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频谱分析

背景信息

频谱估计的目标是基于一组有限数据来描述信号功率在频域上的分布。功率频谱估计有多种应用,如检测隐藏在宽频带噪声中的信号。

在数学意义上,平稳随机过程x(n)功率频谱密度 (PSD) 是其自相关序列的离散时间傅里叶变换。这种关系用归一化频率表示如下

Pxx(ω)=12πm=Rxx(m)ejωm.

根据关系式 ω = 2πf / fs,上式可以写作物理频率 f(例如赫兹)的函数,其中 fs 是采样频率:

Pxx(f)=1fsm=Rxx(m)ej2πmf/fs.

相关序列可以通过离散时间傅里叶逆变换从 PSD 中派生:

Rxx(m)=ππPxx(ω)ejωmdω=fs/2fs/2Pxx(f)ej2πmf/fsdf.

序列 x(n) 在整个奈奎斯特区间上的平均功率由下式表示

Rxx(0)=ππPxx(ω)dω=fs/2fs/2Pxx(f)df.

信号在特定频带 1, ω2]0 ≤ ω1 ≤ ω2 ≤ π 上的平均功率可通过对该频带上的 PSD 进行积分求得:

P¯[ω1,ω2]=ω1ω2Pxx(ω)dω=ω2ω1Pxx(ω)dω.

从上面的表达式可以看出,Pxx(ω) 表示无穷小频带中信号的功率内容,因此它称为功率谱密度

PSD 的单位是每单位频率的功率(例如瓦特)。对于 Pxx(ω),单位为瓦特/弧度/采样点,或直接表示为瓦特/弧度。对于 Pxx(f),单位为瓦特/赫兹。对 PSD 在频域上积分得到的是平均功率,单位是瓦特。

对于实数值信号,PSD 关于 DC 对称,因此在 0 ≤ ω ≤ π 条件下 Pxx(ω) 足以完全表征 PSD。然而,为了求得整个奈奎斯特区间内的平均功率,有必要引入单边 PSD 的概念。

单边 PSD 由下式给出

Pone-sided(ω)={0,πω<0,2Pxx(ω),0ωπ.

信号在 12]0 ≤ ω1 ≤ ω2 ≤ π 频带上的平均功率可以使用单边 PSD 计算如下

P¯[ω1,ω2]=ω1ω2Pone-sided(ω)dω.

频谱估计方法

工具箱中可用的各种频谱估计方法分类如下:

  • 非参数化方法

  • 参数化方法

  • 子空间方法

非参数化方法直接根据信号本身估计 PSD。最简单的非参数化方法是周期图。其他非参数化方法,如韦尔奇方法 [8]多窗谱法 (MTM) 可减少周期图的方差。

参数化方法假设信号由白噪声驱动的线性系统输出,并据此估计 PSD。此类方法包括尤尔-沃克自回归 (AR) 方法伯格法等。这些方法首先对假设用于生成信号的线性系统进行参数(系数)估计,然后据此估计 PSD。当可用信号的数据长度相对较短时,这些方法产生的结果往往优于经典的非参数化方法。参数化方法产生的 PSD 估计较非参数化方法更为平滑,但可能因模型设定不当导致误差。

子空间方法(也称为高分辨率方法超分辨率方法)根据自相关矩阵的特征分析或特征分解生成信号的频率分量估计,如多信号分类 (MUSIC) 方法或特征向量 (EV) 方法。这些方法最适合线频谱(即正弦信号的频谱),并且可以有效地检测隐藏在噪声中的正弦信号,特别是低信噪比的情况下。子空间方法无法产生真正的 PSD 估计:它们无法保留时域和频域之间的过程功率,因而无法通过对频率估计进行傅里叶逆变换来恢复自相关序列。

下表列出了所有三类方法以及对应的工具箱函数名称。有关每个函数的详细信息,请参阅对应的函数参考页。有关 lpc 和其他参数化估计函数的详细信息,请参阅Parametric Modeling

频谱估计方法/函数

方法描述函数

周期图

功率频谱密度估计

periodogram

韦尔奇

重叠的加窗信号段的平均周期图

pwelch, cpsd, tfestimate, mscohere

多窗谱

基于多个正交窗(又称“锥形窗”)的组合进行频谱估计

pmtm

尤尔-沃克 AR

根据时间序列的估计自相关函数进行时间序列的自回归 (AR) 频谱估计

pyulear

伯格

通过最小化线性预测误差进行时间序列的自回归 (AR) 频谱估计

pburg

协方差

通过最小化前向预测误差进行时间序列的自回归 (AR) 频谱估计

pcov

修正的协方差

通过最小化前向和后向预测误差进行时间序列的自回归 (AR) 频谱估计

pmcov

MUSIC

多信号分类

pmusic

特征向量

伪频谱估计

peig