积分

如果 f 是一个符号表达式，则

int(f)

尝试找到另一个符号表达式 F，使得 diff(F) = f。也就是说，int(f) 返回 f 的不定积分或原函数（如果存在闭式形式的不定积分或原函数）。与微分类似，

int(f,v)

使用符号对象 v 作为积分变量，而不是由 symvar 确定的变量。您可以通过查看下表了解 int 的工作原理。

数学运算	MATLAB^® 命令
$\int x^{n} d x = {\begin{array}{l} \log (x) & if n = - 1 \\ \frac{x^{n + 1}}{n + 1} & otherwise . \end{array}$	`int(x^n)` 或 `int(x^n,x)`
$\int_{0}^{π / 2} \sin (2 x) d x = 1$	`int(sin(2x), 0, pi/2)` 或 `int(sin(2x), x, 0, pi/2)`
g = cos(at + b) $\int g (t) d t = \sin (a t + b) / a$	`g = cos(a*t + b) int(g)` 或 `int(g, t)`
$\int J_{1} (z) d z = - J_{0} (z)$	`int(besselj(1, z))` 或 `int(besselj(1, z), z)`

与微分相比，符号积分是一项更为复杂的任务。计算积分时可能会出现许多困难：

原函数 F 可能不存在闭式形式。
原函数可能定义了一个不熟悉的函数。
原函数可能存在，但软件找不到它。
软件在更强大的计算机上可能找到原函数，但在当前可用的计算机上会因超时或内存不足而失败。

尽管如此，在许多情况下，MATLAB 仍可成功执行符号积分。例如，创建符号变量

syms a b theta x y n u z

下表说明了包含这些变量的表达式的积分。

f	int(f)
syms x n f = x^n;	int(f) ans = piecewise(n == -1, log(x), n ~= -1,... x^(n + 1)/(n + 1))
syms y f = y^(-1);	int(f) ans = log(y)
syms x n f = n^x;	int(f) ans = n^x/log(n)
syms a b theta f = sin(a*theta+b);	int(f) ans = -cos(b + a*theta)/a
syms u f = 1/(1+u^2);	int(f) ans = atan(u)
syms x f = exp(-x^2);	int(f) ans = (pi^(1/2)*erf(x))/2

在最后一个示例 exp(-x^2) 中，无法使用标准微积分表达式（如三角函数和指数函数）来表示该积分的公式。在这种情况下，MATLAB 返回一个以误差函数 erf 表示的解。

如果 MATLAB 无法求解函数 f 的积分，则直接返回 int(f)。

计算定积分也可以。

定积分	命令
$\int_{a}^{b} f (x) d x$	`int(f, a, b)`
$\int_{a}^{b} f (v) d v$	`int(f, v, a, b)`

定积分

命令

$\int_{a}^{b} f (x) d x$

int(f, a, b)

$\int_{a}^{b} f (v) d v$

int(f, v, a, b)

以下是一些其他示例。

f	a, b	int(f, a, b)
syms x f = x^7;	a = 0; b = 1;	int(f, a, b) ans = 1/8
syms x f = 1/x;	a = 1; b = 2;	int(f, a, b) ans = log(2)
syms x f = log(x)*sqrt(x);	a = 0; b = 1;	int(f, a, b) ans = -4/9
syms x f = exp(-x^2);	a = 0; b = inf;	int(f, a, b) ans = pi^(1/2)/2
syms z f = besselj(1,z)^2;	a = 0; b = 1;	int(f, a, b) ans = hypergeom([3/2, 3/2],... [2, 5/2, 3], -1)/12

对于贝塞尔函数 (besselj) 示例，可以使用 double 函数计算积分值的数值逼近。命令

syms z
a = int(besselj(1,z)^2,0,1)

a =
hypergeom([3/2, 3/2], [2, 5/2, 3], -1)/12

而命令

a = double(a)

a =
    0.0717

使用带实参数的积分

符号积分涉及的一个微妙之处在于各参数的“取值”。例如，如果 a 是任意正实数，则表达式

$e^{- a x^{2}}$

表示为正的钟形曲线，当 x 趋于 ±∞ 时，该曲线趋于 0。您可以取 a = 1/2，创建这样一条曲线。

syms x
a = sym(1/2);
f = exp(-a*x^2);
fplot(f)

Figure contains an axes object. The axes object contains an object of type functionline.

但是，如果您尝试计算积分

$\int_{- \infty}^{\infty} e^{- a x^{2}} d x$

而不给 a 赋值，则 MATLAB 假设 a 表示一个复数，因此返回一个取决于参量 a 的分段解。如果您只对 a 为正实数的情况感兴趣，请使用 assume 对 a 设置假设：

syms a
assume(a > 0)

现在您可以使用以下命令计算前面的积分

syms x
f = exp(-a*x^2);
int(f, x, -inf, inf)

此命令返回

ans =
pi^(1/2)/a^(1/2)

使用带复数参数的积分

要计算积分

$\int_{- \infty}^{\infty} \frac{1}{a^{2} + x^{2}} d x$

当 a 为复数时，请输入

syms a x 
f = 1/(a^2 + x^2);
F = int(f, x, -inf, inf)

使用 syms 清除关于变量的所有假设。有关符号变量及其相关假设的详细信息，请参阅Use Assumptions on Symbolic Variables。

前面的命令会产生复数输出

F = 
(pi*signIm(1i/a))/a

函数 signIm 定义为：

$signIm (z) = {\begin{array}{l} 1 & if Im (z) > 0, or Im (z) = 0 and Re(z) < 0 \\ 0 & if z = 0 \\ -1 & otherwise . \end{array}$

Cartesian representation of a complex number z, showing regions where signIm has a value of 1, 0, and -1

要计算 a = 1 + i 处的 F 值，请输入

g = subs(F, 1 + i)

g = 
pi*(1/2 - 1i/2)

double(g)

ans =
   1.5708 - 1.5708i

使用可变精度算术进行高精度数值积分

高精度数值积分可通过 Symbolic Math Toolbox™ 的 vpaintegral 函数实现。vpaintegral 使用可变精度算术，而 MATLAB 的 integral 函数则使用双精度算术。

使用 integral 和 vpaintegral 对 besseli(5,25*u).*exp(-u*25) 进行积分。integral 函数返回 NaN 并发出警告，而 vpaintegral 函数返回正确结果。

syms u
f = besseli(5,25*x).*exp(-x*25);
fun = @(u)besseli(5,25*u).*exp(-u*25);

usingIntegral = integral(fun, 0, 30)
usingVpaintegral = vpaintegral(f, 0, 30)

Warning: Infinite or Not-a-Number value encountered. 
usingIntegral =
   NaN

usingVpaintegral =
0.688424

有关详细信息，请参阅 vpaintegral。

另请参阅

int | diff | vpaintegral

外部网站

微积分积分（MathWorks 教学资源）