gram

可控性和可观测性 Gramian

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语法

Wc = gram(sys,'c')
Wo = gram(sys,'o')
Rc = gram(sys,'cf')
Ro = gram(sys,'of')
W = gram(___,opt)

说明

使用 gram 构建可控性和可观测性 Gramian。您可以使用 Gramian 研究状态空间模型的可控性和可观测性，也可将其用于模型降阶[1]。其数值特性优于 ctrb 和 obsv 构建的可控性和可观测性矩阵。

Wc = gram(sys,'c') 计算状态空间模型 sys 的可控性 Gramian。

Wo = gram(sys,'o') 计算状态空间模型 sys 的可观测性 Gramian。

Rc = gram(sys,'cf') 返回可控性 Gramian 的 Cholesky 因子。

Ro = gram(sys,'of') 返回可观测性 Gramian 的 Cholesky 因子。

W = gram(___,opt) 计算限时或限频 Gramian。opt 是指定计算时间或频率区间的选项集。使用 gramOptions命令创建 opt。

示例

示例

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打开实时脚本

计算以下状态空间模型的可控性 Gramian。重点关注能量最集中的频率区间的计算。

sys = ss([-.1 -1;1 0],[1;0],[0 1],0);

模型在 1 弧度/秒处存在峰值。使用 gramOptions 指定该频率附近的区间。

opt = gramOptions('FreqIntervals',[0.8 1.2]);
gc = gram(sys,'c',opt)
gc = 2×2

    4.2132   -0.0000
   -0.0000    4.2433

输入参数

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输入模型，指定为状态空间模型或状态空间模型数组。

输入模型需稳定且无内部延迟。对于描述符形式的状态空间模型，矩阵 E 必须非奇异。

用于计算限时或限频 Gramian 的选项集，指定为 gramOptions 对象。

输出参量

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可控性或可观测性 Gramian，以矩阵形式返回。

可控性或可观测性 Gramian的 Cholesky 因子，以矩阵形式返回。

Gramian 的 Cholesky 因子定义如下：

  • 可控性 Gramian - Wc=RcTRc

  • 可观测性 Gramian - Wo=RoTRo

限制

矩阵 A 必须稳定（连续时间下所有特征值实部为负，离散时间下所有特征值幅值严格小于 1）。

详细信息

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算法

可控性 Gramian Wc 通过求解如下连续时间李雅普诺夫方程

AWc+WcAT+BBT=0

或其离散时间对应方程得到

AWcAT−Wc+BBT=0

同样，可观测性 Gramian Wo 在连续时间中求解以下李雅普诺夫方程

ATWo+WoA+CTC=0

在离散时间中求解以下李雅普诺夫方程

ATWoA−Wo+CTC=0

。

限时和限频 Gramian的计算方法详见[2]。

参考

[1] Kailath, Thomas. Linear Systems. Prentice-Hall Information and System Science Series. Englewood Cliffs, N.J: Prentice-Hall, 1980.

[2] Gawronski, Wodek, and Jer-Nan Juang. “Model Reduction in Limited Time and Frequency Intervals.” International Journal of Systems Science 21, no. 2 (February 1990): 349–76. https://doi.org/10.1080/00207729008910366.

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

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