lqr

pendulumModelCart.mat 包含小车上倒立摆的状态空间模型，其输出为小车位移 x 和摆角 $\theta$。控制输入 u 是作用于小车的水平力。

首先，将状态空间模型 sys 加载到工作区。

load('pendulumCartModel.mat','sys')

由于输出为 x 和 $\theta$，并且只有一个输入，因此使用布莱森法则确定 Q 和 R。

Q = [1,0,0,0;...
    0,0,0,0;...
    0,0,1,0;...
    0,0,0,0];
R = 1;

使用 lqr 求增益矩阵 K。由于未指定 N，lqr 将 N 设置为 0。

[K,S,P] = lqr(sys,Q,R)

K = 1×4

   -1.0000   -1.7559   16.9145    3.2274

S = 4×4

    1.5346    1.2127   -3.2274   -0.6851
    1.2127    1.5321   -4.5626   -0.9640
   -3.2274   -4.5626   26.5487    5.2079
   -0.6851   -0.9640    5.2079    1.0311

P = 4×1 complex

  -0.8684 + 0.8523i
  -0.8684 - 0.8523i
  -5.4941 + 0.4564i
  -5.4941 - 0.4564i

虽然布莱森法则通常能提供令人满意的结果，但它往往只作为试错迭代设计过程的起点，用于根据设计需求调节闭环系统响应。

aircraftPitchModel.mat 包含飞机的状态空间矩阵，其输入为升降舵偏转角 $\delta$，输出为飞机俯仰角 $\theta$。

对于 0.2 弧度的阶跃参考输入，请考虑采用以下设计标准：

将模型数据加载到工作区。

load('aircraftPitchModel.mat')

定义状态代价加权矩阵 Q 和控制加权矩阵 R。通常，您可以使用布莱森法则来定义初始加权矩阵 Q 和 R。对于此示例，假设输出向量为 C，矩阵 Q 的缩放因子为 2，并将 R 选为 1。R 是标量，因为系统只有一个输入。

R = 1

R = 1

Q1 = 2*C'*C

Q1 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0     2

使用 lqr 计算增益矩阵。

[K1,S1,P1] = lqr(A,B,Q1,R);

用生成的增益矩阵 K1 检查闭环阶跃响应。

sys1 = ss(A-B*K1,B,C,D);
step(sys1)

由于此响应不符合设计目标，请将缩放因子增加到 25，计算增益矩阵 K2，并检查增益矩阵 K2 的闭环阶跃响应。

Q2 = 25*C'*C

Q2 = 3×3

     0     0     0
     0     0     0
     0     0    25

[K2,S2,P2] = lqr(A,B,Q2,R);
sys2 = ss(A-B*K2,B,C,D);
step(sys2)

在闭环阶跃响应图中，上升时间、稳定时间和稳态误差符合设计目标。