integral

数值积分

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语法

q = integral(fun,xmin,xmax)

q = integral(fun,xmin,xmax,Name,Value)

说明

示例

q = integral(fun,xmin,xmax) 使用全局自适应积分和默认误差容限在 xmin 至 xmax 间以数值形式为函数 fun 求积分。

示例

q = integral(fun,xmin,xmax,Name,Value) 使用一个或多个 Name,Value 对组参量指定其他选项。例如，指定 'WayPoints'，后跟实数或复数向量，为要使用的积分器指示特定点。

示例

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广义积分

打开实时脚本

创建函数 $f (x) = e^{- x^{2}} (\ln x)^{2}$ 。

fun = @(x) exp(-x.^2).*log(x).^2;

计算 x=0 至 x=Inf 的积分。

q = integral(fun,0,Inf)

q = 1.9475

参数化函数

打开实时脚本

创建带有一个参数 $c$ 的函数 $f (x) = 1 / (x^{3} - 2 x - c)$ 。

fun = @(x,c) 1./(x.^3-2*x-c);

在 c=5 时，计算从 x=0 至 x=2 的积分。

q = integral(@(x) fun(x,5),0,2)

q = -0.4605

有关此方法的详细信息，请参阅参数化函数。

下限的奇异性

打开实时脚本

创建函数 $f (x) = \ln (x)$ 。

fun = @(x)log(x);

使用默认误差容限计算 x=0 至 x=1 的积分。

format long
q1 = integral(fun,0,1)

q1 = 
  -1.000000010959678

再次计算积分，这次使用 12 位小数精度。将 RelTol 设置为零，以便 integral 仅尝试满足绝对误差容限。

q2 = integral(fun,0,1,'RelTol',0,'AbsTol',1e-12)

q2 = 
  -1.000000000000010

使用路点执行复围道积分

打开实时脚本

创建函数 $f (z) = 1 / (2 z - 1)$ 。

fun = @(z) 1./(2*z-1);

通过指定路点，在复平面中从 0 至 1+1i 到 1-1i 至 0 的三角形路径上计算积分。

q = integral(fun,0,0,'Waypoints',[1+1i,1-1i])

q = 0.0000 - 3.1416i

向量值函数

打开实时脚本

创建向量值函数 $f (x) = [\sin x, \sin 2 x, \sin 3 x, \sin 4 x, \sin 5 x]$ 并求 x=0 到 x=1 的积分。指定 'ArrayValued',true 以便计算数组值或向量值函数的积分。

fun = @(x)sin((1:5)*x);
q = integral(fun,0,1,'ArrayValued',true)

q = 1×5

    0.4597    0.7081    0.6633    0.4134    0.1433

Oscillatory 函数的广义积分

打开实时脚本

创建函数 $f (x) = x^{5} e^{- x} \sin x$ 。

fun = @(x)x.^5.*exp(-x).*sin(x);

计算从 x=0 至 x=Inf 的积分，并调整绝对误差和相对误差。

format long
q = integral(fun,0,Inf,'RelTol',1e-8,'AbsTol',1e-13)

q = 
 -14.999999999998360

输入参数

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`fun` — 被积函数
函数句柄

被积函数，指定为函数句柄，用于定义求 xmin 至 xmax 的积分的函数。

对于标量值问题，函数 y = fun(x) 必须接受向量参量 x，并返回向量结果 y。这通常意味着 fun 必须使用数组运算符而不是矩阵运算符。例如，使用 .* (times) 而不是 * (mtimes)。如果将 'ArrayValued' 选项设置为 true，fun 必须接受标量并返回固定大小的数组。

`xmin` — x 的下限
实数 | 复数

x 的下限，指定为实数（有限或无限）标量值或复数（有限）标量值。如果 xmin 或 xmax 为复数，integral 在 xmin 至 xmax 之间沿直线路径逼近路径积分。

数据类型: double | single
复数支持: 是

`xmax` — x 的上限
实数 | 复数

x 的上限，指定为实数（有限或无限）或复数（有限）。如果 xmin 或 xmax 为复数，integral 在 xmin 至 xmax 之间沿直线路径逼近路径积分。

数据类型: double | single
复数支持: 是

名称-值参数

将可选的参量对组指定为 Name1=Value1,...,NameN=ValueN，其中 Name 是参量名称，Value 是对应的值。名称-值参量必须出现在其他参量之后，但参量对组的顺序无关紧要。

在 R2021a 之前，使用逗号分隔每个名称和值，并用引号将 Name 引起来。

示例: integral(fun,a,b,'AbsTol',1e-12) 将绝对误差容限设置为约 12 位小数精度。

`AbsTol` — 绝对误差容限
`1e-10` (默认) | 非负实数

绝对误差容限，指定为由 'AbsTol' 和非负实数组成的逗号分隔对组。integral 使用绝对误差容限来限制绝对误差容限估计值，即 |q – Q|，其中 q 为计算的积分值，Q 为（未知）确切值。如果减小绝对误差容限，integral 可以提供更多位小数的精度。

注意

AbsTol 和 RelTol 配合使用。integral 可满足绝对误差容限或相对误差容限（但不一定同时满足两者）。有关使用这些误差容限的详细信息，请参阅提示一节。

示例: integral(fun,a,b,'AbsTol',1e-12) 将绝对误差容限设置为约 12 位小数精度。

数据类型: single | double

`RelTol` — 相对误差容限
`1e-6` (默认) | 非负实数

相对误差容限，指定为由 'RelTol' 和非负实数组成的逗号分隔对组。integral 使用相对误差容限来限制相对误差容限估计值，即 |q – Q|/|Q|，其中 q 为计算的积分值，Q 为（未知）确切值。如果减小相对误差容限，integral 可以为精度提供更多的有效数位。

注意

RelTol 和 AbsTol 配合使用。integral 可满足相对误差容限或绝对误差容限（但不一定同时满足两者）。有关使用这些误差容限的详细信息，请参阅提示一节。

示例: integral(fun,a,b,'RelTol',1e-9) 将相对误差容限设置为约 9 位有效数位。

数据类型: single | double

`ArrayValued` — 数组值函数标志
`false` 或 `0` (默认) | `true` 或 `1`

数组值函数标志，指定为以逗号分隔的对组，其中包含 'ArrayValued' 和数值或逻辑值 1 (true) 或 0 (false)。将该标志设为 true 或 1，以指示 fun 是接受标量输入并返回向量、矩阵或 N 维数组输出的函数。

false 的默认值指示 fun 是一个接受向量输入并返回向量输出的函数。

示例: integral(fun,a,b,'ArrayValued',true) 表示被积函数是数组值函数。

`Waypoints` — 积分路点
向量

积分路点，指定为由 'Waypoints' 和实数/复数的向量组成的逗号分隔对组。使用路点表示积分器将在初始网格中使用的积分区间中的点。

在关注的函数特征附近添加更多计算点，例如局部极值。
通过指定不连续点的位置，在被积函数的不连续点附近高效求积分。
通过指定复数作为路点来执行复围道积分。如果 xmin、xmax 或任何路点向量项为复数，则会在复平面中针对直线路径序列求积分。在本例中，所有积分范围和路点必须为有限值。

请勿使用路点指定奇异点。而应拆分区间，并在端点处将单独的积分结果与奇异点相加。

示例: integral(fun,a,b,'Waypoints',[1+1i,1-1i]) 指定了积分区间中的两个复数路点。

数据类型: single | double
复数支持: 是

提示

integral 函数尝试满足：
```
abs(q - Q) <= max(AbsTol,RelTol*abs(q))
```
其中 q 为计算的积分值，Q 为（未知）确切值。绝对和相对误差提供了一种在准确性和计算时间之间权衡的方法。相对误差通常确定积分的准确性。但是，如果 abs(q) 足够小，绝对误差会确定积分的准确性。您通常应同时指定绝对误差和相对误差。
如果为积分指定了单精度范围，或者如果 fun 返回单精度结果，您可能需要指定较大的绝对误差容限和相对误差容限。

参考

[1] L.F. Shampine “Vectorized Adaptive Quadrature in MATLAB^®,” Journal of Computational and Applied Mathematics, 211, 2008, pp.131–140.

扩展功能

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

必须启用对可变大小数组的支持。
integral 函数不支持返回稀疏矩阵输出的函数句柄。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

版本历史记录

在 R2012a 中推出

另请参阅

integral2 | integral3 | trapz

integral

语法

说明

示例

广义积分

参数化函数

下限的奇异性

使用路点执行复围道积分

向量值函数

Oscillatory 函数的广义积分

输入参数

fun — 被积函数 函数句柄

xmin — x 的下限 实数 | 复数

xmax — x 的上限 实数 | 复数

名称-值参数

AbsTol — 绝对误差容限 1e-10 (默认) | 非负实数

RelTol — 相对误差容限 1e-6 (默认) | 非负实数

ArrayValued — 数组值函数标志 false 或 0 (默认) | true 或 1

Waypoints — 积分路点 向量

提示

参考

扩展功能

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

版本历史记录

另请参阅

主题

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`fun` — 被积函数
函数句柄

`xmin` — x 的下限
实数 | 复数

`xmax` — x 的上限
实数 | 复数

`AbsTol` — 绝对误差容限
`1e-10` (默认) | 非负实数

`RelTol` — 相对误差容限
`1e-6` (默认) | 非负实数

`ArrayValued` — 数组值函数标志
`false` 或 `0` (默认) | `true` 或 `1`

`Waypoints` — 积分路点
向量

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。