线性约束

什么是线性约束？

有几个优化求解器接受线性约束，这些线性约束对解 x 进行限制以满足线性等式或不等式。接受线性约束的求解器包括 fmincon、intlinprog、linprog、lsqlin、quadprog、多目标求解器，以及一些 Global Optimization Toolbox 求解器。

线性不等式约束

线性不等式约束的形式为 A·x ≤ b。当 A 为 m×n 时，表示对包含 n 个分量的变量 x 有 m 个约束。您需要提供 m×n 形式的矩阵 A 和包含 m 个分量的向量 b。

在 A 和 b 参量中传递线性不等式约束。

例如，假设您有以下线性不等式作为约束：

x₁ + x₃ ≤ 4,
2x₂ – x₃ ≥ –2,
x₁ – x₂ + x₃ – x₄ ≥ 9。

此处，m = 3 且 n = 4。

请使用下面的矩阵 A 和向量 b 编写这些约束：

$\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & - 2 & 1 & 0 \\ - 1 & 1 & - 1 & 1 \end{matrix}], \\ b = [\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ - 9 \end{matrix}] . \end{array}$

请注意，需要先将“大于”不等式乘以 –1 以转换为“小于”不等式形式。在 MATLAB^® 语法中：

A = [1 0 1 0;
    0 -2 1 0;
    -1 1 -1 1];
b = [4;2;-9];

您不需要为线性约束提供梯度；求解器会自动计算它们。线性约束对黑塞函数没有影响。

即使您将初始点 x0 作为矩阵进行传递，求解器也会将当前点 x 作为列向量传递给线性约束。请参阅矩阵参量。

有关线性约束的更复杂示例，请参阅基于求解器设置线性规划。

中间迭代可能违反线性约束。请参阅迭代可能违反约束。

线性范围约束

从 R2026a 版本开始，您可以使用一个包含两个元素的元胞数组，为 linprog 和 intlinprog 求解器指定下界和上界线性不等式。将 A、{ 和 b} 作为线性约束传递，意味着求解器将强制执行

$bl \leq A x \leq b .$

例如，考虑以下不等式。

–2 ≤ x₁ + 2 x₃ ≤ 4,
x₂ – 3 x₃ ≥ –2,
x₁ – x₂ + x₃ – x₄ ≤ 8。

(1)

通过输入这些数组来指定不等式。

A = [1 0 2 0;
    0 1 -3 0;
    1 -1 1 -1];
bl = [-2 -2 -inf];
b = [4 inf 8]; % Pass the range constraints as {bl,b}

对于每个未指定的下限区间（例如不等式组的第三行），应将 -inf 指定为 bl 的值。同样地，对于每个未指定的上界范围（例如不等式组的第二行），应将 inf 指定为 b 的值。

除了使用元胞数组语法外，您还可以对每个不等式使用 ≤ 形式。例如，下面的两个不等式是等价的。

–2 ≤ x₁ + 2 x₃

(2)

– x₁ – 2 x₃ ≤ 2。

(3)

当每个线性表达式同时存在下限和上限时，范围约束的语法尤为方便，例如不等式中的第一行。

–2 ≤ x₁ + 2 x₃ ≤ 4。

(4)

若要表明 bl 或 b 不适用于某个问题，请传入一个空数组，例如 {bl []}。

线性等式约束

线性等式的形式为 Aeq·x = beq，表示 m 个方程，其中的向量 x 包含 n 个分量。您需要提供 m×n 形式的矩阵 Aeq 和包含 m 个分量的向量 beq。

按照线性不等式约束中对 A 和 b 参量的相同方式，在 Aeq 和 beq 参量中传递线性等式约束。

另请参阅

主题

编写约束