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balance

对角线缩放以提高特征值准确性

语法

[T,B] = balance(A)
[S,P,B] = balance(A)
B = balance(A)
B = balance(A,'noperm')

说明

[T,B] = balance(A) 返回相似变换矩阵 T 以使 B = T\A*TB 具有尽可能接近的、近似相等的行列范数。T 是对角矩阵的置换矩阵,其元素是 2 的整数次幂,可防止引入舍入误差。如果 A 是对称的,则 B == AT 是单位矩阵。

[S,P,B] = balance(A) 单独返回缩放向量 S 和置换向量 P。变换矩阵 T 和平衡矩阵 B 是使用 T(:,P) = diag(S)B(P,P) = diag(1./S)*A*diag(S)ASP 求得的。

B = balance(A) 仅返回平衡矩阵 B

B = balance(A,'noperm') 缩放 A,而不会置换其行和列。

示例

此示例说明基本思路。矩阵 A 右上角的元素较大,左下角的元素较小。该矩阵非常不对称。

A = [1  100  10000; .01  1  100; .0001  .01  1]
A =
   1.0e+04 *
    0.0001    0.0100    1.0000
    0.0000    0.0001    0.0100
    0.0000    0.0000    0.0001

平衡处理会生成一个对角矩阵 T(包含是 2 的幂的元素)和一个平衡矩阵 B(比 A 更对称)。

[T,B] = balance(A)
T =
   1.0e+03 *
    2.0480         0         0
         0    0.0320         0
         0         0    0.0003
B =
    1.0000    1.5625    1.2207
    0.6400    1.0000    0.7813
    0.8192    1.2800    1.0000

要查看特征向量的作用,请先计算 A 的特征向量,如此处的 V 的列所示。

[V,E] = eig(A); V
V =
0.9999        -0.9999            -0.9999          
0.0100         0.0059 + 0.0085i   0.0059 - 0.0085i
0.0001         0.0000 - 0.0001i   0.0000 + 0.0001i

请注意,所有三个向量的第一个分量都是最大的。这说明 V 的条件不当;实际上 cond(V)8.7766e+003。然后,查看 B 的特征向量。

[V,E] = eig(B); V
V =
0.6933        -0.6993            -0.6993          
0.4437         0.2619 + 0.3825i   0.2619 - 0.3825i
0.5679         0.2376 - 0.4896i   0.2376 + 0.4896i

现在,特征向量将正常运行,并且 cond(V)1.4421。条件不当数在缩放矩阵中进行了压缩;cond(T)8192

本示例较小且并未进行大幅缩放,因此,计算的 AB 的特征值在舍入误差界限内一致;平衡几乎不会对计算结果产生任何影响。

局限性

平衡可能会破坏某些矩阵的属性;请谨慎使用。如果矩阵含有由于舍入误差产生的小元素,平衡可能对其放大,使其与原矩阵中的其他元素一样有效。

提示

  • 非对称矩阵可包含条件不当的特征值。矩阵中的细微扰动(例如,舍入误差)可导致特征值发生巨大扰动。特征向量矩阵的条件数,

    cond(V) = norm(V)*norm(inv(V))

    其中

    [V,T] = eig(A)

    将矩阵扰动大小与特征值扰动大小相关联。请注意,A 自身的条件数与特征值问题不相关。

    平衡是尝试将任何条件设置错误的特征向量矩阵集中到对角线缩放。平衡处理通常无法将非对称矩阵转换为对称矩阵;它仅尝试使各行的范数等于相应列的范数。

    注意

    MATLAB® 特征值函数 eig(A) 在计算特征值之前自动平衡 A。使用 eig(A,'nobalance') 关闭平衡。

另请参阅

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