一阶系统的间接模型参考自适应控制

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此示例说明如何设计间接模型参考自适应控制 (MRAC) 系统以用于参考跟踪。被控对象是一个未知一阶系统。间接 MRAC 控制器估计被控对象参数，并实现基于逆的控制器来跟踪参考模型。

一阶未知被控对象模型

受控被控对象是以下一阶动态系统。

$x_{}^{˙} = a x (t) + b u (t)$

其中：

$x$ 是系统状态。
$a$ 和 $b$ 是未知的系统参数。

给定此未知非线性系统，目标是设计一个控制器以便能够跟踪以下参考模型。

${x_{}^{˙}}_{m} = a_{m} x_{m} (t) + b_{m} r (t)$

其中：

$x_{m}$ 是参考模型状态。
$r (t)$ 是用户提供的参考信号。
$a_{m}$ 和 $b_{m}$ 是参考模型参数。

参考跟踪控制器

间接 MRAC 控制器使用一个估计器模型来计算 $a_{}^{ˆ}$ 和 $b_{}^{ˆ}$ ，它们分别是未知系统参数 $a$ 和 $b$ 的估计值。

${x_{}^{ˆ}}_{}^{˙} = a_{}^{ˆ} x (t) + b_{}^{ˆ} u (t)$

为了计算控制动作 $u (t)$ ，控制器使用前馈增益 $k_{r}$ 和反馈增益 $k_{x}$ 。

$u (t) = - k_{x} x (t) + k_{r} r (t)$

控制器增益派生自参考模型参数（ $a_{m}$ 和 $b_{m}$ ）和估计的观测器参数（ $a_{}^{ˆ}$ 和 $b_{}^{ˆ}$ ）。

$\begin{array}{l} k_{r} = \frac{b_{m}}{b_{}^{ˆ}} \\ k_{x} = \frac{1}{b_{}^{ˆ}} (a_{m} - a_{}^{ˆ}) \end{array}$

配置控制器

对于此示例，真实的参考模型如下。

$x_{}^{˙} = x (t) + 3 u (t)$

指定参考模型参数，假设模型输出对应于状态 $x$ 。

a = 1; 
b = 3;
c = 1;
d = 0;

此真实模型对于间接 MRAC 控制器是未知的。在这种情况下，控制器使用估计器模型来估计未知的被控对象动态特性。在运行期间，控制器可以自适应此模型的参数以改进它对未知系统参数的估计。

指定初始估计器参数。

ahat = 0;
bhat = 1;

控制器的目标是跟踪参考模型的性能。指定参考模型的参数。

am = -4;
bm = 4;

指定被控对象的初始条件。

x_0 = 0;

指定用于更新估计器模型参数的学习率。

gamma_a = 2;  % ahat learning rate
gamma_b = 2;  % bhat learning rate

仿真控制器

打开 Simulink 模型。

mdl = 'mracFirstOrder';
open_system(mdl)

在此模型中

Actual Plant Model 模块实现一阶未知系统的标称模型。
Reference Command 模块生成参考信号。
Model Reference Adaptive Control 模块输出控制动作 u，它是使用估计器模型派生的。

虽然 MRAC 控制器也可以估计受控系统中的未知扰动，但对于此示例，不存在这样的扰动。此时，控制器的目标仅仅是估计未知被控对象模型的参数。有关使用直接 MRAC 控制器估计未知扰动的示例，请参阅Model Reference Adaptive Control of Aircraft Undergoing Wing Rock。

仿真模型。