解算微分代数方程 (DAE)
什么是微分代数方程?
微分代数方程是一类微分方程,其中一个或多个因变量导数未出现在方程中。方程中出现的未包含其导数的变量称为代数变量,代数变量的存在意味着您不能将这些方程记为显式形式 。相反,您可以解算下列形式的 DAE:
ode15s
和ode23t
求解器可以使用奇异质量矩阵 来解算微分指数为 1 的线性隐式问题,包括以下形式的半显式 DAE在此形式中,由于主对角线存在一个或多个零值,因此代数变量的存在会产生奇异质量矩阵。
默认情况下,求解器会自动检验质量矩阵的奇异性,以检测 DAE 方程组。如果您提前知道奇异性,则可将
odeset
的MassSingular
选项设为'yes'
。对于 DAE,您还可以使用odeset
的InitialSlope
属性为求解器提供 的初始条件估计值。除此之外,还可在调用求解器时指定 的常用初始条件。ode15i
求解器可解算更通用的完全隐式形式的 DAE在完全隐式形式下,代数变量的存在会产生奇异雅可比矩阵。这是因为,由于至少有一个变量的导数没有出现在方程中,因此矩阵中的对应列必定全部为零值。
ode15i
求解器要求您同时为 和 指定初始条件。此外,与其他 ODE 求解器不同,ode15i
要求为方程编码的函数能够接受额外输入:odefun(t,y,yp)
。
DAE 会产生各种方程组,因为物理守恒定律通常具有类似 这样的形式。如果已在方程中显式定义 x
、x'
、y
和 y'
,则此守恒方程无需 z'
表达式便足以解算 z
。
一致的初始条件
在解算 DAE 时,可以同时为 和 指定初始条件。ode15i
求解器要求同时将这两个初始条件指定为输入参数。对于 ode15s
和 ode23t
求解器, 的初始条件是可选的(但可使用 odeset
的 InitialSlope
选项指定)。这两种情况下,您所指定的初始条件可能与正在尝试解算的方程不相符。彼此冲突的初始条件称为不一致。初始条件的处理因求解器而异:
ode15s
和ode23t
- 如果您没有为 指定初始值,则求解器会自动基于您为 提供的初始条件计算一致的初始条件。如果您为 指定了不一致的初始条件,则求解器会将这些值作为估计值进行处理,尝试计算接近估计值的一致值,并继续解算该问题。ode15i
- 您为求解器提供的初始条件必须一致,并且ode15i
不会检查所提供的值的一致性。辅助函数decic
可计算满足这一要求的一致初始条件。
微分指数
DAE 的特征是其作为奇异性度量的微分指数。通过对方程进行微分,可以消除代数变量,并且如果执行此操作的次数足够多,这些方程将呈现为显式 ODE 方程组。DAE 方程组的微分指数是为了将方程组表示为等效的显式 ODE 方程组必须执行的求导次数。因此,ODE 的微分指数为 0。
微分指数为 1 的 DAE 示例如下
对于此方程,只需执行一次求导便可获得显式 ODE 形式
微分指数为 2 的 DAE 示例如下
这些方程要求进行两次求导才能重写为显式 ODE 形式
ode15s
和 ode23t
求解器仅可解算微分指数为 1 的 DAE。如果您的方程微分指数为 2 或更高,则需要将方程重写为微分指数为 1 的等效 DAE 方程组。您可随时对 DAE 方程组求导并将其重写为微分指数为 1 的等效 DAE 方程组。请注意,如果您将代数方程替换为其导数,则可能已删除某些约束。如果这些方程不再包含原始约束,则数值解可能发生漂移。
如果您有 Symbolic Math Toolbox™,则请参阅Solve Differential Algebraic Equations (DAEs) (Symbolic Math Toolbox) 以获取详细信息。
施加非负性
odeset
的大多数选项与 DAE 求解器 ode15s
、ode23t
和 ode15i
一起使用时能按预期工作。然而,一个明显的例外是使用 NonNegative
选项。NonNegative
选项不支持应用于具有质量矩阵的问题的隐式求解器(ode15s
、ode23t
、ode23tb
)。因此,您不能使用此选项对 DAE 问题施加非负性约束,DAE 问题一定有奇异质量矩阵。有关详细信息,请参阅[1]。
将 Robertson 问题作为半显式微分代数方程 (DAE) 求解
此示例将 ODE 方程组重新表示为微分代数方程组 (DAE)。hb1ode.m 中的 Robertson 问题是刚性 ODE 解算程序的经典测试问题。方程组为:
hb1ode
将此 ODE 方程组解算为稳定状态,初始条件为 、
和
。但这些方程也满足线性守恒定律,
在解和初始条件方面,守恒定律为
通过使用守恒定律确定 的状态,该方程组可以重写为 DAE 方程组。这会将问题重新表示为 DAE 方程组
此方程组的微分指数为 1,因为只需 的一个导数就能使其成为 ODE 方程组。因此,在解算该方程组之前,不需要进行更多变换。
函数 robertsdae
为此 DAE 方程组编码。将 robertsdae.m
保存在您的当前文件夹中,以运行该示例。
function out = robertsdae(t,y)
out = [-0.04*y(1) + 1e4*y(2).*y(3)
0.04*y(1) - 1e4*y(2).*y(3) - 3e7*y(2).^2
y(1) + y(2) + y(3) - 1 ];
hb1dae.m 中提供了用这种方法表示 Robertson 问题的完整示例代码。
使用 ode15s
解算 DAE 方程组。根据守恒定律,显然需要一致的 y0
初始条件。使用 odeset
设置选项:
使用常量质量矩阵表示方程组的左侧。
将相对误差容限设为
1e-4
。使用
1e-10
的绝对误差作为第二个解分量,因为标度范围与其他分量相差很大。将
'MassSingular'
选项保留其默认值'maybe'
,以测试 DAE 的自动检测。
y0 = [1; 0; 0]; tspan = [0 4*logspace(-6,6)]; M = [1 0 0; 0 1 0; 0 0 0]; options = odeset('Mass',M,'RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-6 1e-10 1e-6]); [t,y] = ode15s(@robertsdae,tspan,y0,options);
对解绘图。
y(:,2) = 1e4*y(:,2); semilogx(t,y); ylabel('1e4 * y(:,2)'); title('Robertson DAE problem with a Conservation Law, solved by ODE15S');
参考
[1] Shampine, L.F., S. Thompson, J.A. Kierzenka, and G.D. Byrne. “Non-Negative Solutions of ODEs.” Applied Mathematics and Computation 170, no. 1 (November 2005): 556–569. https://doi.org/10.1016/j.amc.2004.12.011.
另请参阅
ode15s
| ode23t
| ode15i
| odeset
相关主题
- 选择 ODE 求解器
- ODE 选项摘要
- Equation Solving (Symbolic Math Toolbox)