lqrd

为连续被控对象设计离散线性二次 (LQ) 调节器

语法

lqrd [Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,Ts) [Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,N,Ts)

说明

lqrd 设计离散全状态反馈调节器，其响应特征类似于使用 lqr 设计的连续状态反馈调节器。此命令在设计出令人满意的连续状态反馈增益后，可用于为数字实现设计增益矩阵。

[Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,Ts) 计算离散状态反馈律

$u [n] = - K_{d} x [n]$

该律最小化了一个等效于连续代价函数的离散代价函数。

$J = \int_{0}^{\infty} (x^{T} Q x + u^{T} R u) d t$

矩阵 A 和 B 指定连续被控对象动态特性

$\dot{x} = A x + B u$

而 Ts 指定离散调节器的采样时间。同时返回的还有离散化问题的离散黎卡提方程的解 S 和离散闭环特征值 e = eig(Ad-Bd*Kd)。

[Kd,S,e] = lqrd(A,B,Q,R,N,Ts) 求解代价函数中包含交叉耦合项的更一般问题。

$J = \int_{0}^{\infty} (x^{T} Q x + u^{T} R u + 2 x^{T} N u) d t$

限制

离散化问题数据应满足 dlqr 的要求。

算法

等效离散增益矩阵 Kd 是通过使用采样时间 Ts 和零阶保持逼近，对连续被控对象和加权矩阵进行离散化后确定的。

使用以下注释

$\begin{matrix} Φ (τ) = e^{A τ}, & A_{d} = Φ (T_{s}) \\ Γ (τ) = \int_{0}^{τ} e^{A η} B d η, & B_{d} = Γ (T_{s}) \end{matrix}$

离散化被控对象的方程为

$x [n + 1] = A_{d} x [n] + B_{d} u [n]$

等效离散代价函数的加权矩阵为

$[\begin{matrix} Q_{d} & N_{d} \\ N_{d}^{T} & R_{d} \end{matrix}] = \int_{0}^{T_{s}} [\begin{matrix} Φ^{T} (τ) & 0 \\ Γ^{T} (τ) & I \end{matrix}] [\begin{matrix} Q & N \\ N^{T} & R \end{matrix}] [\begin{matrix} Φ (τ) & Γ (τ) \\ 0 & I \end{matrix}] d τ$

积分使用范洛恩提出的矩阵指数公式计算（参见 [2]）。被控对象使用 c2d 进行离散化，增益矩阵使用 dlqr 根据离散化数据进行计算。

参考资料

[1] Franklin, G.F., J.D. Powell, and M.L. Workman, Digital Control of Dynamic Systems, Second Edition, Addison-Wesley, 1980, pp. 439-440.

[2] Van Loan, C.F., "Computing Integrals Involving the Matrix Exponential," IEEE^® Trans. Automatic Control, AC-23, June 1978.

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

c2d | dlqr | kalmd | lqr