eig

[V,D] = eig(A) 返回特征值的对角矩阵 D 和矩阵 V，其列是对应的右特征向量，使得 A*V = V*D。

[V,D,W] = eig(A) 还返回满矩阵 W，其列是对应的左特征向量，使得 W'*A = D*W'。

特征值问题是用来确定方程 Av = λv 的解，其中，A 是 n×n 矩阵，v 是长度 n 的列向量，λ 是标量。满足方程的 λ 的值即特征值。满足方程的 v 的对应值即右特征向量。左特征向量 w 满足方程 w’A = λw’。

e = eig(A,B) 返回一个列向量，其中包含方阵 A 和 B 的广义特征值。

[V,D] = eig(A,B) 返回广义特征值的对角矩阵 D 和满矩阵 V，其列是对应的右特征向量，使得 A*V = B*V*D。

[V,D,W] = eig(A,B) 还返回满矩阵 W，其列是对应的左特征向量，使得 W'*A = D*W'*B。

广义特征值问题是用来确定方程 Av = λBv 的解，其中，A 和 B 是 n×n 矩阵，v 是长度 n 的列向量，λ 是标量。满足方程的 λ 的值即广义特征值。对应的 v 的值即广义右特征向量。左特征向量 w 满足方程 w’A = λw’B。

[___] = eig(A,balanceOption)（其中，balanceOption 为 "nobalance"）禁用该算法中的初始均衡步骤。balanceOption 的默认值是 "balance"，表示启用均衡步骤。eig 函数可返回上述语法中的任何输出参量。

[___] = eig(A,B,algorithm)（其中，algorithm 为 "chol"）使用 B 的乔列斯基分解计算广义特征值。algorithm 的默认值取决于 A 和 B 的属性，但当 A 或 B 不对称时，它是 "qz"，表示使用 QZ 算法。

[___] = eig(___,outputForm) 支持上述语法中的任何输入或输出参量，并以 outputForm 指定的形式返回特征值。将 outputForm 指定为 "vector" 可返回列向量中的特征值，指定为 "matrix" 可返回对角矩阵中的特征值。

矩阵特征值

使用 gallery 创建一个对称正定矩阵。

A = gallery("lehmer",4)

A = 4×4

    1.0000    0.5000    0.3333    0.2500
    0.5000    1.0000    0.6667    0.5000
    0.3333    0.6667    1.0000    0.7500
    0.2500    0.5000    0.7500    1.0000

计算 A 的特征值。结果为一个列向量。

e = eig(A)

或者，使用 outputForm 返回对角矩阵中的特征值。

D = eig(A,"matrix")

D = 4×4

    0.2078         0         0         0
         0    0.4078         0         0
         0         0    0.8482         0
         0         0         0    2.5362

矩阵的特征值和特征向量

使用 gallery 创建循环矩阵。

A = gallery("circul",3)

A = 3×3

     1     2     3
     3     1     2
     2     3     1

计算 A 的特征值和右特征向量。

[V,D] = eig(A)

V = 3×3 complex

  -0.5774 + 0.0000i   0.2887 - 0.5000i   0.2887 + 0.5000i
  -0.5774 + 0.0000i  -0.5774 + 0.0000i  -0.5774 + 0.0000i
  -0.5774 + 0.0000i   0.2887 + 0.5000i   0.2887 - 0.5000i

D = 3×3 complex

   6.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i  -1.5000 + 0.8660i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 + 0.0000i  -1.5000 - 0.8660i

验证结果是否满足 A*V = V*D。

A*V - V*D

ans = 3×3 complex
10^-14 ×

  -0.2665 + 0.0000i  -0.0444 + 0.0222i  -0.0444 - 0.0222i
   0.0888 + 0.0000i   0.0111 + 0.0777i   0.0111 - 0.0777i
  -0.0444 + 0.0000i  -0.0111 + 0.0833i  -0.0111 - 0.0833i

在理想情况下，特征值分解可满足此关系。由于 eig 使用浮点计算执行分解，那么 A*V 可最大程度接近 V*D。换言之，A*V - V*D 接近但不等于 0。

排序的特征值和特征向量

默认情况下，eig 并不总是返回已排序的特征值和特征向量。可以使用 sort 函数将特征值按升序排序，并重新排序相应的特征向量。

计算 5×5 幻方矩阵的特征值和特征向量。

A = magic(5)

A = 5×5

    17    24     1     8    15
    23     5     7    14    16
     4     6    13    20    22
    10    12    19    21     3
    11    18    25     2     9

[V,D] = eig(A)

V = 5×5

   -0.4472    0.0976   -0.6330    0.6780   -0.2619
   -0.4472    0.3525    0.5895    0.3223   -0.1732
   -0.4472    0.5501   -0.3915   -0.5501    0.3915
   -0.4472   -0.3223    0.1732   -0.3525   -0.5895
   -0.4472   -0.6780    0.2619   -0.0976    0.6330

D = 5×5

   65.0000         0         0         0         0
         0  -21.2768         0         0         0
         0         0  -13.1263         0         0
         0         0         0   21.2768         0
         0         0         0         0   13.1263

A 的特征值位于 D 的对角线上。但是，特征值并未排序。

使用 diag(D) 从 D 的对角线上提取特征值，然后按升序对得到的向量进行排序。sort 的第二个输出返回索引的置换向量。

[d,ind] = sort(diag(D))

使用 ind 对 D 的对角线元素进行重新排序。由于 D 中的特征值对应于 V 的各列中的特征向量，因此您还必须使用相同的索引对 V 的列进行重新排序。

Ds = D(ind,ind)

Ds = 5×5

  -21.2768         0         0         0         0
         0  -13.1263         0         0         0
         0         0   13.1263         0         0
         0         0         0   21.2768         0
         0         0         0         0   65.0000

Vs = V(:,ind)

Vs = 5×5

    0.0976   -0.6330   -0.2619    0.6780   -0.4472
    0.3525    0.5895   -0.1732    0.3223   -0.4472
    0.5501   -0.3915    0.3915   -0.5501   -0.4472
   -0.3223    0.1732   -0.5895   -0.3525   -0.4472
   -0.6780    0.2619    0.6330   -0.0976   -0.4472

(V,D) 和 (Vs,Ds) 都会生成 A 的特征值分解。A*V-V*D 和 A*Vs-Vs*Ds 的结果一致（基于舍入误差）。

e1 = norm(A*V-V*D);
e2 = norm(A*Vs-Vs*Ds);
e = abs(e1 - e2)

e = 
0

左特征向量

创建一个 3×3 矩阵。

 A = [1 7 3; 2 9 12; 5 22 7];

计算右特征向量 V、特征值 D 和左特征向量 W。

[V,D,W] = eig(A)

V = 3×3

   -0.2610   -0.9734    0.1891
   -0.5870    0.2281   -0.5816
   -0.7663   -0.0198    0.7912

D = 3×3

   25.5548         0         0
         0   -0.5789         0
         0         0   -7.9759

W = 3×3

   -0.1791   -0.9587   -0.1881
   -0.8127    0.0649   -0.7477
   -0.5545    0.2768    0.6368

验证结果是否满足 W'*A = D*W'。

W'*A - D*W'

ans = 3×3
10^-13 ×

   -0.0444   -0.1066   -0.0888
   -0.0011    0.0442    0.0333
         0    0.0266    0.0178

在理想情况下，特征值分解可满足此关系。由于 eig 使用浮点计算执行分解，那么 W'*A 可最大程度接近 D*W'。换言之，W'*A - D*W' 接近但不等于 0。

不可对角化（亏损）矩阵的特征值

创建一个 3×3 矩阵。

A = [3 1 0; 0 3 1; 0 0 3];

计算 A 的特征值和右特征向量。

[V,D] = eig(A)

V = 3×3

    1.0000   -1.0000    1.0000
         0    0.0000   -0.0000
         0         0    0.0000

D = 3×3

     3     0     0
     0     3     0
     0     0     3

A 包含重复特征值，且特征向量非独立。这意味着 A 不可对角化，因此为亏损矩阵。

尽管 A 为亏损矩阵，仍验证 V 和 D 是否满足方程 A*V = V*D。

A*V - V*D

ans = 3×3
10^-15 ×

         0    0.8882   -0.8882
         0         0    0.0000
         0         0         0

在理想情况下，特征值分解可满足此关系。由于 eig 使用浮点计算执行分解，那么 A*V 可最大程度接近 V*D。换言之，A*V - V*D 接近但不等于 0。

广义特征值

创建两个矩阵（A 和 B），然后求解对组 (A,B) 的特征值和右特征向量的广义特征值问题。

A = [1/sqrt(2) 0; 0 1];
B = [0 1; -1/sqrt(2) 0];
[V,D]=eig(A,B)

V = 2×2 complex

   1.0000 + 0.0000i   1.0000 + 0.0000i
   0.0000 - 0.7071i   0.0000 + 0.7071i

D = 2×2 complex

   0.0000 + 1.0000i   0.0000 + 0.0000i
   0.0000 + 0.0000i   0.0000 - 1.0000i

验证结果是否满足 A*V = B*V*D。

A*V - B*V*D

残差 A*V - B*V*D 精确为零。

病态矩阵使用 QZ 算法得出广义特征值

创建病态对称矩阵，其包含的值接近计算机精度。

format long e
A = diag([10^-16, 10^-15])

A = 2×2

     1.000000000000000e-16                         0
                         0     1.000000000000000e-15

使用默认算法计算广义特征值和一组右特征向量。在这种情况下，默认算法为 "chol"。

[V1,D1] = eig(A,A)

V1 = 2×2

     1.000000000000000e+08                         0
                         0     3.162277660168380e+07

D1 = 2×2

     9.999999999999999e-01                         0
                         0     1.000000000000000e+00

现在，使用 "qz" 算法计算广义特征值和一组右特征向量。

[V2,D2] = eig(A,A,"qz")

检查 "chol" 结果满足 A*V1 = A*V1*D1 的程度。

format short
A*V1 - A*V1*D1

ans = 2×2
10^-23 ×

    0.1654         0
         0   -0.6617

现在，检查 "qz" 结果满足 A*V2 = A*V2*D2 的程度。

A*V2 - A*V2*D2

当两个矩阵均为对称矩阵时，eig 默认使用 "chol" 算法。在这种情况下，QZ 算法可返回更精确的结果。

一个矩阵为奇异矩阵的广义特征值

创建一个 2×2 单位矩阵 A 和一个奇异矩阵 B。

A = eye(2);
B = [3 6; 4 8];

如果您尝试用命令 [V,D] = eig(B\A) 计算矩阵 $B^{- 1} A$ 的广义特征值，则 MATLAB® 会返回错误，因为 B\A 会生成 Inf 值。

在这种情况下，应将上述两个矩阵传递给 eig 函数，计算广义特征值和右特征向量。

[V,D] = eig(A,B)

V = 2×2

   -0.7500   -1.0000
   -1.0000    0.5000

D = 2×2

    0.0909         0
         0       Inf

最好是分开传递两个矩阵，并让 eig 选择求解该问题的最佳算法。在这种情况下，eig(A,B) 会返回一组特征向量和至少一个实数特征值，尽管 B 不可逆。

验证第一个特征值和第一个特征向量是否满足 $A v = λ B v$ 。

eigval = D(1,1);
eigvec = V(:,1);
A*eigvec - eigval*B*eigvec

ans = 2×1
10^-15 ×

    0.1110
    0.2220

在理想情况下，特征值分解可满足此关系。由于分解是使用浮点计算完成的，那么 A*eigvec 可最大程度接近 eigval*B*eigvec，本例中确实如此。

输入参数

`A` — 输入矩阵
方阵

输入矩阵，指定为实方阵或复方阵。

数据类型: double | single
复数支持: 是

`B` — 广义特征值问题输入矩阵
方阵

广义特征值问题输入矩阵，指定为实数值或复数值方阵。B 必须与 A 具有相同的大小。

数据类型: double | single
复数支持: 是

`balanceOption` — 均衡选项
`"balance"` (默认) | `"nobalance"`

均衡选项，指定为 "balance"（启用初始均衡步骤）或 "nobalance"（禁用初始均衡步骤）。在大多数情况下，均衡步骤可改善 A 的状况以获得更精确的结果。但是，在有些情况下均衡会导致不正确的结果。当 A 包含的值大小差距较大时，请指定 "nobalance"。例如，如果 A 包含非零整数，以及非常小（接近零）的值，那么均衡步长可能将较小值放大到与整数相当的大小，从而导致不精确结果。

"balance" 为默认行为。有关平衡的详细信息，请参阅 balance。

`algorithm` — 广义特征值算法
`"chol"` (默认) | `"qz"`

广义特征值算法，指定为 "chol" 或 "qz"，用于选择计算对组的广义特征值时所使用的算法。

算法	描述
`"chol"`	使用 `B` 的乔列斯基分解计算 `A` 和 `B` 的广义特征值。如果 `A` 不是对称（埃尔米特）矩阵或者如果 `B` 不是对称（埃尔米特）正定矩阵，则 `eig` 改用 QZ 算法。
`"qz"`	使用 QZ 算法，亦称为广义舒尔分解。该算法忽略 `A` 和 `B` 的对称性。

总体上，两种算法返回相同的结果。QZ 算法对于某些问题更稳定，例如涉及到病态矩阵的问题。

无论您指定何种算法，当 A 或 B 为非对称矩阵时，eig 函数总使用 QZ 算法。

`outputForm` — 特征值的输出格式
`"vector"` | `"matrix"`

特征值的输出格式，指定为 "vector" 或 "matrix"。此选项允许您指定是以列向量还是以对角矩阵返回特征值。默认行为根据指定的输出数目不同而不同：

如果指定一个输出，例如 e = eig(A)，则在默认情况下，将以列向量的形式返回特征值。
如果指定两个或三个输出，例如 [V,D] = eig(A)，则在默认情况下，将以对角矩阵的形式 D 返回特征值。

示例: D = eig(A,"matrix") 使用一个输出语法返回由特征值构成的一个对角矩阵。

输出参量

`e` — 特征值（以向量的形式返回）
列向量

特征值，以包含特征值（或对组的广义特征值）的列向量及重数的形式返回。每个特征值 e(k) 对应于右特征向量 V(:,k) 和左特征向量 W(:,k)。

当 A 为实数对称或复数埃尔米特矩阵时，满足 Av = λv 的 e 值为实数。
当 A 为实数斜对称或复数斜埃尔米特矩阵时，满足 Av = λv 的 e 值为虚数。

根据您指定一个输出还是多个输出，eig 可以返回不同特征值，这些值在数值上依然精确。

`V` — 右特征向量
方阵

右特征向量，作为方阵返回，其各列为 A 的右特征向量或对组 (A,B) 的广义右特征向量。V 的形式和归一化取决于输入参量的组合：

[V,D] = eig(A) 返回矩阵 V，其各列是 A 的右特征向量，这样 A*V = V*D。V 中的特征向量已归一化，因此每个向量的 2-范数为 1。
如果 A 是实数对称的埃尔米特或斜埃尔米特矩阵，则右特征向量 V 为正交。
[V,D] = eig(A,"nobalance") 还返回矩阵 V。但是，每个特征向量的 2-范数不一定为 1。
[V,D] = eig(A,B) 和 [V,D] = eig(A,B,algorithm) 返回矩阵 V，其中各列为满足 A*V = B*V*D 的广义右特征向量。每个特征向量的 2-范数不一定为 1。在本例中，D 的主对角线包含对组 (A,B) 的各广义特征值。
当 eig 使用 "chol" 算法计算对称（埃尔米特）矩阵 A 和对称（埃尔米特）正定矩阵 B 时，它会将 V 中的特征向量归一化，使每个特征向量的 B-范数均为 1。

不同的计算机和 MATLAB^® 版本可能生成不同的特征向量，它们在数值上依然精确：

对于实数特征向量，特征向量的符号可以更改。
对于复数特征向量，特征向量可以乘以模为 1 的任何复数。
对于多重特征值，其特征向量可以通过线性组合来重新组合。例如，如果 Ax = λx 且 Ay = λy，则 A(x+y) = λ(x+y)，因此 x+y 也是 A 的一个特征向量。

`D` — 特征值（以矩阵的形式返回）
对角矩阵

特征值，以包含 A 在主对角线上的特征值或对组 (A,B) 在主对角线上的特征值（有重数）的对角矩阵的形式返回。每个特征值 D(k,k) 对应于右特征向量 V(:,k) 和左特征向量 W(:,k)。

当 A 为实数对称或复数埃尔米特矩阵时，满足 Av = λv 的 D 值为实数。
当 A 为实数斜对称或复数斜埃尔米特矩阵时，满足 Av = λv 的 D 值为虚数。

根据您指定一个输出还是多个输出，eig 可以返回不同特征值，这些值在数值上依然精确。

`W` — 左特征向量
方阵

左特征向量，作为方阵返回，其各列为 A 的左特征向量或对组 (A,B) 的广义左特征向量。W 的形式和归一化取决于输入参量的组合：

[V,D,W] = eig(A) 返回矩阵 W，其各列是 A 的左特征向量，这样 W'*A = D*W'。W 中的特征向量已归一化，因此每个向量的 2-范数为 1。如果 A 是对称矩阵，则 W 与 V 相同。
[V,D,W] = eig(A,"nobalance") 还返回矩阵 W。但是，每个特征向量的 2-范数不一定为 1。
[V,D,W] = eig(A,B) 和 [V,D,W] = eig(A,B,algorithm) 返回矩阵 W，其中各列为满足 W'*A = D*W'*B 的广义左特征向量。每个特征向量的 2-范数不一定为 1。在本例中，D 的主对角线包含对组 (A,B) 的各广义特征值。
如果 A 和 B 是对称矩阵，则 W 与 V 相同。

不同的计算机和 MATLAB 版本可能生成不同的特征向量，它们在数值上依然精确：

对于实数特征向量，特征向量的符号可以更改。
对于复数特征向量，特征向量可以乘以模为 1 的任何复数。
对于多重特征值，其特征向量可以通过线性组合来重新组合。例如，如果 Ax = λx 且 Ay = λy，则 A(x+y) = λ(x+y)，因此 x+y 也是 A 的一个特征向量。

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