的以下部分分式展开式。

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{2 s^{4} + s}{s^{2} + 1} = \frac{0.5 - 1 i}{s - 1 i} + \frac{0.5 + 1 i}{s + 1 i} + 2 s^{2} - 2 .$

b = [2 0 0 1 0];
a = [1 0 1];
[r,p,k] = residue(b,a)

r = 2×1 complex

   0.5000 - 1.0000i
   0.5000 + 1.0000i

p = 2×1 complex

   0.0000 + 1.0000i
   0.0000 - 1.0000i

k = 1×3

     2     0    -2

k 代表多项式 $2 s^{2} - 2$ 。

输入参数

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`b` — 分子多项式的系数
数字向量

分子中的多项式的系数，指定为数字的向量，代表 s 的降幂中的多项式的系数。

数据类型: single | double
复数支持: 是

`a` — 分母多项式的系数
数字向量

分母中的多项式的系数，指定为数字的向量，代表 s 的降幂中的多项式的系数。

数据类型: single | double
复数支持: 是

输出参量

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`r` — 部分分式展开式残差
数字的列向量

部分分式展开式的残差，以数字列向量的形式返回。

`p` — 部分分式展开式的极点
数字的列向量

部分分式展开式的极点，以数字列向量的形式返回。

`k` — 直项
数字的行向量

直项，以数字行向量的形式返回，这些数字按 s 的降幂指定多项式的系数。

详细信息

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部分分式展开式

假设有一个分式 F(s)，它由两个次数分别为 n 和 m（其中 n 和 m 为正数）的多项式 b 和 a 组成

$F (s) = \frac{b (s)}{a (s)} = \frac{b_{n} s^{n} + \dots + b_{2} s^{2} + b_{1} s + b_{0}}{a_{m} s^{m} + \dots + a_{2} s^{2} + a_{1} s + a_{0}} .$

分式 F(s) 可以表示为几个简单分式之和。

$\frac{b (s)}{a (s)} = \frac{r_{m}}{s - p_{m}} + \frac{r_{m - 1}}{s - p_{m - 1}} + \dots + \frac{r_{0}}{s - p_{0}} + k (s)$

此总和称为 F 的部分分式展开式。值 r_m,...,r₁ 为残差，值 p_m,...,p₁ 为极点，k(s) 为 s 多项式。对于大多数教科书问题，ks 为 0 或常量。

极点数 n 为

n = length(a)-1 = length(r) = length(p)

如果 length(b) < length(a)，则直项向量为空；否则

length(k) = length(b)-length(a)+1

如果 p(j) = ... = p(j+m-1) 为 m 重极点，则展开式包括以下形式的项

$\frac{r_{j}}{s - p_{j}} + \frac{r_{j + 1}}{{(s - p_{j})}^{2}} + \dots + \frac{r_{j + m - 1}}{{(s - p_{j})}^{m}} .$

提示

residue 计算拉普拉斯域中两个多项式之比的部分分式展开式。要计算 z 域中的部分分式展开式，可以使用 residuez (Signal Processing Toolbox)。

算法

residue 首先会使用 roots 获取极点。接下来，如果分式不正确，则使用执行多项式长除法的 deconv 计算直项 k。最后，residue 通过计算移除了各个根的多项式来确定留数。对于重复根，resi2 计算重复根位置处的留数。

多项式之比的部分分式展开式以数值方法表示不适定问题。如果分母多项式 a(s) 与具有多个根的多项式接近，则数据的轻微改动（包括舍入误差）可使生成极点和留数产生任意大的变化。优先使用状态空间和零极点表示的问题公式。

参考

[1] Oppenheim, A.V. and R.W. Schafer. Digital Signal Processing. Prentice-Hall, 1975, p. 56.

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

deconv | poly | roots

主题

创建并计算多项式

residue

语法

说明

示例

求解具有实根的部分分式展开式

展开具有复数根和同次分子及分母的分式

展开分子次数高于分母次数的分式

输入参数

b — 分子多项式的系数 数字向量

a — 分母多项式的系数 数字向量

输出参量

r — 部分分式展开式残差 数字的列向量

p — 部分分式展开式的极点 数字的列向量

k — 直项 数字的行向量

详细信息

部分分式展开式

提示

算法

参考

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另请参阅

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`b` — 分子多项式的系数
数字向量

`a` — 分母多项式的系数
数字向量

`r` — 部分分式展开式残差
数字的列向量

`p` — 部分分式展开式的极点
数字的列向量

`k` — 直项
数字的行向量