integral

数值积分

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语法

q = integral(fun,xmin,xmax)

q = integral(fun,xmin,xmax,Name=Value)

说明

q = integral(fun,xmin,xmax) 使用全局自适应积分和默认误差容限在 fun 至 xmin 间以数值形式为函数 xmax 求积分。

示例

q = integral(fun,xmin,xmax,Name=Value) 使用一个或多个名称-值参量指定选项。例如，将 WayPoints 名称-值参量指定为实数或复数向量，为要使用的积分器指示特定点。

示例

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广义积分

打开实时脚本

创建函数 $f (x) = e^{- x^{2}} (\ln x)^{2}$ 。

fun = @(x) exp(-x.^2).*log(x).^2;

计算 x=0 至 x=Inf 的积分。

q = integral(fun,0,Inf)

q = 
1.9475

参数化函数

打开实时脚本

创建带有一个参数 $c$ 的函数 $f (x) = 1 / (x^{3} - 2 x - c)$ 。

fun = @(x,c) 1./(x.^3-2*x-c);

在 c=5 时，计算从 x=0 至 x=2 的积分。

q = integral(@(x) fun(x,5),0,2)

q = 
-0.4605

有关此方法的详细信息，请参阅参数化函数。

下限的奇异性

打开实时脚本

创建函数 $f (x) = \ln (x)$ 。

fun = @(x) log(x);

使用默认误差容限计算 x=0 至 x=1 的积分。

format long
q1 = integral(fun,0,1)

q1 = 
  -1.000000010959678

然后使用 12 位小数精度计算积分。将 RelTol 设置为 0，以便 integral 仅尝试满足绝对误差容限。

q2 = integral(fun,0,1,AbsTol=1e-12,RelTol=0)

q2 = 
  -1.000000000000010

使用路点执行复围道积分

打开实时脚本

创建函数 $f (z) = 1 / (2 z - 1)$ 。

fun = @(z) 1./(2*z-1);

通过指定路点，在复平面中从 0 至 1+1i 到 1-1i 至 0 的三角形路径上计算积分。

q = integral(fun,0,0,Waypoints=[1+1i,1-1i])

q = 
0.0000 - 3.1416i

向量值函数

打开实时脚本

创建向量值函数 $f (x) = [\sin x, \sin 2 x, \sin 3 x, \sin 4 x, \sin 5 x]$ 并求 x=0 到 x=1 的积分。将 ArrayValued 名称-值参量指定为 true，以计算数组值或向量值函数的积分。

fun = @(x) sin((1:5)*x);
q = integral(fun,0,1,ArrayValued=true)

q = 1×5

    0.4597    0.7081    0.6633    0.4134    0.1433

具有标量输入的函数的积分

打开实时脚本

自 R2026a 开始提供

创建采用标量输入的函数 $f (x) = 2 x - x^{2}$ 。

fun = @(x) 2*x-x^2;

计算 $x = 0$ 至 $x = 1$ 的积分。将 Vectorized 名称-值参量指定为 false，以在不使用向量化的情况下计算积分。

q = integral(fun,0,1,Vectorized=false)

q = 
0.6667

Oscillatory 函数的广义积分

打开实时脚本

创建函数 $f (x) = x^{5} e^{- x} \sin x$ 。

fun = @(x) x.^5.*exp(-x).*sin(x);

计算从 x=0 至 x=Inf 的积分，并调整绝对误差和相对误差。

format long
q = integral(fun,0,Inf,AbsTol=1e-13,RelTol=1e-8)

q = 
 -14.999999999998360

输入参数

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`fun` — 被积函数
函数句柄

被积函数，指定为函数句柄，用于定义求积分的函数。

对于标量值问题，函数 y = fun(x) 必须接受向量参量 x，并返回向量结果 y。因此，fun 通常使用数组运算符而不是矩阵运算符。例如，使用 .* (times) 而不是 * (mtimes)。

如果您将 ArrayValued 名称-值参量指定为 true，则 fun 必须接受标量输入并返回固定大小数组。

`xmin` — x 的下限
实数 | 复数

x 的下限，指定为实数（有限或无限）或复数（有限）。如果 xmin 或 xmax 是复数，则 integral 沿从 xmin 到 xmax 的直线逼近路径积分。

数据类型: double | single
复数支持: 是

`xmax` — x 的上限
实数 | 复数

x 的上限，指定为实数（有限或无限）或复数（有限）。如果 xmin 或 xmax 是复数，则 integral 沿从 xmin 到 xmax 的直线逼近路径积分。

数据类型: double | single
复数支持: 是

名称-值参数

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将可选参量对组指定为 Name1=Value1,...,NameN=ValueN，其中 Name 是参量名称，Value 是对应的值。名称-值参量必须出现在其他参量之后，但对各个参量对组的顺序没有要求。

示例: q = integral(fun,xmin,xmax,AbsTol=1e-12) 将绝对误差容限设置为约 12 位小数精度。

`AbsTol` — 绝对误差容限
`1e-10` (默认) | 非负实数

绝对误差容限，指定为非负实数。integral 使用绝对误差容限来限制绝对误差容限估计值，即 |q – Q|，其中 q 为计算的积分值，Q 为（未知）确切值。如果减小绝对误差容限，integral 可以提供更多位小数的精度。

注意

AbsTol 和 RelTol 配合使用。integral 可满足绝对误差容限或相对误差容限（但不一定同时满足两者）。有关使用这些误差容限的详细信息，请参阅提示一节。

示例: q = integral(fun,xmin,xmax,AbsTol=1e-12)

数据类型: double | single

`RelTol` — 相对误差容限
`1e-6` (默认) | 非负实数

相对误差容限，指定为非负实数。integral 使用相对误差容限来限制相对误差容限估计值，即 |q – Q|/|Q|，其中 q 为计算的积分值，Q 为（未知）确切值。如果减小相对误差容限，integral 可以为精度提供更多的有效数位。

注意

RelTol 和 AbsTol 配合使用。integral 可满足相对误差容限或绝对误差容限（但不一定同时满足两者）。有关使用这些误差容限的详细信息，请参阅提示一节。

示例: q = integral(fun,xmin,xmax,RelTol=1e-9)

数据类型: double | single

`ArrayValued` — 函数是数组值函数
`false` 或 `0` (默认) | `true` 或 `1`

函数是数组值函数，指定为数值或逻辑值 1 (true) 或 0 (false)。将 ArrayValued 指定为 true 或 1，以指示 fun 是接受标量输入并返回向量、矩阵或 N 维数组输出的函数。

false 的默认值指示 fun 是一个接受向量输入并返回向量输出的函数。

`Vectorized` — 执行向量化计算
`true` 或 `1` (默认) | `false` 或 `0`

自 R2026a 起

执行向量化计算，指定为数值或逻辑值 1 (true) 或 0 (false)。默认情况下，Vectorized 为 true，并且积分的计算是向量化的，以便运行更快。对于标量值函数，被积函数 y = fun(x) 必须接受向量参量 x 并按元素运算，从而返回向量结果 y。

如果您将 Vectorized 指定为 false，则被积函数只接受标量参量 x 并返回标量结果 y。

注意

如果您将 ArrayValued 指定为 true，则 integral 会忽略 Vectorized 的值。

`Waypoints` — 积分路点
实数或复数向量

积分路点，指定为实数或复数向量。使用路点表示积分器要在初始网格中使用的积分区间中的点：

在关注的函数特征附近添加更多计算点，例如局部极值。
通过指定不连续点的位置，在被积函数的不连续点附近高效求积分。
通过指定复数作为路点来执行复围道积分。如果 xmin、xmax 或任何路点向量项为复数，则会在复平面中针对直线路径序列求积分。在本例中，所有积分范围和路点必须为有限值。

请勿使用路点指定奇异点。而应拆分区间，并在端点处将单独的积分结果与奇异点相加。

示例: q = integral(fun,xmin,xmax,Waypoints=[1+1i,1-1i]) 指定了积分区间中的两个复数路点。

数据类型: double | single
复数支持: 是

输出参量

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`q` — 积分的计算值
数值标量 | 数值数组

积分的计算值，以数值标量或数组形式返回。

提示

integral 函数尝试满足以下表达式，其中 q 是积分的计算值，而 Q 是（未知的）精确值。
```
abs(q - Q) <= max(AbsTol,RelTol*abs(q))
```
绝对和相对误差提供了一种在准确性和计算时间之间权衡的方法。相对误差通常确定积分的准确性。但是，如果 abs(q) 足够小，绝对误差会确定积分的准确性。最佳做法是同时指定绝对容差和相对容差。
如果为积分指定单精度范围，或者如果 fun 返回单精度结果，您可能需要指定较大的绝对误差容限和相对误差容限。

参考

[1] Shampine, L.F. “Vectorized Adaptive Quadrature in MATLAB^®.” Journal of Computational and Applied Mathematics 211, no. 2 (February 2008): 131–40. https://doi.org/10.1016/j.cam.2006.11.021.

扩展功能

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C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

必须启用对可变大小数组的支持。
integral 函数不支持返回稀疏矩阵输出的函数句柄。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

请参阅“C/C++ 代码生成”部分中的用法说明和限制。同样的用法说明和限制也适用于 GPU 代码生成。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

integral 函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

版本历史记录

在 R2012a 中推出

全部展开

R2026a: 对具有标量输入的函数求积分

您可以通过将 Vectorized 名称-值参量指定为 false，对为标量输入编写的函数求积分。

另请参阅

函数

integral2 | integral3 | trapz

integral

语法

说明

示例

广义积分

参数化函数

下限的奇异性

使用路点执行复围道积分

向量值函数

具有标量输入的函数的积分

Oscillatory 函数的广义积分

输入参数

fun — 被积函数 函数句柄

xmin — x 的下限 实数 | 复数

xmax — x 的上限 实数 | 复数

名称-值参数

AbsTol — 绝对误差容限 1e-10 (默认) | 非负实数

RelTol — 相对误差容限 1e-6 (默认) | 非负实数

ArrayValued — 函数是数组值函数 false 或 0 (默认) | true 或 1

Vectorized — 执行向量化计算 true 或 1 (默认) | false 或 0

Waypoints — 积分路点 实数或复数向量

输出参量

q — 积分的计算值 数值标量 | 数值数组

提示

参考

扩展功能

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成 使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

版本历史记录

R2026a: 对具有标量输入的函数求积分

另请参阅

函数

主题

`fun` — 被积函数
函数句柄

`xmin` — x 的下限
实数 | 复数

`xmax` — x 的上限
实数 | 复数

`AbsTol` — 绝对误差容限
`1e-10` (默认) | 非负实数

`RelTol` — 相对误差容限
`1e-6` (默认) | 非负实数

`ArrayValued` — 函数是数组值函数
`false` 或 `0` (默认) | `true` 或 `1`

`Vectorized` — 执行向量化计算
`true` 或 `1` (默认) | `false` 或 `0`

`Waypoints` — 积分路点
实数或复数向量

`q` — 积分的计算值
数值标量 | 数值数组

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。