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中立型的初始值 DDE

以下示例说明如何使用 ddensd 求解具有时间相关时滞的初始值 DDE(时滞微分方程)方程组。此示例最初由 Jackiewicz [1] 提出。

方程是:

y(t)=2cos(2t)y(t2)2cos(t)+log(y(t2))-log(2cos(t))-sin(t).

此方程是初始 DDE,因为在 t0 处时滞为零。因此,不需要历史解来计算解,只需要初始值:

y(0)=1,

y(0)=s.

s2+log(s)-log(2)=0 的解。满足此方程的 s 的值是 s1=2s2=0.4063757399599599

由于方程中的时滞存在于 y 项中,因此该方程称为中立型 DDE

要在 MATLAB 中求解此方程,您需要先编写方程和时滞的代码,然后调用时滞微分方程求解器 ddensd,后者是中立型方程的求解器。您可以将所需的函数作为局部函数包含在文件末尾(如本处所示),或者将它们作为单独的文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

编写时滞代码

首先,编写一个匿名函数来定义方程中的迟滞。由于 yy 都有 t2 形式的迟滞,因此只需要一个函数定义。此时滞函数后来传递给求解器两次,一次表示 y 的时滞,一次表示 y 的时滞。

delay = @(t,y) t/2; 

编写方程代码

现在,创建一个函数来编写方程代码。此函数应具有签名 yp = ddefun(t,y,ydel,ypdel),其中:

  • t 是时间(自变量)。

  • y 是解(因变量)。

  • ydel 包含 y 的时滞。

  • ypdel 包含 y=dydt 的时滞。

求解器会自动将这些输入传递给该函数,但是变量名称决定如何编写方程代码。在这种情况下:

  • ydely(t2)

  • ypdel y(t2)

function yp = ddefun(t,y,ydel,ypdel) 
   yp = 2*cos(2*t)*ydel^(2*cos(t)) + log(ypdel) - log(2*cos(t)) - sin(t);
end

注意:所有函数都作为局部函数包含在示例的末尾。

求解方程

最后,定义积分区间 [t0 tf] 和初始值,然后使用 ddensd 求解器求解 DDE。通过在第四个输入参数的元胞数组中指定初始值,将初始值传递给求解器。

tspan = [0 0.1];
y0 = 1;
s1 = 2;
sol1 = ddensd(@ddefun, delay, delay, {y0,s1}, tspan);

第二次求解方程,这次使用 s 的备选值作为初始条件。

s2 = 0.4063757399599599;
sol2 = ddensd(@ddefun, delay, delay, {y0,s2}, tspan);

对解进行绘图

解结构体 sol1sol2 具有字段 xy,这些字段包含求解器在这些时间点所用的内部时间步和对应的解。但是,您可以使用 deval 计算在特定点的解。

绘制两个解以比较结果。

plot(sol1.x,sol1.y,sol2.x,sol2.y);
legend('y''(0) = 2','y''(0) = .40637..','Location','NorthWest');
xlabel('Time t');
ylabel('Solution y');
title('Two Solutions of Jackiewicz''s Initial-Value NDDE');

Figure contains an axes. The axes with title Two Solutions of Jackiewicz's Initial-Value NDDE contains 2 objects of type line. These objects represent y'(0) = 2, y'(0) = .40637...

局部函数

此处列出了 DDE 求解器 ddensd 为计算解而调用的局部辅助函数。您也可以将这些函数作为它们自己的文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

function yp = ddefun(t,y,ydel,ypdel) 
   yp = 2*cos(2*t)*ydel^(2*cos(t)) + log(ypdel) - log(2*cos(t)) - sin(t);
end

参考

[1] Jackiewicz, Z.“One step Methods of any Order for Neutral Functional Differential Equations.”SIAM Journal on Numerical Analysis.Vol. 21, Number 3. 1984. pp. 486–511.

另请参阅

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