投资组合优化理论

投资组合优化问题

投资组合优化问题包括识别满足以下三个条件的投资组合：

最小化风险代理。
匹配或超过收益代理。
满足基本的可行性要求。

投资组合是构成资产池的资产可行集中的点。投资组合指定了资产池内的每项单独资产的持仓量或权重。一般是按权重指定投资组合，但投资组合优化工具中也可以使用持仓量。

可行投资组合集必须是一个非空、封闭且有界的集合。风险代理是表征与投资组合选择相关联的可变性或损失的函数。收益代理是表征与投资组合选择相关联的总收益或净收益的函数。术语“风险”和“风险代理”以及“收益”和“收益代理”可以通用。马科维茨的基本观点（请参阅Portfolio Optimization）是，投资组合选择问题的目标是在给定的收益水平下寻求最小的风险，以及在给定的风险水平下寻求最大的收益。满足这些条件的投资组合就是有效的投资组合，这些投资组合的风险与收益图会形成一条曲线，称为有效边界。

投资组合问题设定

要设定投资组合优化问题，您需要满足以下条件：

投资组合收益代理 (μ)
投资组合风险代理 (σ)
可行投资组合的集合 (X)，称为投资组合集

Financial Toolbox™ 用三个对象来解决特定类型的投资组合优化问题：

Portfolio 对象支持均值-方差投资组合优化（请参阅Portfolio Optimization中马科维茨的著作 [46]、[47]）。此对象将投资组合总收益或净收益数据（作为收益代理），将投资组合收益的方差数据（作为风险代理），以及由指定约束的任意组合构成的投资组合集。
PortfolioCVaR 对象实现所谓的条件风险值投资组合优化（请参阅Portfolio Optimization中 Rockafellar 和 Uryasev 的著作 [48]、[49]），它通常称为 CVaR 投资组合优化。CVaR 投资组合优化与均值-方差投资组合优化使用相同的收益代理和投资组合集，但它使用投资组合收益的条件风险值作为风险代理。
PortfolioMAD 对象实现所谓的均值-绝对偏差投资组合优化（请参阅Portfolio Optimization中 Konno 和 Yamazaki 的著作 [50]），称为 MAD 投资组合优化。MAD 投资组合优化与均值-方差投资组合优化使用相同的收益代理和投资组合集，但它使用均值-绝对偏差投资组合收益作为风险代理。

收益代理

投资组合收益的代理是在投资组合集 $X \subset R^{n}$ 的函数 $μ : X \to R$ ，该函数表征与投资组合选择相关的收益。通常，投资组合收益的代理有两种一般形式，即投资组合总收益和净收益。两种投资组合收益形式都分离了无风险利率 r₀，因此投资组合 $x \in X$ 只包含风险资产。

对于包含 S 个资产收益 y₁,...,y_S 的一个集合，不管其底层的资产收益分布如何，其资产收益均值为

$m = \frac{1}{S} \sum_{s = 1}^{S} y_{s},$

和（样本）资产收益的协方差

$C = \frac{1}{S - 1} \sum_{s = 1}^{S} (y_{s} - m) {(y_{s} - m)}^{T} .$

这些矩（或表征这些矩的替代估计量）可以直接用于均值-方差投资组合优化，以形成投资组合风险和收益的代理。

投资组合总收益

$x \in X$ 的投资组合总收益为

$μ (x) = r_{0} + {(m - r_{0} 1)}^{T} x,$

其中：

r₀ 是无风险利率（标量）。

m 是资产收益的均值（长度为 n 的向量）。

如果投资组合权重总和为 1，则无风险利率不相关。Portfolio 对象中指定投资组合总收益的属性为：

RiskFreeRate 为 r₀
AssetMean 为 m

净投资组合收益

$x \in X$ 投资组合的净收益为

$μ (x) = r_{0} + {(m - r_{0} 1)}^{T} x - b^{T} \max {0, x - x_{0}} - s^{T} \max {0, x_{0} - x},$

其中：

r₀ 是无风险利率（标量）。

m 是资产收益的均值（长度为 n 的向量）。

b 是购买资产的比例成本（长度为 n 的向量）。

s 是出售资产的比例成本（长度为 n 的向量）。

您也可以在此模型中加入固定交易成本。虽然在这种情况下，仍有必要将价格纳入此类成本。Portfolio 对象中指定投资组合净收益的属性为：

RiskFreeRate 为 r₀
AssetMean 为 m
InitPort 为 x₀
BuyCost 为 b
SellCost 为 s

风险代理

投资组合风险代理是投资组合集 $X \subset R^{n}$ 上的函数 $σ : X \to R$ ，该函数表征与投资组合选择相关的风险。

方差

投资组合 $x \in X$ 的投资组合收益的方差为

$V a r i a n c e (x) = x^{T} C x$

，其中 C 是资产收益（n×n 正半定矩阵）的协方差。协方差测量两种资产的收益关联式移动的程度。协方差为正表示两种资产的收益同向移动，协方差为负则表示两者反向移动。

Portfolio 对象中指定投资组合收益方差的属性为对应于 C 的 AssetCovar。

虽然均值-方差投资组合优化中的风险代理是投资组合收益的方差，但通常会报告并显示平方根，即投资组合收益的标准差。此外，此数值通常称为投资组合的“风险”。有关详细信息，请参阅 Markowitz (Portfolio Optimization)。

条件风险值

投资组合 $x \in X$ 的条件风险值（也称为预期损失值）的定义为

$C V a R_{α} (x) = \frac{1}{1 - α} \int_{f (x, y) \geq V a R_{α} (x)} f (x, y) p (y) d y,$

，其中：

α 是概率水平，满足 0 < α < 1。

f(x,y) 是投资组合 x 和资产收益 y 的损失函数。

p(y) 是资产收益 y 的概率密度函数。

VaR_α 是投资组合 x 在概率水平 α 处的风险值。

风险值定义为

$V a R_{α} (x) = \min {γ : \Pr [f (x, Y) \leq γ] \geq α} .$

CVaR 的另一种形式是：

$C V a R_{α} (x) = V a R_{α} (x) + \frac{1}{1 - α} \int_{R^{n}} \max {0, (f (x, y) - V a R_{α} (x))} p (y) d y$

概率水平 α 的选择通常为 0.9 或 0.95。选择 α 意味着投资组合 x 的收益低于风险值 VaR_α(x) 的概率为 (1 –α)。在给定投资组合 x 的 VaR_α(x) 的情况下，投资组合的条件风险值是投资组合超出风险值收益的预期收益损失。

注意

风险值以正值表示损失，因此概率水平 α 表示投资组合收益低于负的风险值的概率。

为了描述收益率的概率分布，PortfolioCVaR 对象接受有限的收益情景样本 y_s 作为输入，其中 s = 1,...,S。每个 y_s 都是一个长度为 n 的向量，包含情景 s 下 n 个资产中每个资产对应的收益。这一包含 S 个情景的样本存储为大小为 S×n 的情景矩阵。然后，对于给定的投资组合 $x \in X$ 和 $α \in (0, 1)$ ，CVaR 投资组合优化的风险代理的计算公式为

$C V a R_{α} (x) = V a R_{α} (x) + \frac{1}{(1 - α) S} \sum_{s = 1}^{S} \max {0, - y_{s}^{T} x - V a R_{α} (x)}$

每当估计 CVaR 时，都会估计风险值 VaR_α (x)。损失函数是 $f (x, y_{s}) = - y_{s}^{T} x$ ，即情景 s 下的投资组合损失。

在此定义下，VaR 和 CVaR 是基于给定情景的 VaR 和 CVaR 的样本估计量。情景样本越好，产生的 VaR 和 CVaR 估计值越可靠。

有关详细信息，请参阅Portfolio Optimization中的 Rockafellar 和 Uryasev [48]、[49] 以及 Cornuejols 和 Tütüncü [51]。

均值绝对偏差

投资组合 $x \in X$ 的均值-绝对偏差 (MAD) 定义为

$M A D (x) = \frac{1}{S} \sum_{s = 1}^{S} | {(y_{s} - m)}^{T} x |$

，其中：

y_s 是情景 s = 1,...S 的资产收益（包含 S 个长度为 n 的向量的集合）。

f(x,y) 是投资组合 x 和资产收益 y 的损失函数。

m 是资产收益的均值（长度为 n 的向量）。

满足

$m = \frac{1}{S} \sum_{s = 1}^{S} y_{s}$

有关详细信息，请参阅Portfolio Optimization中的 Konno 和 Yamazaki [50]。

另请参阅

Portfolio | PortfolioCVaR | PortfolioMAD