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傅里叶变换

傅里叶变换是一个数学公式,用于将按时间或空间采样的信号变换为按时序或空间频率采样的相同信号。在信号处理中,傅里叶变换可以揭示信号的重要特征(即其频率分量)。

对于包含 n 个均匀采样点的向量 x,其傅里叶变换定义为

yk+1=j=0n-1ωjkxj+1.

ω=e-2πi/nn 个复单位根之一,其中 i 是虚数单位。对于 xy,索引 jk 的范围为 0n-1

MATLAB® 中的 fft 函数使用快速傅里叶变换算法来计算数据的傅里叶变换。以正弦信号 x 为例,该信号是时间 t 的函数,频率分量为 15 Hz 和 20 Hz。使用在 10 秒周期内以 1/50 秒为增量进行采样的时间向量。

Ts = 1/50;
t = 0:Ts:10-Ts;
x = sin(2*pi*15*t) + sin(2*pi*20*t);
plot(t,x)
xlabel('Time (seconds)')
ylabel('Amplitude')

计算信号的傅里叶变换,并在频率空间创建对应于信号采样的向量 f

y = fft(x);
fs = 1/Ts;
f = (0:length(y)-1)*fs/length(y);

将变换信号的幅值绘制为频率函数。

plot(f,abs(y))
xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('Magnitude')
title('Magnitude')

绘图显示四个频率峰值,尽管预计信号在 15 Hz 和 20 Hz 处有两个频率峰值。此处,绘图的后半部分是前半部分的镜像。时域信号的离散傅里叶变换具有周期性,其频谱的前半部分为正频率,后半部分为负频率。绘图中的 30 Hz 和 35 Hz 频率分量对应于 -20Hz 和 -15Hz 频率分量。为了更好地以可视化方式呈现周期性,您可以使用 fftshift 函数对变换执行以零为中心的循环平移。

n = length(x);
fshift = (-n/2:n/2-1)*(fs/n);
yshift = fftshift(y);
plot(fshift,abs(yshift))
xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('Magnitude')

含噪信号

在科学应用中,信号经常遭到随机噪声破坏,掩盖其频率分量。傅里叶变换可以清除随机噪声并显现频率。例如,通过在原始信号 x 中注入高斯噪声,创建一个新信号 xnoise

rng('default')
xnoise = x + 2.5*randn(size(t));

频率函数形式的信号功率是信号处理中的一种常用度量。功率是信号的傅里叶变换按频率样本数进行归一化后的平方幅值。计算并绘制以零频率为中心的含噪信号的功率谱。尽管存在噪声,您仍可以根据功率中的尖峰辨识出信号的频率。

ynoise = fft(xnoise);
ynoiseshift = fftshift(ynoise);
power = abs(ynoiseshift).^2/n; 
plot(fshift,power)
title('Power')
xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('Power')

计算效率

直接使用傅里叶变换公式分别计算 yn 个元素需要 n2 数量级的浮点运算。使用快速傅里叶变换算法,则只需要 n log n 数量级的运算。在处理包含成百上千万个数据点的数据时,这一计算效率会带来很大的优势。在 n 具有较小的质因数(例如 n 为 2 的幂)时,许多专门的快速傅里叶变换算法实现可进一步提高效率。

以加利福尼亚海岸的水下麦克风所收集的音频数据为例。在康奈尔大学生物声学研究项目维护的库中可以找到这些数据。载入包含太平洋蓝鲸鸣声的文件 bluewhale.au,并对其中一部分数据进行格式化。由于蓝鲸的叫声是低频声音,人类几乎听不到。数据中的时间标度压缩了 10 倍,以便提高音调并使叫声更清晰可闻。可使用命令 sound(x,fs) 来收听完整的音频文件。

whaleFile = 'bluewhale.au';
[x,fs] = audioread(whaleFile);
whaleMoan = x(2.45e4:3.10e4);
t = 10*(0:1/fs:(length(whaleMoan)-1)/fs);

plot(t,whaleMoan)
xlabel('Time (seconds)')
ylabel('Amplitude')
xlim([0 t(end)])

指定新的信号长度,该长度是大于原始长度的最邻近的 2 的幂。然后使用 fft 和新的信号长度计算傅里叶变换。fft 会自动用零填充数据,以增加样本大小。此填充操作可以大幅提高变换计算的速度,对于具有较大质因数的样本大小更是如此。

m = length(whaleMoan);
n = pow2(nextpow2(m));
y = fft(whaleMoan,n);

绘制信号的功率谱。绘图指示,呻吟音包含约 17 Hz 的基本频率和一系列谐波(其中强调了第二个谐波)。

f = (0:n-1)*(fs/n)/10; % frequency vector
power = abs(y).^2/n;   % power spectrum
plot(f(1:floor(n/2)),power(1:floor(n/2)))
xlabel('Frequency (Hz)')
ylabel('Power')

正弦波的相位

使用傅里叶变换,您还可以提取原始信号的相位频谱。例如,创建一个由频率为 15 Hz 和 40 Hz 的两个正弦波组成的信号。第一个正弦波是相位为 -π/4 的余弦波,第二个是相位为 π/2 的余弦波。以 100 Hz 的频率对信号采样 1 秒。

fs = 100;
t = 0:1/fs:1-1/fs;
x = cos(2*pi*15*t - pi/4) - sin(2*pi*40*t);

计算信号的傅里叶变换。将变换幅值绘制为频率函数。

y = fft(x);
z = fftshift(y);

ly = length(y);
f = (-ly/2:ly/2-1)/ly*fs;

stem(f,abs(z))
xlabel("Frequency (Hz)")
ylabel("|y|")
grid

计算变换的相位,删除小幅值变换值。将相位绘制为频率的函数。

tol = 1e-6;
z(abs(z) < tol) = 0;

theta = angle(z);

stem(f,theta/pi)
xlabel("Frequency (Hz)")
ylabel("Phase / \pi")
grid

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