设计 LQG 伺服控制器

此示例说明如何为以下系统设计伺服控制器。

被控对象有三个状态 (x)、两个控制输入 (u)、两个随机输入 (w)、一个输出 (y)、输出的测量噪声 (v)，以及以下状态和测量方程：

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u + G w \\ y = C x + D u + H w + v \end{array}$

其中

$\begin{array}{l} A = [\begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}] B = [\begin{matrix} 0.3 & 1 \\ 0 & 1 \\ - 0.3 & 0.9 \end{matrix}] G = [\begin{matrix} - 0.7 & 1.12 \\ - 1.17 & 1 \\ 0.14 & 1.5 \end{matrix}] \\ C = [\begin{matrix} 1.9 & 1.3 & 1 \end{matrix}] D = [\begin{matrix} 0.53 & - 0.61 \end{matrix}] H = [\begin{matrix} - 1.2 & - 0.89 \end{matrix}] \end{array}$

该系统具有以下噪声协方差数据：

$\begin{array}{l} Q_{n} = E (w w^{T}) = [\begin{matrix} 4 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}] \\ R n = E (v v^{T}) = 0.7 \end{array}$

使用以下代价函数来定义跟踪器性能和控制力度之间的权衡：

$J (u) = \int_{0}^{\infty} (0.1 x^{T} x + x_{i}^{2} + u^{T} [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix}] u) d t$

要为此系统设计 LQG 伺服控制器，请执行以下操作：

通过在 MATLAB^® 命令行窗口中键入以下命令来创建状态空间系统：

A = [0 1 0;0 0 1;1 0 0];    
B = [0.3 1;0 1;-0.3 0.9];
G = [-0.7 1.12; -1.17 1; .14 1.5];
C = [1.9 1.3 1];  
D = [0.53 -0.61];
H = [-1.2 -0.89];
sys = ss(A,[B G],C,[D H]);

通过键入以下命令，使用给定的代价函数构造最优状态反馈增益：

nx = 3;    %Number of states
ny = 1;    %Number of outputs
Q = blkdiag(0.1*eye(nx),eye(ny));
R = [1 0;0 2];
K = lqi(ss(A,B,C,D),Q,R);

通过键入以下命令，使用给定的噪声协方差数据构造卡尔曼状态估计器：
```
Qn = [4 2;2 1]; 
Rn = 0.7;
kest = kalman(sys,Qn,Rn);
```

通过键入以下命令，连接卡尔曼状态估计器和最优状态反馈增益以构成 LQG 伺服控制器：

trksys = lqgtrack(kest,K)

此命令返回以下 LQG 伺服控制器：

>> trksys = lqgtrack(kest,K)
 
a = 
           x1_e    x2_e    x3_e     xi1
   x1_e  -2.373  -1.062  -1.649   0.772
   x2_e  -3.443  -2.876  -1.335  0.6351
   x3_e  -1.963  -2.483  -2.043  0.4049
   xi1        0       0       0       0
 
b = 
             r1      y1
   x1_e       0  0.2849
   x2_e       0  0.7727
   x3_e       0  0.7058
   xi1        1      -1
 
c = 
          x1_e     x2_e     x3_e      xi1
   u1  -0.5388  -0.4173  -0.2481   0.5578
   u2   -1.492   -1.388   -1.131   0.5869
 
d = 
       r1  y1
   u1   0   0
   u2   0   0
 
Input groups:              
       Name        Channels
     Setpoint         1    
    Measurement       2    
                           
Output groups:             
      Name      Channels   
    Controls      1,2      
                           
Continuous-time model.

另请参阅

kalman | lqgtrack | lqi

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