xcorr2

R2026b

二维互相关性

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语法

c = xcorr2(a,b)

c = xcorr2(a)

描述

c = xcorr2(a,b) 返回矩阵 a 和 b 的互相关性，不进行缩放。xcorr2 是 xcorr 的二维版本。

示例

c = xcorr2(a) 是输入矩阵 a 的自相关矩阵。此语法等效于 xcorr2(a,a)。

示例

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输出矩阵大小和元素计算

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创建两个矩阵 M1 和 M2。

M1 = [17 24  1  8 15;
      23  5  7 14 16;
       4  6 13 20 22;
      10 12 19 21  3;
      11 18 25  2  9];

M2 = [8 1 6;
      3 5 7;
      4 9 2];

M1 大小为 5×5，M2 大小为 3×3，因此其互相关性大小为 (5+3-1)×(5+3-1)，即 7×7。用滞后表示，所得矩阵为

$C = (\begin{array}{c} c_{- 2, - 2} & c_{- 2, - 1} & c_{- 2, 0} & c_{- 2, 1} & c_{- 2, 2} & c_{- 2, 3} & c_{- 2, 4} \\ c_{- 1, - 2} & c_{- 1, - 1} & c_{- 1, 0} & c_{- 1, 1} & c_{- 1, 2} & c_{- 1, 3} & c_{- 1, 4} \\ c_{0, - 2} & c_{0, - 1} & c_{0, 0} & c_{0, 1} & c_{0, 2} & c_{0, 3} & c_{0, 4} \\ c_{1, - 2} & c_{1, - 1} & c_{1, 0} & c_{1, 1} & c_{1, 2} & c_{1, 3} & c_{1, 4} \\ c_{2, - 2} & c_{2, - 1} & c_{2, 0} & c_{2, 1} & c_{2, 2} & c_{2, 3} & c_{2, 4} \\ c_{3, - 2} & c_{3, - 1} & c_{3, 0} & c_{3, 1} & c_{3, 2} & c_{3, 3} & c_{3, 4} \\ c_{4, - 2} & c_{4, - 1} & c_{4, 0} & c_{4, 1} & c_{4, 2} & c_{4, 3} & c_{4, 4} \end{array}) .$

例如，计算元素 $c_{0, 2}$ （或 MATLAB® 中的 C(3,5)，因为 M2 大小为 3×3）。将两个矩阵对齐，使其 (1,1) 元素重合。此放置对应于 $c_{0, 0}$ 。要找到 $c_{0, 2}$ ，请将 M2 向右滑动两行。

现在 M2 位于矩阵 M1(1:3,3:5) 之上。计算逐元素乘积并对它们求和。答案应为

$1 \times 8 + 7 \times 3 + 13 \times 4 + 8 \times 1 + 14 \times 5 + 20 \times 9 + 15 \times 6 + 16 \times 7 + 22 \times 2 = 585 .$

[r2,c2] = size(M2);

CC = sum(sum(M1(0+(1:r2),2+(1:c2)).*M2))

CC = 
585

使用 xcorr2 验证结果。

D = xcorr2(M1,M2);

DD = D(0+r2,2+c2)

DD = 
585

任意复矩阵的二维互相关性

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给定大小为 $M \times N$ 的矩阵 $X$ 和大小为 $P \times Q$ 的矩阵 $H$ ，其二维互相关性 $C = X ⋆ H$ 是大小为 $(M + P - 1) \times (N + Q - 1)$ 的矩阵，其元素为

$C (k, l) = T r {X_{}^{\sim} {H_{}^{\sim}}_{k l}^{†}} \begin{array}{c} 1 \leq k \leq M + P - 1, \\ 1 \leq l \leq N + Q - 1 . \end{array}$

$T r$ 是迹，剑号表示埃尔米特共轭。矩阵 $X_{}^{\sim}$ 和 ${H_{}^{\sim}}_{k l}$ 的大小为 $(M + 2 (P - 1)) \times (N + 2 (Q - 1))$ ，非零元素由下式给出

$X_{}^{～} (m, n) = X (m - P + 1, n - Q + 1), \begin{array}{c} P \leq m \leq M + P - 1, \\ Q \leq n \leq N + Q - 1 \end{array}$

和

${H_{}^{～}}_{k l} (p, q) = H (p - k + 1, q - l + 1), \begin{array}{c} k \leq p \leq P + k - 1, \\ l \leq q \leq Q + l - 1 . \end{array}$

调用 xcorr2 等效于此过程，适用于任意大小的一般复矩阵。

创建两个复矩阵，即大小为 $7 \times 22$ 的 $X$ 和大小为 $6 \times 17$ 的 $H$ 。

X = randn([7 22])+1j*randn([7 22]);
H = randn([6 17])+1j*randn([6 17]);

[M,N] = size(X);
m = 1:M;
n = 1:N;

[P,Q] = size(H);
p = 1:P;
q = 1:Q;

初始化 $X_{}^{\sim}$ 和 $C$ 。

Xt = zeros([M+2*(P-1) N+2*(Q-1)]);
Xt(m+P-1,n+Q-1) = X;
C = zeros([M+P-1 N+Q-1]);

通过遍历 $k$ 和 $l$ 来计算 $C$ 的元素。在每步将 ${H_{}^{\sim}}_{k l}$ 重置为零。通过对元素乘积求和（而不是相乘并取迹）来节省时间和内存。

for k = 1:M+P-1
    for l = 1:N+Q-1
        Hkl = zeros([M+2*(P-1) N+2*(Q-1)]);
        Hkl(p+k-1,q+l-1) = H;
        C(k,l) = sum(sum(Xt.*conj(Hkl)));
    end
end

max(max(abs(C-xcorr2(X,H))))

ans = 
1.5139e-14

答案与 xcorr2 的输出在计算机精度上一致。

使用互相关性对齐两个图像

打开实时脚本

使用互相关性来查找图像的一部分适合整个图像的位置。互相关性使您能够找到两个信号最相似的区域。对于二维信号（如图像），使用 xcorr2。

将黑白测试图像加载到工作区中。使用 imagesc 显示它。

load durer
img = X;
White = max(max(img));

imagesc(img)
axis image off
colormap gray
title("Original")

Figure contains an axes object. The hidden axes object with title Original contains an object of type image.

选择图像的一个矩形部分。显示缺失该部分的较大图像。

x = 435;
X = 535;
szx = x:X;

y = 62;
Y = 182;
szy = y:Y;

Sect = img(szx,szy);

kimg = img;
kimg(szx,szy) = White;

kumg = White*ones(size(img));
kumg(szx,szy) = Sect;

tiledlayout("horizontal")
nexttile
imagesc(kimg)
axis image off
colormap gray
title("Image")

nexttile
imagesc(kumg)
axis image off
colormap gray
title("Section")

Figure contains 2 axes objects. Hidden axes object 1 with title Image contains an object of type image. Hidden axes object 2 with title Section contains an object of type image.

使用 xcorr2 查找小图像适合较大图像的位置。减去均值，使负值和正值的数量大致相等。

nimg = img-mean(mean(img));
nSec = nimg(szx,szy);

crr = xcorr2(nimg,nSec);

互相关性的最大值对应于该部分右下角的估计位置。使用 ind2sub 将最大值的一维位置转换为二维坐标。

[ssr,snd] = max(crr(:));
[ij,ji] = ind2sub(size(crr),snd);

figure
plot(crr(:))
title("Cross-Correlation")
hold on
plot(snd,ssr,"or")
hold off
text(snd*1.05,ssr,"Maximum")

Figure contains an axes object. The axes object with title Cross-Correlation contains 3 objects of type line, text. One or more of the lines displays its values using only markers

将较小图像放置在较大图像内。旋转较小图像，以符合 MATLAB® 用于显示图像的约定。在其周围绘制一个矩形。

img(ij:-1:ij-size(Sect,1)+1,ji:-1:ji-size(Sect,2)+1) = rot90(Sect,2);

imagesc(img)
axis image off
colormap gray
title("Reconstructed")
hold on
plot([y y Y Y y],[x X X x x],"r")
hold off

Figure contains an axes object. The hidden axes object with title Reconstructed contains 2 objects of type image, line.

使用互相关性还原模板偏移

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将模板偏移已知量，并使用互相关性还原该偏移。

在 11×11 矩阵中创建一个模板。创建一个 22×22 矩阵，并将原始模板沿行维度偏移 8，沿列维度偏移 6。

template = 0.2*ones(11);
template(6,3:9) = 0.6;
template(3:9,6) = 0.6;
offsetTemplate = 0.2*ones(22);
offset = [8 6];
offsetTemplate((1:size(template,1))+offset(1), ...
    (1:size(template,2))+offset(2)) = template;

绘制原始模板和偏移后的模板。

imagesc(offsetTemplate)
colormap gray
hold on
imagesc(template)
axis equal

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type image.

对两个矩阵进行互相关，并找到互相关性的最大绝对值。使用最大绝对值的位置确定模板中的偏移。将结果与已知偏移进行核对。

cc = xcorr2(offsetTemplate,template);
[max_cc, imax] = max(abs(cc(:)));
[ypeak, xpeak] = ind2sub(size(cc),imax(1));
corr_offset = [(ypeak-size(template,1)) (xpeak-size(template,2))];

isequal(corr_offset,offset)

ans = logical
   1

从互相关性获得的偏移在行和列维度上等于已知模板偏移。

互相关性矩阵计算的 GPU 加速

此示例使用:

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此示例需要 Parallel Computing Toolbox™ 软件。请参阅 GPU 计算要求 (Parallel Computing Toolbox)以了解支持哪些 GPU。

将模板偏移已知量，并使用互相关性还原该偏移。

在 11×11 矩阵中创建一个模板。创建一个 22×22 矩阵，并将原始模板沿行维度偏移 8，沿列维度偏移 6。

template = 0.2*ones(11); 
template(6,3:9) = 0.6;   
template(3:9,6) = 0.6;
offsetTemplate = 0.2*ones(22); 
offset = [8 6];
offsetTemplate((1:size(template,1))+offset(1), ...
    (1:size(template,2))+offset(2)) = template;

使用 gpuArray 对象将原始模板矩阵和偏移后的模板矩阵放到您的 GPU 上。

template = gpuArray(template);
offsetTemplate = gpuArray(offsetTemplate);

在 GPU 上计算互相关性。

cc = xcorr2(offsetTemplate,template);

使用 gather 将结果返回到 MATLAB® 工作区。使用互相关性的最大绝对值确定偏移，并将结果与已知偏移进行比较。

cc = gather(cc);
[max_cc,imax] = max(abs(cc(:)));
[ypeak,xpeak] = ind2sub(size(cc),imax(1));
corr_offset = [(ypeak-size(template,1)) (xpeak-size(template,2))];
isequal(corr_offset,offset)

ans = logical
   1

输入参数

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`a`, `b` — 输入数组
矩阵

输入数组，指定为矩阵。

示例: sin(2*pi*(0:9)'/10)*sin(2*pi*(0:13)/20) 指定二维正弦曲面。

数据类型: single | double
复数支持: 是

输出参量

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`c` — 二维互相关性或自相关矩阵
矩阵

二维互相关性或自相关矩阵，以矩阵形式返回。

详细信息

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二维互相关性

M×N 矩阵 X 与 P×Q 矩阵 H 的二维互相关性是大小为 M+P–1×N+Q–1 的矩阵 C。其元素由下式给出

$C (k, l) = \sum_{m = 0}^{M - 1} \sum_{n = 0}^{N - 1} X (m, n) \bar{H} (m - k, n - l), \begin{matrix} - (P - 1) \leq k \leq M - 1, \\ - (Q - 1) \leq l \leq N - 1, \end{matrix}$

其中 H 上方的横线表示复共轭。

输出矩阵 C(k,l) 具有负和正的行索引和列索引。

负行索引对应于 H 的行向上偏移。
负列索引对应于 H 的列向左偏移。
正行索引对应于 H 的行向下偏移。
正列索引对应于 H 的列向右偏移。

要将这些索引转换为 MATLAB^® 形式，请加上 H 的大小：元素 C(k,l) 对应于工作区中的 C(k+P,l+Q)。

例如，假设有以下二维互相关性：

X = ones(2,3);
H = [1 2; 3 4; 5 6];  % H is 3 by 2
C = xcorr2(X,H)

C =
     6    11    11     5
    10    18    18     8
     6    10    10     4
     2     3     3     1

输出中的 C(1,1) 元素对应于定义方程中的 C(1–3,1–2) = C(–2,–1)，该方程使用从 0 开始的索引。要计算 C(1,1) 元素，将 H 上移两行并左移一列。因此，互相关性和中的唯一乘积是 X(1,1)*H(3,2) = 6。使用定义方程，您得到

$C (- 2, - 1) = \sum_{m = 0}^{1} \sum_{n = 0}^{2} X (m, n) \bar{H} (m + 2, n + 1) = X (0, 0) \bar{H} (2, 1) = 1 \times 6 = 6,$

其中双精度值和中的所有其他项都等于零。

扩展功能

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C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

xcorr2 函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

此函数完全支持 GPU 数组。有关详细信息，请参阅在 GPU 上运行 MATLAB 函数 (Parallel Computing Toolbox)。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

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R2026b: 使用基于线程的环境

您可以在基于线程的环境中使用 xcorr2。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

另请参阅

conv2 | filter2 | xcorr

xcorr2

语法

描述

示例

输出矩阵大小和元素计算

任意复矩阵的二维互相关性

使用互相关性对齐两个图像

使用互相关性还原模板偏移

互相关性矩阵计算的 GPU 加速

输入参数

a, b — 输入数组 矩阵

输出参量

c — 二维互相关性或自相关矩阵 矩阵

详细信息

二维互相关性

扩展功能

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成 使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

GPU 数组 通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

版本历史记录

R2026b: 使用基于线程的环境

另请参阅

`a`, `b` — 输入数组
矩阵

`c` — 二维互相关性或自相关矩阵
矩阵

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。