投资组合优化理论
投资组合优化问题
投资组合优化问题包括识别满足以下三个条件的投资组合:
最小化风险代理。
匹配或超过收益代理。
满足基本的可行性要求。
投资组合是构成资产池的资产可行集中的点。投资组合指定了资产池内的每项单独资产的持仓量或权重。一般是按权重指定投资组合,但投资组合优化工具中也可以使用持仓量。
可行投资组合集必须是一个非空、封闭且有界的集合。风险代理是表征与投资组合选择相关联的可变性或损失的函数。收益代理是表征与投资组合选择相关联的总收益或净收益的函数。术语“风险”和“风险代理”以及“收益”和“收益代理”可以通用。马科维茨的基本观点(请参阅Portfolio Optimization)是,投资组合选择问题的目标是在给定的收益水平下寻求最小的风险,以及在给定的风险水平下寻求最大的收益。满足这些条件的投资组合就是有效的投资组合,这些投资组合的风险与收益图会形成一条曲线,称为有效边界。
投资组合问题设定
要设定投资组合优化问题,您需要满足以下条件:
投资组合收益代理 (μ)
投资组合风险代理 (σ)
可行投资组合的集合 (X),称为投资组合集
Financial Toolbox™ 用三个对象来解决特定类型的投资组合优化问题:
Portfolio
对象支持均值-方差投资组合优化(请参阅Portfolio Optimization中马科维茨的著作 [46]、[47])。此对象将投资组合总收益或净收益数据(作为收益代理),将投资组合收益的方差数据(作为风险代理),以及由指定约束的任意组合构成的投资组合集。PortfolioCVaR
对象实现所谓的条件风险值投资组合优化(请参阅Portfolio Optimization中 Rockafellar 和 Uryasev 的著作 [48]、[49]),它通常称为 CVaR 投资组合优化。CVaR 投资组合优化与均值-方差投资组合优化使用相同的收益代理和投资组合集,但它使用投资组合收益的条件风险值作为风险代理。PortfolioMAD
对象实现所谓的均值-绝对偏差投资组合优化(请参阅Portfolio Optimization中 Konno 和 Yamazaki 的著作 [50]),称为 MAD 投资组合优化。MAD 投资组合优化与均值-方差投资组合优化使用相同的收益代理和投资组合集,但它使用均值-绝对偏差投资组合收益作为风险代理。
收益代理
投资组合收益的代理是在投资组合集 的函数 ,该函数表征与投资组合选择相关的收益。通常,投资组合收益的代理有两种一般形式,即投资组合总收益和净收益。两种投资组合收益形式都分离了无风险利率 r0,因此投资组合 只包含风险资产。
对于包含 S 个资产收益 y1,...,yS 的一个集合,不管其底层的资产收益分布如何,其资产收益均值为
和(样本)资产收益的协方差
这些矩(或表征这些矩的替代估计量)可以直接用于均值-方差投资组合优化,以形成投资组合风险和收益的代理。
投资组合总收益
的投资组合总收益为
其中:
r0 是无风险利率(标量)。
m 是资产收益的均值(长度为 n 的向量)。
如果投资组合权重总和为 1
,则无风险利率不相关。Portfolio
对象中指定投资组合总收益的属性为:
RiskFreeRate
为 r0AssetMean
为 m
净投资组合收益
投资组合的净收益为
其中:
r0 是无风险利率(标量)。
m 是资产收益的均值(长度为 n 的向量)。
b 是购买资产的比例成本(长度为 n 的向量)。
s 是出售资产的比例成本(长度为 n 的向量)。
您也可以在此模型中加入固定交易成本。虽然在这种情况下,仍有必要将价格纳入此类成本。Portfolio
对象中指定投资组合净收益的属性为:
RiskFreeRate
为 r0AssetMean
为 mInitPort
为 x0BuyCost
为 bSellCost
为 s
风险代理
投资组合风险代理是投资组合集 上的函数 ,该函数表征与投资组合选择相关的风险。
方差
投资组合 的投资组合收益的方差为
,其中 C 是资产收益(n
×n
正半定矩阵)的协方差。协方差测量两种资产的收益关联式移动的程度。协方差为正表示两种资产的收益同向移动,协方差为负则表示两者反向移动。
Portfolio
对象中指定投资组合收益方差的属性为对应于 C 的 AssetCovar
。
虽然均值-方差投资组合优化中的风险代理是投资组合收益的方差,但通常会报告并显示平方根,即投资组合收益的标准差。此外,此数值通常称为投资组合的“风险”。有关详细信息,请参阅 Markowitz (Portfolio Optimization)。
条件风险值
投资组合 的条件风险值(也称为预期损失值)的定义为
,其中:
α 是概率水平,满足 0
< α < 1
。
f(x,y) 是投资组合 x 和资产收益 y 的损失函数。
p(y) 是资产收益 y 的概率密度函数。
VaRα 是投资组合 x 在概率水平 α 处的风险值。
风险值定义为
CVaR 的另一种形式是:
概率水平 α 的选择通常为 0.9 或 0.95。选择 α 意味着投资组合 x 的收益低于风险值 VaRα(x) 的概率为 (1
–α)。在给定投资组合 x 的 VaRα(x) 的情况下,投资组合的条件风险值是投资组合超出风险值收益的预期收益损失。
注意
风险值以正值表示损失,因此概率水平 α 表示投资组合收益低于负的风险值的概率。
为了描述收益率的概率分布,PortfolioCVaR
对象接受有限的收益情景样本 ys 作为输入,其中 s = 1
,...,S。每个 ys 都是一个长度为 n 的向量,包含情景 s 下 n 个资产中每个资产对应的收益。这一包含 S 个情景的样本存储为大小为 S×n 的情景矩阵。然后,对于给定的投资组合 和 ,CVaR 投资组合优化的风险代理的计算公式为
每当估计 CVaR 时,都会估计风险值 VaRα (x)。损失函数是 ,即情景 s 下的投资组合损失。
在此定义下,VaR 和 CVaR 是基于给定情景的 VaR 和 CVaR 的样本估计量。情景样本越好,产生的 VaR 和 CVaR 估计值越可靠。
有关详细信息,请参阅Portfolio Optimization中的 Rockafellar 和 Uryasev [48]、[49] 以及 Cornuejols 和 Tütüncü [51]。
均值绝对偏差
投资组合 的均值-绝对偏差 (MAD) 定义为
,其中:
ys 是情景 s = 1,...S 的资产收益(包含 S 个长度为 n 的向量的集合)。
f(x,y) 是投资组合 x 和资产收益 y 的损失函数。
m 是资产收益的均值(长度为 n 的向量)。
满足
有关详细信息,请参阅Portfolio Optimization中的 Konno 和 Yamazaki [50]。
另请参阅
Portfolio
| PortfolioCVaR
| PortfolioMAD