串联 RLC 电路建模

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物理系统可以描述为一系列隐式形式的微分方程 $F\left(t,x,\dot{\left\lbrace x\right\rbrace } \right)=0$ ，或隐式状态空间形式的微分方程 $E\dot{x} =A\;x+B\;u\;$

如果是非奇异矩阵，则该方程组可以轻松转换为常微分方程组 (ODE)，并按如下方式求解：

$\dot{x} =\left(E^{-1} A\right)x+\left(E^{-1} B\right)u$

很多时候，系统的状态与其导数没有直接关系，通常表示物理守恒定律。例如：

$\begin{array}{l}\dot{x_1 } =x_2 \\0\;=x_1 +x_2 \end{array}$

在本例中，是奇异矩阵，无法求逆。这类方程组通常称为描述符方程组，方程称为微分代数方程 (DAE)。

串联 RLC 电路

假设有如下简单的串联 RLC 电路。

根据基尔霍夫的电压定律，电路中的压降等于每个元件中的压降之和：

$V_{AC} = V_R+V_L+V_C$

根据基尔霍夫的电流定律：

$I_{AC}=I_R=I_L=I_C$

其中下标、和分别表示电阻、电感和电容。

$V_{R} =I\left(t\right)R$

$V_L =L\dot{I_L }$ 或 $\dot{I_L } = \frac{1}{L}V_L$

$V_C =V_{AC} \left(0\right)+\int_0^t I_C \left(\tau \right)d\tau$ 或 $\dot{V_c } =\frac{1}{C}I_c$

以隐式状态空间形式

在 Simulink 中用 $R=10\;\Omega$ 、 $L=1\times {10}^{-6} \;H$ 、 $C=1\times {10}^{-4} F$ 对系统建模，以找到电阻中的电压。要使用 Descriptor State-Space 模块，方程组可以编写为隐式（或描述符）状态空间形式 $E\dot{x}=Ax+Bu$ ，如下所示。

$\left\lbrack \begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0
& 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right\rbrack
\left\lbrack \begin{array}{c}\dot{V_C } \\\dot{V_L } \\\dot{V_R } \\\dot{I_L
} \\\dot{I_{AC} } \end{array}\right\rbrack =\left\lbrack \begin{array}{ccccc}0
& 0 & 0 & \frac{1}{C} & 0\\1 & 1 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & -1 & R & 0\\0 & \frac{1}{L}
& 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1 & -1\end{array}\right\rbrack \left\lbrack \begin{array}{c}V_C
\\V_L \\V_R \\I_L \\I_{AC} \end{array}\right\rbrack +\left\lbrack \begin{array}{c}0\\-1\\0\\0\\0\end{array}\right\rbrack
V_{AC}$