线性二次高斯 (LQG) 设计

线性二次高斯 (LQG) 控制是一种现代状态空间方法，用于设计具有积分动作的最佳动态调节器和伺服控制器（也称为设定点跟踪器）。此方法允许您权衡调节/跟踪器性能和控制力度，并考虑过程扰动和测量噪声。

要设计 LQG 调节器和设定点跟踪器，请执行以下步骤：

构造 LQ 最优增益。
构造卡尔曼滤波器（状态估计器）。
通过连接 LQ 最优增益和卡尔曼滤波器构建 LQG 设计。

有关使用 LQG 设计创建 LQG 调节器的详细信息，请参阅用于调节的线性二次高斯 (LQG) 设计。

有关使用 LQG 设计创建 LQG 伺服控制器的详细信息，请参阅具有积分动作的伺服控制器的线性二次高斯 (LQG) 设计。

上述主题主要讲述连续时间情形。有关离散时间 LQG 设计的信息，请参阅 dlqr 和 kalman 参考页。

用于调节的线性二次高斯 (LQG) 设计

您可以设计一个 LQG 调节器，用于在以下模型中将输出 y 调节为接近零的值。

此模型中的被控对象受到了w 扰动（过程噪声）并由控制 u 驱动。该调节器依靠含噪测量值 y 来生成这些控制。被控对象状态和测量方程采用以下形式

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u + G w \\ y = C x + D u + H w + v \end{array}$

w 和 v 在模型中都被当作白噪声。

注意

LQG 设计需要被控对象的状态空间模型。您可以使用 ss 将其他模型格式转换为状态空间。

要设计 LQG 调节器，可以使用下表中所示的设计方法。

设计 LQG 调节器使用的方法使用以下命令

设计 LQG 调节器使用的方法	使用以下命令
一步到位的快速设计方法，需满足以下条件：需要最优的 LQG 控制器，并且 E(wv') 或 H 为非零值。所有已知（确定性）输入均为控制输入，所有输出均为测得值。积分器状态的加权独立于被控对象的状态和控制输入。	`lqg`
一种更灵活的三步设计方法，允许您指定：任意 G 和 H。非控制的已知（确定性）输入和/或未测得的输出。积分器状态、被控对象状态和控制的灵活权重方案。	`lqr`、`kalman` 和 `lqgreg` 有关详细信息，请参阅构造调节的最优状态反馈增益构造卡尔曼状态估计器构建 LQG 调节器

一步到位的快速设计方法，需满足以下条件：

需要最优的 LQG 控制器，并且 E(wv') 或 H 为非零值。
所有已知（确定性）输入均为控制输入，所有输出均为测得值。
积分器状态的加权独立于被控对象的状态和控制输入。

lqg

一种更灵活的三步设计方法，允许您指定：

任意 G 和 H。
非控制的已知（确定性）输入和/或未测得的输出。
积分器状态、被控对象状态和控制的灵活权重方案。

lqr、kalman 和 lqgreg

有关详细信息，请参阅

构造调节的最优状态反馈增益

您可以从以下元素构造 LQ 最优增益：

状态空间系统矩阵
加权矩阵 Q、R 和 N，它们定义调节性能（x(t) 到达零的速度）和控制力度之间的权衡。

要构造最优增益，请键入以下命令：

K= lqr(A,B,Q,R,N)

此命令计算最优增益矩阵 K，对于该矩阵，状态反馈律 $u = - K x$ 最小化以下连续时间的二次代价函数：

$J (u) = \int_{0}^{\infty} {x^{T} Q x + 2 x^{T} N u + u^{T} R u} d t$

本软件通过求解代数黎卡提方程来计算增益矩阵 K。

有关构造 LQ 最优增益的信息，包括软件在离散时间情形下最小化的代价函数，请参阅 lqr 参考页。

构造卡尔曼状态估计器

LQG 调节和伺服控制需要卡尔曼状态估计器，因为没有全状态测量就无法实现 LQ 最优状态反馈。

您构造的状态估计 $\hat{x}$ 使得 $u = - K \hat{x}$ 对于输出反馈问题保持最优。您需要基于以下元素构造卡尔曼状态估计器增益：

状态空间被控对象模型 sys
噪声协方差数据 Qn、Rn 和 Nn
下图显示 Qn、Rn 和 Nn 所需的维度。如果 Nn 为 0，可以将其省略。
Qn、Rn 和 Nn 所需的维度

注意

对于调节和伺服控制，可以按同样的方式构造卡尔曼状态估计器。

要构造卡尔曼状态估计器，请键入以下命令：

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn);

该命令使用以下被控对象方程计算卡尔曼状态估计器 kest：

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u + G w \\ y = C x + D u + H w + v \end{array}$

其中 w 和 v 在建模时被当作白噪声。L 是卡尔曼增益，P 是协方差矩阵。

本软件使用卡尔曼滤波器生成以下状态估计：

$\frac{d}{d t} \hat{x} = A \hat{x} + B u + L (y - C \hat{x} - D u)$

其中使用输入 u（控制）和 y（测量）。噪声协方差数据

$E (w w^{T}) = Q_{n}, E (v v^{T}) = R_{n}, E (w v^{T}) = N_{n}$

通过代数黎卡提方程确定卡尔曼增益 L。

卡尔曼滤波器是处理高斯白噪声的最优估计器。具体来说，它能够最小化估计误差的渐近协方差
$\lim_{t \to \infty}$ $E ((x - \hat{x}) {(x - \hat{x})}^{T})$ ：

（估计误差 $x - \hat{x}$ 的渐进协方差）。

有关详细信息，请参阅 kalman 参考页。有关卡尔曼滤波器实现的完整示例，请参阅卡尔曼滤波。

构建 LQG 调节器

要构建 LQG 调节器，请通过键入以下命令连接卡尔曼滤波器 kest 和 LQ 最优增益 K：

regulator = lqgreg(kest, K);

此命令将构建下图所示的 LQG 调节器。

该调节器具有以下状态空间方程：

$\begin{array}{l} \frac{d}{d t} \hat{x} = [A - L C - (B - L D) K] \hat{x} + L y \\ u = - K \hat{x} \end{array}$

有关构建 LQG 调节器的详细信息，请参阅 lqgreg 和 LQG Regulation: Rolling Mill Case Study。

具有积分动作的伺服控制器的线性二次高斯 (LQG) 设计

您可以为以下模型设计具有积分动作的伺服控制器：

您设计的伺服控制器需确保输出 y 跟踪参考命令 r，同时拒绝过程扰动 w 和测量噪声 v。

上图中的被控对象受到了 w 的扰动并由控制 u 驱动。伺服控制器依靠含噪测量值 y 来生成这些控制。被控对象状态和测量方程的形式如下

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u + G w \\ y = C x + D u + H w + v \end{array}$

w 和 v 在模型中都被当作白噪声。

注意

LQG 设计需要被控对象的状态空间模型。您可以使用 ss 将其他模型格式转换为状态空间。

要设计 LQG 伺服控制器，您可以使用下表所示的设计方法。

设计 LQG 伺服控制器使用的方法使用以下命令

设计 LQG 伺服控制器使用的方法	使用以下命令
一步到位的快速设计方法，需满足以下条件：需要最优的 LQG 控制器，并且 E(wv') 或 H 为非零值。所有已知（确定性）输入均为控制输入，所有输出均为测得值。积分器状态的加权独立于被控对象的状态和控制输入。	`lqg`
一种更灵活的三步设计方法，允许您指定：任意 G 和 H。非控制的已知（确定性）输入和/或未测得的输出。积分器状态、被控对象状态和控制的灵活权重方案。	`lqi`、`kalman` 和 `lqgtrack` 有关详细信息，请参阅构造伺服控制的最优状态反馈增益构造卡尔曼状态估计器构建 LQG 伺服控制器

一步到位的快速设计方法，需满足以下条件：

需要最优的 LQG 控制器，并且 E(wv') 或 H 为非零值。
所有已知（确定性）输入均为控制输入，所有输出均为测得值。
积分器状态的加权独立于被控对象的状态和控制输入。

lqg

一种更灵活的三步设计方法，允许您指定：

任意 G 和 H。
非控制的已知（确定性）输入和/或未测得的输出。
积分器状态、被控对象状态和控制的灵活权重方案。

lqi、kalman 和 lqgtrack

有关详细信息，请参阅

构造伺服控制的最优状态反馈增益

您可以基于以下各项构造 LQ 最优增益：

状态空间被控对象模型 sys
加权矩阵 Q、R 和 N，它们定义跟踪器性能和控制力度之间的权衡

要构造最优增益，请键入以下命令：

K= lqi(sys,Q,R,N)

此命令计算最优增益矩阵 K，对于该矩阵，状态反馈律 $u = - K z = - K [x; x_{i}]$ 最小化以下连续时间的二次代价函数：

$J (u) = \int_{0}^{\infty} {z^{T} Q z + u^{T} R u + 2 z^{T} N u} d t$

本软件通过求解代数黎卡提方程来计算增益矩阵 K。

有关构造 LQ 最优增益的信息，包括软件在离散时间情形下最小化的代价函数，请参阅 lqi 参考页。

构造卡尔曼状态估计器

LQG 调节和伺服控制需要卡尔曼状态估计器，因为没有全状态测量就无法实现 LQ 最优状态反馈。

您构造的状态估计 $\hat{x}$ 使得 $u = - K \hat{x}$ 对于输出反馈问题保持最优。您需要基于以下元素构造卡尔曼状态估计器增益：

状态空间被控对象模型 sys
噪声协方差数据 Qn、Rn 和 Nn
下图显示 Qn、Rn 和 Nn 所需的维度。如果 Nn 为 0，可以将其省略。
Qn、Rn 和 Nn 所需的维度

注意

对于调节和伺服控制，可以按同样的方式构造卡尔曼状态估计器。

要构造卡尔曼状态估计器，请键入以下命令：

[kest,L,P] = kalman(sys,Qn,Rn,Nn);

该命令使用以下被控对象方程计算卡尔曼状态估计器 kest：

$\begin{array}{l} \dot{x} = A x + B u + G w \\ y = C x + D u + H w + v \end{array}$

其中 w 和 v 在建模时被当作白噪声。L 是卡尔曼增益，P 是协方差矩阵。

本软件使用卡尔曼滤波器生成以下状态估计：

$\frac{d}{d t} \hat{x} = A \hat{x} + B u + L (y - C \hat{x} - D u)$

其中使用输入 u（控制）和 y（测量）。噪声协方差数据

$E (w w^{T}) = Q_{n}, E (v v^{T}) = R_{n}, E (w v^{T}) = N_{n}$

通过代数黎卡提方程确定卡尔曼增益 L。

卡尔曼滤波器是处理高斯白噪声的最优估计器。具体来说，它能够最小化估计误差的渐近协方差
$\lim_{t \to \infty}$ $E ((x - \hat{x}) {(x - \hat{x})}^{T})$ ：

（估计误差 $x - \hat{x}$ 的渐进协方差）。

有关详细信息，请参阅 kalman 参考页。有关卡尔曼滤波器实现的完整示例，请参阅卡尔曼滤波。

构建 LQG 伺服控制器

要构建一个二自由度 LQG 伺服控制器，请通过键入以下命令连接卡尔曼滤波器 kest 和 LQ 最优增益 K：

servocontroller = lqgtrack(kest, K);

此命令将构建下图所示的 LQG 伺服控制器。

该伺服控制器具有以下状态空间方程：

$\begin{array}{l} [\begin{matrix} \dot{\hat{x}} \\ {\dot{x}}_{i} \end{matrix}] = [\begin{matrix} A - B K_{x} - L C + L D K_{x} & - B K_{i} + L D K_{i} \\ 0 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} \hat{x} \\ x_{i} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & L \\ I & - I \end{matrix}] [\begin{matrix} r \\ y \end{matrix}] \\ u = [\begin{matrix} - K_{x} & - K_{i} \end{matrix}] [\begin{matrix} \hat{x} \\ x_{i} \end{matrix}] \end{array}$