比较 FFT 和 STFT：每种方法适用的信号分析场景

概述

快速傅里叶变换 (FFT) 和短时傅里叶变换 (STFT) 是在频域中分析信号的基础工具。FFT 是一种用于计算离散傅里叶变换 (DFT) 的高效算法，它将振幅与时间数据的关系转换为振幅与频率数据的关系。FFT 显示信号中存在哪些频率分量及其相对幅值。

STFT 扩展了这一思路，即通过将 FFT 应用于信号的短片段，可以查看频率成分如何随时间变化。这会生成一种时频表示，通常可视化为频谱图。

当频率成分在分析区间内保持相对恒定时，使用 FFT。当频率成分随时间变化且您需要知道特定频率何时出现时，使用 STFT。

比较 FFT 和 STFT

类型	FFT（快速傅里叶变换）	STFT（短时傅里叶变换）
最佳适用场景	平稳信号，其中频率成分保持恒定	非平稳信号，其中频率随时间变化
输出数据	频率幅值的一维数组	频率幅值与时间关系的二维数组（通常可视化为频谱图）
分辨率	基于总信号长度的最大频率分辨率；无时间分辨率 $$ \Delta f = \frac{f_s}{N} $$	由窗大小 $N$ 决定的时间与频率分辨率权衡（海森堡不确定性原理）$$\Delta f = \frac{f_s}{N} \qquad \Delta t = \frac{N}{f_s} $$
计算	时间复杂度为 $O(n \log n)$ 的高效计算	多次 FFT 计算；所需的 FFT 总次数取决于窗长度和重叠

时频分辨率

FFT 描述整个分析窗上的频率成分。它将显示哪些频率分量存在以及以何种幅值存在，但不显示何时存在。FFT 将提供两种方法中最高的频率分辨率，但不提供任何时间信息。

STFT 以牺牲频率分辨率为代价引入时间信息。它能描述频率出现的时间，但会模糊这些频率的具体信息。海森堡不确定性原理描述了这种无法同时定位时间和频率的基本性质。

计算复杂度和每种方法的适用场景

FFT 将 $N$ 值较大情形下的 DFT 时间复杂度从 $O(n^2)$ 改进为 $O(n \log n)$，其中 \$n\$ 是 DFT 点数。STFT 需要多次 FFT 计算。FFT 计算的次数取决于为 STFT 计算选择的帧速率和窗重叠。因此，计算给定信号的 STFT 比计算同一信号的 FFT 需要更多计算。FFT 最适用于平稳信号；例如，具有稳定频率的振动分析或占据特定频带的通信信号。STFT 最适用于非平稳信号；例如，音频和生物医学信号。

MATLAB 中的 FFT 和 STFT

$ Y = \operatorname{fft}(X) $ 是在 MATLAB 中计算 FFT 的最常用语法。如果 $X$ 是时域信号，则 $Y$ 以频域表示形式返回。可以绘制 $Y$ 的每个元素的振幅对频率的图，以可视化每个频率分量的振幅。

频谱分析的一种常见可视化方法是周期图。周期图可视化信号的功率谱密度 (PSD)，从而显示每频率单位的功率大小。

周期图功率谱图：显示频率峰值和内嵌数据表 — 经过功率放大器的正弦波的周期图。周期图显示放大器中的非线性产生谐波失真。谐波是基频的倍数。

$ S = \operatorname{stft}(X) $ 是在 MATLAB 中计算 STFT 的基本语法。如果 $X$ 是时域信号，则 $S$ 以矩阵形式返回，其中时间沿 $S$ 的列递增，频率按行从上到下递增。STFT 的默认参数包括汉宁窗长度为 128、FFT 长度为 128 以及窗重叠长度为 75%。STFT 可视化为频谱图以显示时频信息。