质量-弹簧-阻尼器系统的间接 MRAC 控制

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此示例说明如何在 Simulink® 中使用间接模型参考自适应控制 (MRAC) 系统对二阶质量-弹簧-阻尼器系统进行模型参数估计。质量-弹簧-阻尼器系统的属性未知。间接 MRAC 控制器估计被控对象参数，并实现基于逆的控制器来跟踪参考模型。

质量-弹簧-阻尼器模型

质量-弹簧-阻尼器系统由质量为 $m_{1}$ 和 $m_{2}$ 的两个小车组成，这两个小车通过刚度系数为 $c_{0}$ 和 $c_{1}$ 的弹簧以及阻尼系数为 $d$ 的阻尼器相互连接并接地。

定义弹簧-质量-阻尼系统的未知动态系统可表示如下。

$\dot{x (t)} = Ax (t) + Bu (t)$

$A = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - \frac{(c_{0} + c_{1})}{m_{1}} & - \frac{2 d}{m_{1}} & \frac{c_{1}}{m_{1}} & \frac{d}{m_{1}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \frac{c_{1}}{m_{2}} & \frac{d}{m_{2}} & - \frac{c_{1}}{m_{2}} & - \frac{2 d}{m_{2}} \end{array}], B = [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ \frac{1}{m_{1}} & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{m_{2}} \end{array}]$

其中：

$x = [p_{1}, \dot{p_{1}}, p_{2}, \dot{p_{2}}]$ 是系统状态向量。
$p_{1}$ 和 $p_{2}$ 是质量的位置。
$A$ 和 $B$ 是未知系统的参数。

假定有以下未知非线性系统，我们的目标是设计一个控制器以便能够跟踪以下参考系统。

$\dot{x_{m}} (t) = A_{m} x_{m} (t) + B_{m} r (t)$

$A_{m} = [\begin{array}{c} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 25 & - 10 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 25 & - 10 \end{array}], B_{m} = [\begin{array}{c} 0 & 0 \\ 25 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 25 \end{array}]$

其中：

$x_{m}$ 包含参考模型状态。
$A_{m}$ 和 $B_{m}$ 是参考系统的参数。
$r (t)$ 是用户提供的参考信号。

参考跟踪控制器

间接 MRAC 控制器使用一个估计器模型来计算 $A_{}^{ˆ}$ 和 $B_{}^{ˆ}$ ，它们分别是未知系统参数 $A$ 和 $B$ 的估计值。

${x_{}^{ˆ}}_{}^{˙} = A_{}^{ˆ} x (t) + B_{}^{ˆ} u (t)$

为了计算控制动作 $u (t)$ ，控制器使用前馈增益 $k_{r}$ 和反馈增益 $k_{x}$ 。

$u (t) = - k_{x} x (t) + k_{r} r (t)$

控制器增益派生自参考模型参数（ $A_{m}$ 和 $B_{m}$ ）和估计的观测器参数（ $A_{}^{ˆ}$ 和 $B_{}^{ˆ}$ ）。

$\begin{array}{l} k_{r} = \frac{B_{m}}{B_{}^{ˆ}} \\ k_{x} = \frac{1}{B_{}^{ˆ}} (A_{m} - A_{}^{ˆ}) \end{array}$

配置控制器

指定质量-弹簧-阻尼器系统的真实刚度系数、阻尼系数和质量。

% Stiffness
c0 = 1;
c1 = 1;
% Damping
d = 1;
% Mass
m1 = 5;
m2 = 1;

使用这些系统参数定义实际的系统动态特性。

A = [0 1 0 0;-(c0+c1)/m1 -2*d/m1 c1/m1 d/m1;
    0 0 0 1;c1/m2 d/m2 -c1/m2 -2*d/m2]

A = 4×4

         0    1.0000         0         0
   -0.4000   -0.4000    0.2000    0.2000
         0         0         0    1.0000
    1.0000    1.0000   -1.0000   -2.0000

B = [0 0;1/m1 0;0 0;0 1/m2]

B = 4×2

         0         0
    0.2000         0
         0         0
         0    1.0000

此真实模型对于间接 MRAC 控制器是未知的。在这种情况下，控制器使用估计器模型来估计未知的被控对象动态特性。在运行期间，控制器可以自适应此模型的参数以改进它对未知系统参数的估计。

Ahat = [0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0 0];
Bhat = [0 0.1;0.1 0;0 0;0.1 0.1];

控制器的目标是跟踪参考模型的性能。指定参考模型的参数。

Am = [0 1 0 0;-25 -10 0 0;0 0 0 1;0 0 -25 -10];
Bm = [0 0;25 0;0 0;0 25];

指定被控对象的初始条件。

x_0 = 0;

指定用于更新估计器模型参数的学习率。

gamma_a = 0.1;  % Ahat learning rate
gamma_b = 0.1;  % Bhat learning rate

仿真控制器

打开 Simulink 模型。

mdl = "mracMassSpringDamper";
open_system(mdl)

在此模型中：

Actual Plant Model 模块实现质量-弹簧-阻尼器系统的标称模型。
Reference 模块为两个质量生成参考信号。
Model Reference Adaptive Control 模块输出控制动作 u，它是使用估计器模型派生的。

虽然 MRAC 控制器也可以估计受控系统中的未知扰动，但对于此示例，不存在这样的扰动。此时，控制器的目标仅仅是估计未知被控对象模型的参数。有关使用直接 MRAC 控制器估计未知扰动的示例，请参阅Model Reference Adaptive Control of Aircraft Undergoing Wing Rock。

仿真模型。