双弹簧-质量系统

R2026b

此示例说明如何对一个具有周期性变化的外力函数的双弹簧-质量机械系统建模。一根弹簧连接两个质点，力施加在左侧质点上。该力导致两个质点移动并通过弹簧交互。

Two rectangular masses connected by a spring. The left mass, labeled mass₁, is pushed to the right by an input force u(t), represented by a blue arrow. The spring between the masses is labeled kₐ. The right mass is labeled mass₂

Simulink® 模型表示一个双质量-弹簧机械系统，使用具有线性二次调节器 (LQR) 控制器和状态估计器的状态反馈控制该系统。

`Plant` 模块

名为 Plant 的 State-Space 模块实现双弹簧-质量机械系统，由以下状态空间方程表示：

$\begin{array}{l} x_{}^{˙} = A x + B u \\ y = C x + D u \end{array}$

状态向量定义为：

$x = [\begin{array}{c} x_{1} \\ {x_{}^{˙}}_{1} \\ x_{2} \\ {x_{}^{˙}}_{2} \end{array}]$ 和 $y = [\begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \end{array}]$

矩阵 A、B、C 和 D 包含定义机械系统运动方程中各项的系数。

$A = [\begin{array}{cccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{k_{a}}{m_{1}} & 0 & \frac{k_{a}}{m_{1}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{k_{a}}{m_{2}} & 0 & - \frac{k_{a}}{m_{2}} & 0 \end{array}] B = [\begin{array}{c} 0 \\ \frac{1}{m_{1}} \\ 0 \\ 0 \end{array}] C = [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}] D = [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}]$

其中：

$x_{1}, {x_{}^{˙}}_{1}$ - 分别是质点 1 的位置和速度
$x_{2}, {x_{}^{˙}}_{2}$ - 分别是质点 2 的位置和速度
$u (t)$ - 周期性外力函数
$k_{a}$ - 弹簧常数

被控对象输出提供测量的位置，模型将其用于可视化和状态估计。

`Estimator` 模块

该模型使用 LQR 控制器和状态估计器实现状态反馈。名为 Estimator 的 State-Space 模块实现状态估计器。该模块使用被控对象输入和测量输出来估计全状态向量。估计器持续将预测输出与测量输出进行比较，并根据差异校正状态估计。有关 LQR 控制的详细信息，请参阅lqr (Control System Toolbox)。

模型仿真

打开并仿真模型。为了在仿真期间以动画方式显示质量系统，模型使用 Level-2 MATLAB S-Function 模块。

open_system('sldemo_dblcart1');

Figure dblcart1 Animation contains an axes object and other objects of type uicontrol. The hidden axes object contains 32 objects of type line.

sim('sldemo_dblcart1');
close(findall(0,'Type','figure'))

另请参阅

S-Function | State-Space | lqr (Control System Toolbox)

主题

在 Simulink 中设计 LQR 伺服控制器 (Control System Toolbox)
Simulink 和 Simscape 中的双质量-弹簧-阻尼器系统 (Simscape)

教学资源

质量-弹簧-阻尼器系统（MathWorks 教学资源）