corr

线性或秩相关性

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语法

rho = corr(X)

rho = corr(X,Y)

[rho,pval] = corr(X,Y)

[rho,pval] = corr(___,Name,Value)

说明

rho = corr(X) 返回输入矩阵 X 中各列之间的两两线性相关系数矩阵。

示例

rho = corr(X,Y) 返回输入矩阵 X 和 Y 中各列之间的两两相关系数矩阵。

示例

[rho,pval] = corr(X,Y) 还返回 pval，它是一个 p 值矩阵，用于基于非零相关性备择假设来检验无相关性假设。

示例

[rho,pval] = corr(___,Name,Value) 可在前面语法中的输入参量外使用一个或多个名称-值对组参量指定选项。例如，'Type','Kendall' 指定计算肯德尔 tau 相关系数。

示例

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查找矩阵列之间的相关性

打开实时脚本

生成包含一个缺失值的矩阵。

rng(0,"twister"); % For reproducibility
X = rand(5, 5);
indices = randperm(numel(X), 1);
X(indices) = NaN

X = 5×5

    0.8147    0.0975    0.1576    0.1419    0.6557
    0.9058    0.2785    0.9706    0.4218    0.0357
    0.1270    0.5469    0.9572    0.9157    0.8491
    0.9134    0.9575    0.4854       NaN    0.9340
    0.6324    0.9649    0.8003    0.9595    0.6787

计算由两两线性相关系数组成的矩阵。

rho = corr(X)

rho = 5×5

    1.0000   -0.0875   -0.4566       NaN   -0.3958
   -0.0875    1.0000    0.2336       NaN    0.5303
   -0.4566    0.2336    1.0000       NaN   -0.3636
       NaN       NaN       NaN       NaN       NaN
   -0.3958    0.5303   -0.3636       NaN    1.0000

每个条目 rho(a,b) 是 X 中 a 列和 b 列之间的两两线性相关系数。默认情况下，如果 a 或 b 包含缺失值，则 rho(a,b) 为 NaN。

使用在列 a 或 b 中没有缺失值的行计算系数矩阵的每个元素 rho(a,b)。

rho2 = corr(X,Rows="pairwise")

rho2 = 5×5

    1.0000   -0.0875   -0.4566   -0.7054   -0.3958
   -0.0875    1.0000    0.2336    0.9089    0.5303
   -0.4566    0.2336    1.0000    0.6948   -0.3636
   -0.7054    0.9089    0.6948    1.0000    0.4338
   -0.3958    0.5303   -0.3636    0.4338    1.0000

软件仅使用 X 的第一行、第二行、第三行和第五行来计算第四行第四列的系数。

仅使用 X 中没有缺失值的行计算系数矩阵的每个元素 rho(a,b)。

rho = corr(X,Rows="complete")

rho = 5×5

    1.0000   -0.4044   -0.3842   -0.7054   -0.7317
   -0.4044    1.0000    0.5057    0.9089    0.3614
   -0.3842    0.5057    1.0000    0.6948   -0.2608
   -0.7054    0.9089    0.6948    1.0000    0.4338
   -0.7317    0.3614   -0.2608    0.4338    1.0000

软件仅使用 X 的第一行、第二行、第三行和第五行来计算系数矩阵。

计算两个矩阵之间的相关性

打开实时脚本

计算两个矩阵之间的相关性，并将其与两个列向量之间的相关性进行比较。

生成样本数据。

rng('default')
X = randn(30,4);
Y = randn(30,4);

在矩阵 X 的第二列和矩阵 Y 的第四列之间引入相关性。

Y(:,4) = Y(:,4)+X(:,2);

计算 X 和 Y 的列之间的相关性。

[rho,pval] = corr(X,Y)

rho = 4×4

   -0.1686   -0.0363    0.2278    0.3245
    0.3022    0.0332   -0.0866    0.7653
   -0.3632   -0.0987   -0.0200   -0.3693
   -0.1365   -0.1804    0.0853    0.0279

pval = 4×4

    0.3731    0.8489    0.2260    0.0802
    0.1045    0.8619    0.6491    0.0000
    0.0485    0.6039    0.9166    0.0446
    0.4721    0.3400    0.6539    0.8837

与预期相符，X 的第二列和 Y 的第四列之间的相关系数 rho(2,4) 最高，表示这两列之间存在高正相关性。对于所示的四个数，对应的 p 值 pval(2,4) 为零。由于 p 值小于显著性水平 0.05，这表明拒绝两列之间不存在相关性的假设。

使用 corrcoef 计算 X 和 Y 之间的相关性。

[r,p] = corrcoef(X,Y)

r = 2×2

    1.0000   -0.0329
   -0.0329    1.0000

p = 2×2

    1.0000    0.7213
    0.7213    1.0000

与 corr 函数不同，MATLAB® 函数 corrcoef 在计算输入矩阵 X 和 Y 之间的相关性之前，将它们转换为列向量 X(:) 和 Y(:)。因此，在矩阵 X 的第二列和矩阵 Y 的第四列之间引入的相关性不再存在，因为这两列位于转换后的列向量的不同部分。

r 的非对角线元素的值（表示 X 和 Y 之间相关系数）较低。该值表示 X 和 Y 之间几乎没有相关性。同样，p 的非对角线元素的值（表示 p 值）远远高于显著性水平 0.05。该值表明没有足够的证据来拒绝 X 和 Y 之间没有相关性的假设。

检验相关性的备择假设

打开实时脚本

检验两个矩阵列之间正、负和非零相关性的备择假设。比较每种情况下相关系数的值和 p 值。

生成样本数据。

rng('default')
X = randn(50,4);
Y = randn(50,4);

在矩阵 X 的第一列和矩阵 Y 的第四列之间引入正相关性。

Y(:,4) = Y(:,4)+0.7*X(:,1);

在 X 的第二列和 Y 的第二列之间引入负相关性。

Y(:,2) = Y(:,2)-2*X(:,2);

检验相关性大于零的备择假设。

[rho,pval] = corr(X,Y,'Tail','right')

rho = 4×4

    0.0627   -0.1438   -0.0035    0.7060
   -0.1197   -0.8600   -0.0440    0.1984
   -0.1119    0.2210   -0.3433    0.1070
   -0.3526   -0.2224    0.1023    0.0374

pval = 4×4

    0.3327    0.8405    0.5097    0.0000
    0.7962    1.0000    0.6192    0.0836
    0.7803    0.0615    0.9927    0.2298
    0.9940    0.9397    0.2398    0.3982

与预期相符，X 的第一列和 Y 的第四列之间的相关系数 rho(1,4) 具有最高的正值，表示这两列之间存在高正相关性。对于所示的四个数，对应的 p 值 pval(1,4) 为零，低于显著性水平 0.05。这些结果表明拒绝这两列之间不存在相关性的原假设，并得出相关性大于零的结论。

检验相关性小于零的备择假设。

[rho,pval] = corr(X,Y,'Tail','left')

rho = 4×4

    0.0627   -0.1438   -0.0035    0.7060
   -0.1197   -0.8600   -0.0440    0.1984
   -0.1119    0.2210   -0.3433    0.1070
   -0.3526   -0.2224    0.1023    0.0374

pval = 4×4

    0.6673    0.1595    0.4903    1.0000
    0.2038    0.0000    0.3808    0.9164
    0.2197    0.9385    0.0073    0.7702
    0.0060    0.0603    0.7602    0.6018

与预期相符，X 的第二列和 Y 的第二列之间的相关系数 rho(2,2) 为绝对值最大的负数 (-0.86)，表示这两列之间存在高负相关性。对于所示的四个数，对应的 p 值 pval(2,2) 为零，低于显著性水平 0.05。同样，这些结果表明拒绝原假设，并得出相关性小于零的结论。

检验相关性不为零的备择假设。

[rho,pval] = corr(X,Y)

rho = 4×4

    0.0627   -0.1438   -0.0035    0.7060
   -0.1197   -0.8600   -0.0440    0.1984
   -0.1119    0.2210   -0.3433    0.1070
   -0.3526   -0.2224    0.1023    0.0374

pval = 4×4

    0.6654    0.3190    0.9807    0.0000
    0.4075    0.0000    0.7615    0.1673
    0.4393    0.1231    0.0147    0.4595
    0.0120    0.1206    0.4797    0.7964

对于所示的四个数，p 值 pval(1,4) 和 pval(2,2) 均为零。由于 p 值低于显著性水平 0.05，因此相关系数 rho(1,4) 和 rho(2,2) 显著不同于零。因此，拒绝原假设；相关性不是零。

输入参数

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`X` — 输入矩阵
矩阵

输入矩阵，指定为 n×k 矩阵。X 的行对应于观测值，而列对应于变量。

示例: X = randn(10,5)

数据类型: single | double

`Y` — 输入矩阵
矩阵

输入矩阵，当 X 指定为 n×k₁ 矩阵时，指定为 n×k₂ 矩阵。Y 的行对应于观测值，而列对应于变量。

示例: Y = randn(20,7)

数据类型: single | double

名称-值参数

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以 Name1=Value1,...,NameN=ValueN 形式指定可选参量对组，其中 Name 是参量名称，Value 是对应的值。名称-值参量必须出现在其他参量之后，但对各个参量对组的顺序没有要求。

在 R2021a 之前，使用逗号分隔每个名称和值，并用引号将 Name 引起来。

示例: corr(X,Y,'Type','Kendall','Rows','complete') 仅使用不包含缺失值的行返回肯德尔 tau 相关系数。

`Type` — 相关性的类型
`'Pearson'` (默认) | `'Kendall'` | `'Spearman'`

相关性的类型，指定为以逗号分隔的对组，其中包含 'Type' 和下列值之一。

值	描述
`'Pearson'`	皮尔逊线性相关系数
`'Kendall'`	肯德尔 tau 相关系数
`'Spearman'`	斯皮尔曼 rho

corr 使用 Student t 分布来转换相关性以计算皮尔逊相关性的 p 值。当 X 和 Y 来自正态分布时，这种相关性是精确的。corr 使用精确排列分布（对于小样本）或大样本近似分布计算肯德尔 tau 和斯皮尔曼 rho 的 p 值。

示例: 'Type','Spearman'

`Rows` — 在计算中要使用的行
`"all"` (默认) | `"complete"` | `"pairwise"`

在计算中要使用的行，指定为以下值之一。

值	描述
`"all"`	使用输入的所有行，而不考虑缺失值 (`NaN`)。
`"complete"`	仅使用没有缺失值的输入行。
`"pairwise"`	使用 `i` 或 `j` 列中没有缺失值的行计算 `rho(i,j)`。

与 "pairwise" 值不同，"complete" 值始终生成正定或半正定 rho。此外，当输入（X 或 Y）的行包含缺失值时，"complete" 值通常使用较少的观测值来估计 rho。

如果 Rows="all"（默认值），则当列 i 或 j 包含缺失值时，rho(i,j) 和 pval(i,j) 为 NaN。

示例: Rows="pairwise"

`Tail` — 备择假设
`'both'` (默认) | `'right'` | `'left'`

备择假设，指定为以逗号分隔的对组，其中包含 'Tail' 和下表中的值之一。'Tail' 指定计算 p 值所针对的备择假设，用于检验无相关性的假设。

值	描述
`'both'`	检验相关性不为 `0` 的备择假设。
`'right'`	检验相关性大于 `0` 的备择假设
`'left'`	检验相关性小于 `0` 的备择假设。

corr 通过将两个单尾 p 值中的较大值加倍，计算双尾检验的 p 值。

示例: 'Tail','left'

`Weights` — 观测值权重
由 1 组成的 n×1 向量 (默认) | 非负标量值的 n×1 向量

观测值权重，指定为有非负标量值组成的 n×1 向量，其中 n 是观测值数目。有关详细信息，请参阅算法。

示例: Weights=[300 457 200]

数据类型: single | double

输出参量

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`rho` — 两两线性相关系数
矩阵

两两线性相关系数，以矩阵形式返回。

如果您只输入矩阵 X，rho 是对称的 k×k 矩阵，其中 k 是 X 中的列数。条目 rho(a,b) 是 X 中 a 列和 b 列之间的两两线性相关系数。
如果您输入矩阵 X 和 Y，rho 是 k₁×k₂ 矩阵，其中 k₁ 和 k₂ 分别是 X 和 Y 中的列数。条目 rho(a,b) 是 X 中的 a 列和 Y 中的 b 列之间的两两线性相关系数。
如果 Rows="all"（默认值），则当列 i 或 j 包含缺失值时，rho(i,j) 为 NaN。

`pval` — p 值
矩阵

p 值，以矩阵形式返回。pval 的每个元素均为 rho 的对应元素的 p 值。

当 rho 的对应元素为 NaN，或当您使用 Weights 名称-值参量指定观测值权重时，pval 为 NaN。

如果 pval(a,b) 较小（小于 0.05），则相关性 rho(a,b) 显著不同于零。

详细信息

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皮尔逊线性相关系数

皮尔逊线性相关系数是最常用的线性相关系数。对于矩阵 X 中的 X_a 列和矩阵 Y 中的 Y_b 列，其含义为 ${\bar{X}}_{a} = \sum_{i = 1}^{n} (X_{a, i}) / n,$ 和 ${\bar{Y}}_{b} = \sum_{j = 1}^{n} (Y_{b, j}) / n$ ，皮尔逊线性相关系数 rho(a,b) 定义为：

$r h o (a, b) = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (X_{a, i} - {\bar{X}}_{a}) (Y_{b, i} - {\bar{Y}}_{b})}{{\sum_{i = 1}^{n} {(X_{a, i} - {\bar{X}}_{a})}^{2} \sum_{j = 1}^{n} {(Y_{b, j} - {\bar{Y}}_{b})}^{2}}^{1 / 2}},$

，其中 n 为每个列的长度。

相关系数的值的范围是从 –1 到 +1。值 –1 表示完全负相关，而值 +1 表示完全正相关。值 0 表示列之间没有相关性。

肯德尔 tau 相关系数

肯德尔 tau 基于 (i,j) 同序对的计数（其中 i<j），同序是指 $X_{a, i} - X_{a, j}$ 和 $Y_{b, i} - Y_{b, j}$ 具有相同的符号。肯德尔 tau 方程包括对归一化常量中结值的调整值，通常称为 tau-b。

对于矩阵 X 中的 X_a 列和矩阵 Y 中的 Y_b 列，肯德尔 tau 系数定义为：

$τ = \frac{2 K}{n (n - 1)},$

其中 $K = \sum_{i = 1}^{n - 1} \sum_{j = i + 1}^{n} ξ^{*} (X_{a, i}, X_{a, j}, Y_{b, i}, Y_{b, j}),$ 并且

$ξ^{*} (X_{a, i}, X_{a, j}, Y_{b, i}, Y_{b, j}) = {\begin{matrix} 1 & if & (X_{a, i} - X_{a, j}) (Y_{b, i} - Y_{b, j}) > 0 \\ 0 & if & (X_{a, i} - X_{a, j}) (Y_{b, i} - Y_{b, j}) = 0 \\ - 1 & if & (X_{a, i} - X_{a, j}) (Y_{b, i} - Y_{b, j}) < 0 \end{matrix} .$

相关系数的值的范围是从 –1 到 +1。值 –1 表示一个列秩序是另一个列秩序的逆，值 +1 表示两个列秩序相同。值 0 表示列之间没有关系。

斯皮尔曼 rho

斯皮尔曼 rho 等效于应用于 X_a 和 Y_b 列的秩序的皮尔逊线性相关系数。

如果每个列中的所有秩都不同，该方程可简化为：

$r h o (a, b) = 1 - \frac{6 \sum d^{2}}{n (n^{2} - 1)},$

其中，d 是两个列的秩之差，n 是每列的长度。

提示

corr(X,Y) 和 MATLAB^® 函数 corrcoef(X,Y) 之间的区别在于 corrcoef(X,Y) 返回两个列向量 X 和 Y 的相关系数的矩阵。如果 X 和 Y 不是列向量，corrcoef(X,Y) 会将它们转换为列向量。

算法

当您指定 Weights 名称-值参量时，corr 通过对方差和协方差计算进行加权来计算皮尔逊相关性。对于斯皮尔曼相关性（基于秩），corr 按照 [5] 的建议计算加权秩。要计算肯德尔相关性（基于排列计数），corr 会扩展 [6] 中的加权计数算法以考虑结值。

参考

[1] Gibbons, J.D. Nonparametric Statistical Inference. 2nd ed. M. Dekker, 1985.

[2] Hollander, M., and D.A. Wolfe. Nonparametric Statistical Methods. Wiley, 1973.

[3] Kendall, M.G. Rank Correlation Methods. Griffin, 1970.

[4] Best, D.J., and D.E. Roberts. "Algorithm AS 89: The Upper Tail Probabilities of Spearman's rho." Applied Statistics, 24:377-379.

[5] Bailey, Paul, and Ahmad Emad (2023). wCorr: Weighted Correlations. R package version 1.9.7, https://american-institutes-for-research.github.io/wCorr.

[6] Van Doorn, Johnny, et al. "Using the Weighted Kendall Distance to Analyze Rank Data in Psychology." The Quantitative Methods for Psychology, vol. 17, no. 2, June 2021, pp. 154–65.

扩展功能

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tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

此函数支持对无法放入内存的数据使用 tall 数组，但有以下限制：

仅支持 'Pearson' 类型。

有关详细信息，请参阅使用 tall 数组处理无法放入内存的数据。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

此函数完全支持 GPU 数组。有关详细信息，请参阅在 GPU 上运行 MATLAB 函数 (Parallel Computing Toolbox)。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

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R2024a: 指定线性或秩相关的权重

corr 允许您使用 Weights 名称-值参量指定线性或秩相关的权重。

另请参阅

corrcoef | partialcorr | corrcov | tiedrank

corr

语法

说明

示例

查找矩阵列之间的相关性

计算两个矩阵之间的相关性

检验相关性的备择假设

输入参数

X — 输入矩阵 矩阵

Y — 输入矩阵 矩阵

名称-值参数

Type — 相关性的类型 'Pearson' (默认) | 'Kendall' | 'Spearman'

Rows — 在计算中要使用的行 "all" (默认) | "complete" | "pairwise"

Tail — 备择假设 'both' (默认) | 'right' | 'left'

Weights — 观测值权重 由 1 组成的 n×1 向量 (默认) | 非负标量值的 n×1 向量

输出参量

rho — 两两线性相关系数 矩阵

pval — p 值 矩阵

详细信息

皮尔逊线性相关系数

肯德尔 tau 相关系数

斯皮尔曼 rho

提示

算法

参考

扩展功能

tall 数组 对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

GPU 数组 通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

版本历史记录

R2024a: 指定线性或秩相关的权重

另请参阅

`X` — 输入矩阵
矩阵

`Y` — 输入矩阵
矩阵

`Type` — 相关性的类型
`'Pearson'` (默认) | `'Kendall'` | `'Spearman'`

`Rows` — 在计算中要使用的行
`"all"` (默认) | `"complete"` | `"pairwise"`

`Tail` — 备择假设
`'both'` (默认) | `'right'` | `'left'`

`Weights` — 观测值权重
由 1 组成的 n×1 向量 (默认) | 非负标量值的 n×1 向量

`rho` — 两两线性相关系数
矩阵

`pval` — p 值
矩阵

tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。