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使用 FFT 获得功率频谱密度估计

此示例说明如何获得与使用 fft 所得周期图等效的非参数化功率频谱密度 (PSD) 估计。这些示例说明针对偶数长度输入、归一化频率和赫兹输入以及单边和双边 PSD 估计,如何正确缩放 fft 的输出。

具有指定采样率的偶数长度输入

对于一个采样率为 1 kHz 的偶数长度信号,分别使用 fftperiodogram 获得其周期图。比较二者的结果。

创建一个含 N(0,1) 加性噪声的 100 Hz 正弦波信号。采样频率为 1 kHz。信号长度为 1000 个采样点。使用随机数生成器的默认设置以获得可重现的结果。

rng default
Fs = 1000;
t = 0:1/Fs:1-1/Fs;
x = cos(2*pi*100*t) + randn(size(t));

使用 fft 获取周期图。信号是偶数长度的实数值信号。由于信号是实数值信号,您只需要对正负频率之一进行功率估计。为了保持总功率不变,将同时在两组(正频率和负频率)中出现的所有频率乘以因子 2。零频率 (DC) 和 Nyquist 频率不会出现两次。绘制结果。

N = length(x);
xdft = fft(x);
xdft = xdft(1:N/2+1);
psdx = (1/(Fs*N)) * abs(xdft).^2;
psdx(2:end-1) = 2*psdx(2:end-1);
freq = 0:Fs/length(x):Fs/2;

plot(freq,10*log10(psdx))
grid on
title('Periodogram Using FFT')
xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('Power/Frequency (dB/Hz)')

计算并使用 periodogram 绘制周期图。二者的结果相同。

periodogram(x,rectwin(length(x)),length(x),Fs)

mxerr = max(psdx'-periodogram(x,rectwin(length(x)),length(x),Fs))
mxerr = 3.4694e-18

具有归一化频率的输入

通过 fft 为使用归一化频率的输入生成周期图。创建一个带 N(0,1) 加性噪声的正弦波信号。该正弦波的角频率为 π/4 弧度/采样点。使用随机数生成器的默认设置以获得可重现的结果。

rng default
n = 0:999;
x = cos(pi/4*n) + randn(size(n));

使用 fft 获取周期图。信号是偶数长度的实数值信号。由于信号是实数值信号,您只需要对正负频率之一进行功率估计。为了保持总功率不变,将同时在两组(正频率和负频率)中出现的所有频率乘以因子 2。零频率 (DC) 和 Nyquist 频率不会出现两次。绘制结果。

N = length(x);
xdft = fft(x);
xdft = xdft(1:N/2+1);
psdx = (1/(2*pi*N)) * abs(xdft).^2;
psdx(2:end-1) = 2*psdx(2:end-1);
freq = 0:(2*pi)/N:pi;

plot(freq/pi,10*log10(psdx))
grid on
title('Periodogram Using FFT')
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)') 
ylabel('Power/Frequency (dB/rad/sample)')

计算并使用 periodogram 绘制周期图。二者的结果相同。

periodogram(x,rectwin(length(x)),length(x))

mxerr = max(psdx'-periodogram(x,rectwin(length(x)),length(x)))
mxerr = 1.4211e-14

具有归一化频率的复数值输入

使用 fft 为具有归一化频率的复数值输入生成周期图。采用一个带 N(0,1) 复噪声的复指数信号,角频率为 π/4 弧度/采样点。采用随机数生成器的默认设置,以获得可重现的结果。

rng default
n = 0:999;
x = exp(1j*pi/4*n) + [1 1j]*randn(2,length(n))/sqrt(2);

使用 fft 获得周期图。由于输入是复数值,此处求 [0,2π) 弧度/采样点区间内的周期图。绘制结果。

N = length(x);
xdft = fft(x);
psdx = (1/(2*pi*N)) * abs(xdft).^2;
freq = 0:(2*pi)/N:2*pi-(2*pi)/N;

plot(freq/pi,10*log10(psdx))
grid on
title('Periodogram Using FFT')
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)') 
ylabel('Power/Frequency (dB/rad/sample)')

使用 periodogram 获取并绘制周期图。比较 PSD 估计。

periodogram(x,rectwin(length(x)),length(x),'twosided')

mxerr = max(psdx'-periodogram(x,rectwin(length(x)),length(x),'twosided'))
mxerr = 2.8422e-14

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