integral3

对三重积分进行数值计算

语法

q = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax)

q = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,Name=Value)

说明

q = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax) 在区域 w = fun(x,y,z) ≤ xmin ≤ x、xmax ≤ ymin(x) ≤ y 和 ymax(x) ≤ zmin(x,y) ≤ z 逼近函数 zmax(x,y) 的积分。

示例

q = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,Name=Value) 使用一个或多个名称-值参量指定选项。例如，您可以指定绝对和相对误差容限以及积分方法。

示例

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具有有限范围的三重积分

打开实时脚本

创建函数 $f (x, y, z) = y \sin x + z \cos x$ 。

fun = @(x,y,z) y.*sin(x)+z.*cos(x);

对区域 $0 \leq x \leq π$ 、 $0 \leq y \leq 1$ 和 $- 1 \leq z \leq 1$ 计算积分。

q = integral3(fun,0,pi,0,1,-1,1)

q = 
2.0000

在笛卡尔坐标中对单位球面计算三重积分

打开实时脚本

创建函数 $f (x, y, z) = x \cos y + x^{2} \cos z$ 。

fun = @(x,y,z) x.*cos(y)+x.^2.*cos(z);

将积分范围指定为笛卡尔坐标中的单位球面。

xmin = -1;
xmax = 1;
ymin = @(x)-sqrt(1-x.^2);
ymax = @(x) sqrt(1-x.^2);
zmin = @(x,y)-sqrt(1-x.^2-y.^2);
zmax = @(x,y) sqrt(1-x.^2-y.^2);

使用 "tiled" 方法计算单位球面的积分。

q = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,Method="tiled")

q = 
0.7796

参数化函数的错误三重积分

打开实时脚本

使用参数 $a = 2$ 创建参数化函数 $f (x, y, z) = 10 / (x^{2} + y^{2} + z^{2} + a)$ 。

a = 2;
fun = @(x,y,z) 10./(x.^2+y.^2+z.^2+a);

对区域 $- \infty \leq x \leq 0$ 、 $- 100 \leq y \leq 0$ 和 $- 100 \leq z \leq 0$ 计算三重积分。

format long
q1 = integral3(fun,-Inf,0,-100,0,-100,0)

q1 = 
     2.734244598320928e+03

再次计算积分，将精度指定为约 9 位有效数位。

q2 = integral3(fun,-Inf,0,-100,0,-100,0,AbsTol=0,RelTol=1e-9)

q2 = 
     2.734244599944285e+03

有关此方法的详细信息，请参阅参数化函数。

具有标量输入的函数的三重积分

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自 R2026a 开始提供

创建采用标量输入的函数 $f (x, y, z) = x^{4} y - y^{3} z^{2}$ 。

fun = @(x,y,z) x^4*y-y^3*z^2;

对 $0 \leq x \leq 1$ 、 $0 \leq y \leq 1$ 和 $0 \leq z \leq 1$ 限定的区域计算积分。将 Vectorized 名称-值参量指定为 false，以在不使用向量化的情况下计算三重积分。

q = integral3(fun,0,1,0,1,0,1,Vectorized=false)

q = 
0.0167

球体的四维积分

打开实时脚本

MATLAB® 中的 integral 求积法函数直接支持一维、二维和三维积分。然而，要求解四维和更高阶积分，需要嵌套对函数的调用。

使用对 integral3 和 integral 的嵌套调用来计算 4 维球体的体积。

半径为 $r$ 的四维球体的体积为

$V_{4} (r) = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{π} \int_{0}^{r} r^{3} \sin^{2} (θ) \sin (ϕ) dr d θ d ϕ d ξ .$

使用按元素运算符（.^ 和 .*）为被积函数创建函数 $f (r, θ, ϕ, ξ)$ 。

f = @(r,theta,phi,xi) r.^3.*sin(theta).^2.*sin(phi);

接下来，创建一个函数，它使用 integral3 计算三个积分。

Q = @(r) integral3(@(theta,phi,xi) f(r,theta,phi,xi),0,pi,0,pi,0,2*pi);

最后，在对 integral 的调用中使用 Q 作为被积函数。求解此积分需要为半径 $r$ 选择一个值，因此请使用 $r = 2$ 。

I = integral(Q,0,2,ArrayValued=true)

I = 
78.9568

确切答案是 $\frac{π^{2} r^{4}}{2 Γ (2)}$ 。

I_exact = pi^2*2^4/(2*gamma(2))

I_exact = 
78.9568

输入参数

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`fun` — 被积函数
函数句柄

被积函数，指定为函数句柄，用于定义求积分的函数。函数 w = fun(x,y,z) 必须接受三个具有相同大小的数组，并返回一个对应值数组。该函数必须执行按元素运算。

`xmin` — x 的下限
实数

x 的下限，指定为有限或无限的实数。

数据类型: double | single

`xmax` — x 的上限
实数

x 的上限，指定为有限或无限的实数。

数据类型: double | single

`ymin` — y 的下限
实数 | 函数句柄

y 的下限，指定为有限或无限实数，或者指定为函数句柄。您可以在对非矩形区域积分时将 ymin 指定为函数句柄（x 的函数）。

数据类型: double | single | function_handle

`ymax` — y 的上限
实数 | 函数句柄

y 的上限，指定为有限或无限实数，或者指定为函数句柄。您可以在对非矩形区域积分时将 ymax 指定为函数句柄（x 的函数）。

数据类型: double | single | function_handle

`zmin` — z 的下限
实数 | 函数句柄

z 的下限，指定为有限或无限实数，或者指定为函数句柄。您可以在对非矩形区域积分时将 zmin 指定为函数句柄（x,y 的函数）。

数据类型: double | single | function_handle

`zmax` — z 的上限
实数 | 函数句柄

z 的上限，指定为有限或无限实数，或者指定为函数句柄。您也可以在对非矩形区域积分时将 zmax 指定为函数句柄（x,y 的函数）。

数据类型: double | single | function_handle

名称-值参数

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将可选参量对组指定为 Name1=Value1,...,NameN=ValueN，其中 Name 是参量名称，Value 是对应的值。名称-值参量必须出现在其他参量之后，但对各个参量对组的顺序没有要求。

示例: q = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,AbsTol=1e-12) 将绝对误差容限设置为约 12 位小数精度。

`AbsTol` — 绝对误差容限
`1e-10` (默认) | 非负实数

绝对误差容限，指定为非负实数。integral3 使用绝对误差容限来限制绝对误差容限估计值，即 |q – Q|，其中 q 为计算的积分值，Q 为（未知）确切值。如果减小绝对误差容限，integral3 可以提供更多位小数的精度。

注意

AbsTol 和 RelTol 配合使用。integral3 可满足绝对误差容限或相对误差容限（但不一定同时满足两者）。有关使用这些误差容限的详细信息，请参阅提示一节。

示例: q = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,AbsTol=1e-12)

数据类型: double | single

`RelTol` — 相对误差容限
`1e-6` (默认) | 非负实数

相对误差容限，指定为非负实数。integral3 使用相对误差容限来限制相对误差容限估计值，即 |q – Q|/|Q|，其中 q 为计算的积分值，Q 为（未知）确切值。如果减小相对误差容限，integral3 可以为精度提供更多的有效数位。

注意

RelTol 和 AbsTol 配合使用。integral3 可满足相对误差容限或绝对误差容限（但不一定同时满足两者）。有关使用这些误差容限的详细信息，请参阅提示一节。

示例: q = integral3(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,RelTol=1e-9)

数据类型: double | single

`Method` — 积分方法
`"auto"` (默认) | `"tiled"` | `"iterated"`

积分方法，指定为下表中的值之一。

积分方法	描述
`"auto"`	`integral3` 选择使用 `"tiled"` 方法还是 `"iterated"` 方法。对于大多数情况，`integral3` 使用 `"tiled"` 方法。当任何积分范围为无限时，`integral3` 使用 `"iterated"` 方法。
`"tiled"`	`integral3` 调用 `integral` 对 `xmin` ≤ `x` ≤ `xmax` 计算积分。它使用 `integral2` 方法来调用 `"tiled"`，以便对 `ymin(x)` ≤ `y` ≤ `ymax(x)` 和 `zmin(x,y)` ≤ `z` ≤ `zmax(x,y)` 计算二重积分。积分范围必须是有限的。
`"iterated"`	`integral3` 调用 `integral` 对 `xmin` ≤ `x` ≤ `xmax` 计算积分。它使用 `integral2` 方法来调用 `"iterated"`，以便对 `ymin(x)` ≤ `y` ≤ `ymax(x)` 和 `zmin(x,y)` ≤ `z` ≤ `zmax(x,y)` 计算二重积分。积分范围可以是无限的。

`Vectorized` — 执行向量化计算
`true` 或 `1` (默认) | `false` 或 `0`

自 R2026a 起

执行向量化计算，指定为数值或逻辑值 1 (true) 或 0 (false)。默认情况下，Vectorized 为 true，并且积分的计算是向量化的，以便运行更快。被积函数 fun 必须接受三个具有相同大小的数组并按元素运算，从而返回一个对应值数组。如果 y 的下限或上限是函数句柄，则 ymin 或 ymax 必须接受向量参量并返回一个对应值向量。如果 z 的下限或上限是函数句柄，则 zmin 或 zmax 必须接受两个具有相同大小的向量参量并返回一个对应值向量。

如果您将 Vectorized 指定为 false，则 fun、ymin、ymax、zmin 和 zmax 只接受标量参量并返回标量值。

输出参量

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`q` — 三重积分的计算值
数值标量 | 数值数组

三重积分的计算值，以数值标量或数组形式返回。

提示

integral3 函数尝试满足以下表达式，其中 q 是积分的计算值，而 Q 是（未知的）精确值。
```
abs(q - Q) <= max(AbsTol,RelTol*abs(q))
```
绝对和相对误差提供了一种在准确性和计算时间之间权衡的方法。相对误差通常确定积分的准确性。但是，如果 abs(q) 足够小，绝对误差会确定积分的准确性。最佳做法是同时指定绝对容差和相对容差。
当您的函数在积分区域内不连续时，"iterated" 方法可能会更有效。但是，如果您在不连续点处拆分积分并计算多个积分的结果总和，则可实现最佳性能和精确度。
在对非矩形区域进行积分时，如果以下任意或所有范围满足条件，则可实现最佳性能和精确度：ymin、ymax、zmin 或 zmax 是函数句柄。避免将被积函数值设置为零来对非矩形区域积分。如果您必须这样做，请指定 "iterated" 方法。
如果以下任意或所有范围满足条件，请使用 "iterated" 方法：ymin、ymax、zmin 或 zmax 为无界函数。
当您参数化匿名函数时，参数值会在函数句柄生命周期内保留。例如，函数 fun = @(x,y,z) x + y + z + a 使用创建 fun 时的 a 的值。如果您以后决定更改 a 的值，则必须使用新值重新定义匿名函数。
如果为积分指定单精度范围，或者如果 fun 返回单精度结果，您可能需要指定较大的绝对误差容限和相对误差容限。
要求解四维及更高阶积分，您可以嵌套调用 integral、integral2、integral3。另一种选择是在 MATLAB^® File Exchange 上使用 integralN 函数，它可以求解 4 至 6 阶积分。

参考

[1] Shampine, L.F. “Vectorized Adaptive Quadrature in MATLAB.” Journal of Computational and Applied Mathematics 211, no. 2 (February 2008): 131–40. https://doi.org/10.1016/j.cam.2006.11.021.

[2] Shampine, L.F. "MATLAB Program for Quadrature in 2D." Applied Mathematics and Computation 202, no. 1 (August 2008): 266–74. https://doi.org/10.1016/j.amc.2008.02.012.

扩展功能

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C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

当积分方法是 "auto" 或 "iterated" 时，您必须启用对可变大小数组的支持。
此函数不支持返回稀疏矩阵输出的函数句柄。
如果内部存储数组的大小不够大，生成的代码将发出警告。如果出现警告，可能的解决办法是将积分区域分为几个小块，并求每个小块的积分总和。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

请参阅“C/C++ 代码生成”部分中的用法说明和限制。同样的用法说明和限制也适用于 GPU 代码生成。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

integral3 函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

版本历史记录

在 R2012a 中推出

全部展开

R2026a: 对具有标量输入的函数求积分

您可以通过将 Vectorized 名称-值参量指定为 false，对为标量输入编写的函数求积分。

另请参阅

函数

integral | integral2 | trapz

integral3

语法

说明

示例

具有有限范围的三重积分

在笛卡尔坐标中对单位球面计算三重积分

参数化函数的错误三重积分

具有标量输入的函数的三重积分

球体的四维积分

输入参数

fun — 被积函数 函数句柄

xmin — x 的下限 实数

xmax — x 的上限 实数

ymin — y 的下限 实数 | 函数句柄

ymax — y 的上限 实数 | 函数句柄

zmin — z 的下限 实数 | 函数句柄

zmax — z 的上限 实数 | 函数句柄

名称-值参数

AbsTol — 绝对误差容限 1e-10 (默认) | 非负实数

RelTol — 相对误差容限 1e-6 (默认) | 非负实数

Method — 积分方法 "auto" (默认) | "tiled" | "iterated"

Vectorized — 执行向量化计算 true 或 1 (默认) | false 或 0

输出参量

q — 三重积分的计算值 数值标量 | 数值数组

提示

参考

扩展功能

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成 使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

版本历史记录

R2026a: 对具有标量输入的函数求积分

另请参阅

函数

主题

`fun` — 被积函数
函数句柄

`xmin` — x 的下限
实数

`xmax` — x 的上限
实数

`ymin` — y 的下限
实数 | 函数句柄

`ymax` — y 的上限
实数 | 函数句柄

`zmin` — z 的下限
实数 | 函数句柄

`zmax` — z 的上限
实数 | 函数句柄

`AbsTol` — 绝对误差容限
`1e-10` (默认) | 非负实数

`RelTol` — 相对误差容限
`1e-6` (默认) | 非负实数

`Method` — 积分方法
`"auto"` (默认) | `"tiled"` | `"iterated"`

`Vectorized` — 执行向量化计算
`true` 或 `1` (默认) | `false` 或 `0`

`q` — 三重积分的计算值
数值标量 | 数值数组

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

GPU 代码生成
使用 GPU Coder™ 为 NVIDIA® GPU 生成 CUDA® 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。