Main Content

本页的翻译已过时。点击此处可查看最新英文版本。

解算微分代数方程 (DAE)

什么是微分代数方程?

微分代数方程是一类微分方程,其中一个或多个因变量导数未出现在方程中。方程中出现的未包含其导数的变量称为代数变量,代数变量的存在意味着您不能将这些方程记为显式形式 y'=f(t,y)。相反,您可以解算下列形式的 DAE:

  • ode15sode23t 求解器可以使用奇异质量矩阵 M(t,y)y'=f(t,y) 来解算微分指数为 1 的线性隐式问题,包括以下形式的半显式 DAE

    y'=f(t,y,z)0=g(t,y,z).

    在此形式中,由于主对角线存在一个或多个零值,因此代数变量的存在会产生奇异质量矩阵。

    My'=(y'1000y'2000000).

    默认情况下,求解器会自动检验质量矩阵的奇异性,以检测 DAE 方程组。如果您提前知道奇异性,则可将 odesetMassSingular 选项设为 'yes'。对于 DAE,您还可以使用 odesetInitialSlope 属性为求解器提供 y'0 的初始条件估计值。除此之外,还可在调用求解器时指定 y0 的常用初始条件。

  • ode15i 求解器可解算更通用的完全隐式形式的 DAE

    f(t,y,y')=0.

    在完全隐式形式下,代数变量的存在会产生奇异 Jacobian 矩阵。这是因为,由于至少有一个变量的导数没有出现在方程中,因此矩阵中的对应列必定全部为零值。

    J=f/y'=(f1y'1f1y'nfmy'1fmy'n)

    ode15i 求解器要求您同时为 y'0y0 指定初始条件。此外,与其他 ODE 求解器不同,ode15i 要求为方程编码的函数能够接受额外输入:odefun(t,y,yp)

DAE 会产生各种方程组,因为物理守恒定律通常具有类似 x+y+z=0 这样的形式。如果已在方程中显式定义 xx'yy',则此守恒方程无需 z' 表达式便足以解算 z

一致的初始条件

在解算 DAE 时,可以同时为 y'0y0 指定初始条件。ode15i 求解器要求同时将这两个初始条件指定为输入参数。对于 ode15sode23t 求解器,y'0 的初始条件是可选的(但可使用 odesetInitialSlope 选项指定)。这两种情况下,您所指定的初始条件可能与正在尝试解算的方程不相符。彼此冲突的初始条件称为不一致。初始条件的处理因求解器而异:

  • ode15sode23t - 如果您没有为 y'0 指定初始值,则求解器会自动基于您为 y0 提供的初始条件计算一致的初始条件。如果您为 y'0 指定了不一致的初始条件,则求解器会将这些值作为估计值进行处理,尝试计算接近估计值的一致值,并继续解算该问题。

  • ode15i - 您为求解器提供的初始条件必须一致,并且 ode15i 不会检查所提供的值的一致性。辅助函数 decic 可计算满足这一要求的一致初始条件。

微分指数

DAE 的特征是其作为奇异性度量的微分指数。通过对方程进行微分,可以消除代数变量,并且如果执行此操作的次数足够多,这些方程将呈现为显式 ODE 方程组。DAE 方程组的微分指数是为了将方程组表示为等效的显式 ODE 方程组必须执行的求导次数。因此,ODE 的微分指数为 0。

微分指数为 1 的 DAE 示例如下

y(t)=k(t).

对于此方程,只需执行一次求导便可获得显式 ODE 形式

y'=k'(t).

微分指数为 2 的 DAE 示例如下

y'1=y20=k(t)y1.

这些方程要求进行两次求导才能重写为显式 ODE 形式

y'1=k'(t)y'2=k''(t).

ode15sode23t 求解器仅可解算微分指数为 1 的 DAE。如果您的方程微分指数为 2 或更高,则需要将方程重写为微分指数为 1 的等效 DAE 方程组。您可随时对 DAE 方程组求导并将其重写为微分指数为 1 的等效 DAE 方程组。请注意,如果您将代数方程替换为其导数,则可能已删除某些约束。如果这些方程不再包含原始约束,则数值解可能发生漂移。

如果您有 Symbolic Math Toolbox™,则请参阅Solve Differential Algebraic Equations (DAEs) (Symbolic Math Toolbox) 以获取详细信息。

施加非负性

odeset 的大多数选项与 DAE 求解器 ode15sode23tode15i 一起使用时能按预期工作。然而,一个明显的例外是使用 NonNegative 选项。NonNegative 选项不支持应用于具有质量矩阵的问题的隐式求解器(ode15sode23tode23tb)。因此,您不能使用此选项对 DAE 问题施加非负性约束,DAE 问题一定有奇异质量矩阵。有关详细信息,请参阅 [1]

将 Robertson 问题作为半隐式微分代数方程 (DAE) 求解

此示例将 ODE 方程组重新表示为微分代数方程组 (DAE)。hb1ode.m 中的 Robertson 问题是刚性 ODE 解算程序的经典测试问题。方程组为:

$$\begin{array}{cl} y'_1 &= -0.04y_1 + 10^4 y_2y_3\\ y'_2 &= 0.04y_1 -
10^4 y_2y_3- (3 \times 10^7)y_2^2\\ y'_3 &= (3 \times
10^7)y_2^2.\end{array}$$

hb1ode 将此 ODE 方程组解算为稳定状态,初始条件为 $y_1 = 1$$y_2 = 0$$y_3 = 0$。但这些方程也满足线性守恒定律,

$$y'_1 + y'_2 + y'_3 = 0.$$

在解和初始条件方面,守恒定律为

$$y_1 + y_2 + y_3 = 1.$$

通过使用守恒定律确定 $y_3$ 的状态,该方程组可以重写为 DAE 方程组。这会将问题重新表示为 DAE 方程组

$$\begin{array}{cl} y'_1 &= -0.04y_1 + 10^4 y_2y_3\\ y'_2 &= 0.04y_1 -
10^4 y_2y_3-(3 \times 10^7)y_2^2\\ 0 &= y_1 + y_2 + y_3 - 1.\end{array}$$

此方程组的微分指数为 1,因为只需 $y_3$ 的一个导数就能使其成为 ODE 方程组。因此,在解算该方程组之前,不需要进行更多变换。

函数 robertsdae 为此 DAE 方程组编码。将 robertsdae.m 保存在您的当前文件夹中,以运行该示例。

function out = robertsdae(t,y)
out = [-0.04*y(1) + 1e4*y(2).*y(3)
   0.04*y(1) - 1e4*y(2).*y(3) - 3e7*y(2).^2
   y(1) + y(2) + y(3) - 1 ];

hb1dae.m 中提供了用这种方法表示 Robertson 问题的完整示例代码。

使用 ode15s 解算 DAE 方程组。根据守恒定律,显然需要一致的 y0 初始条件。使用 odeset 设置选项:

  • 使用常量质量矩阵表示方程组的左侧。

$$\left( \begin{array}{c} y'_1\\ y'_2\\ 0 \end{array} \right) = M y'
\rightarrow M = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 &
0 \end{array} \right)$$

  • 将相对误差容限设为 1e-4

  • 使用 1e-10 的绝对误差作为第二个解分量,因为标度范围与其他分量相差很大。

  • 'MassSingular' 选项保留其默认值 'maybe',以测试 DAE 的自动检测。

y0 = [1; 0; 0];
tspan = [0 4*logspace(-6,6)];
M = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 0];
options = odeset('Mass',M,'RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-6 1e-10 1e-6]);
[t,y] = ode15s(@robertsdae,tspan,y0,options);

对解绘图。

y(:,2) = 1e4*y(:,2);
semilogx(t,y);
ylabel('1e4 * y(:,2)');
title('Robertson DAE problem with a Conservation Law, solved by ODE15S');

参考

[1] Shampine, L.F., S. Thompson, J.A. Kierzenka, and G.D. Byrne. "Non-negative solutions of ODEs." Applied Mathematics and Computation. Vol. 170, 2005, pp. 556-569.

另请参阅

| | |

相关主题

外部网站