线性回归

什么是线性回归

线性回归是一种统计建模方法，用来将连续响应变量描述为一个或多个预测变量的函数。它有助于您理解和预测复杂系统的行为，或者分析试验、金融和生物数据。

使用线性回归方法创建一个线性模型。该模型描述因变量 \(y\)（也称为响应变量）和一个或多个自变量 \(X_i\)（又称为预测变量）之间的关系。线性回归模型的一般方程为：

\[Y = \beta_0 + \sum \ \beta_k X_k + \epsilon_i\]

其中 \(\beta\) 表示要计算的线性参数估计值，\(\epsilon\) 表示误差项。

线性回归的类型

简单线性回归（仅使用一个预测变量的模型）：一般方程为：

\[Y = \beta_0 + \beta_1 X+ \epsilon\]

多重线性回归（使用多个预测变量的模型）：此回归使用多个 \(X_i\) 来预测响应，也就是 \(Y\)。此方程的一个示例是：

\[Y = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2+ \epsilon\]

多元线性回归（用于多个响应变量的模型）：此回归有从同一数据 \(X\) 推断出的多个 \(Y_i\)。它们用不同公式表示。此类方程组的一个包含 2 个方程的示例为：

\[Y_1 = \beta_{01} + \beta_{11} X_1 + \epsilon_1\]

\[Y_2 = \beta_{02} + \beta_{1 2}X_1 + \epsilon_2\]

多元多重线性回归（针对多个响应变量使用多个预测变量的模型）：此回归使用多个 \(X_i\) 来预测多个响应 \(Y_i\)。方程的泛化形式是：

线性回归的应用

线性回归的某些属性使其非常适合以下应用：

• 预测或预报：使用回归模型为特定数据集构建预测模型。根据该模型，您可以使用回归在仅知道预测变量的情况下预测响应值。
• 回归的强度： 使用回归模型确定变量与预测变量之间是否存在关系，以及这种关系的强度如何。

使用 MATLAB 进行线性回归

工程师通常使用 MATLAB 创建简单线性回归模型。对于多重和多元线性回归，您可以使用 MATLAB 的 Statistics and Machine Learning Toolbox™。它支持逐步回归、稳健回归和多元回归以实现以下目的：

• 生成预测
• 比较线性模型拟合
• 绘制残差图
• 评估拟合优度
• 检测离群值

要创建一个对数据进行曲线和曲面拟合的线性模型，请参阅 Curve Fitting Toolbox™。