nlinfit

非线性回归

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beta = nlinfit(X,Y,modelfun,beta0)
beta = nlinfit(X,Y,modelfun,beta0,options)
beta = nlinfit(___,Name=Value)
[beta,R,J,CovB,MSE,ErrorModelInfo] = nlinfit(___)

说明

beta = nlinfit(X,Y,modelfun,beta0) 使用 modelfun 指定的模型，返回一个向量，其中包含 Y 中的响应对 X 中的预测变量的非线性回归的估计系数。它使用迭代最小二乘估计来估计系数，初始值由 beta0 指定。

示例

beta = nlinfit(X,Y,modelfun,beta0,options) 使用结构体 options 中的算法控制参数来拟合非线性回归。您可以返回上述语法中的任何输出参量。

示例

beta = nlinfit(___,Name=Value) 使用一个或多个名称-值参量指定选项，且支持上述语法中的任何输入参量组合。例如，您可以设置观测值权重并指定非常量误差模型。

示例

[beta,R,J,CovB,MSE,ErrorModelInfo] = nlinfit(___) 还返回残差 R、modelfun 的雅可比矩阵 J、估计系数的估计方差-协方差矩阵 CovB、误差项的方差估计 MSE 以及包含误差模型细节的结构体 ErrorModelInfo。

示例

示例

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加载样本数据。 

S = load('reaction');
X = S.reactants;
y = S.rate;
beta0 = S.beta;

使用 beta0 中的初始值对速率数据进行豪根-瓦特森模型拟合。 

beta = nlinfit(X,y,@hougen,beta0)
beta = 5×1

    1.2526
    0.0628
    0.0400
    0.1124
    1.1914
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从非线性回归模型 y=b1+b2⋅exp{-b3x}+ϵ 生成样本数据，其中 b1、b2、b3 是系数，误差项呈正态分布，均值为 0，标准差为 0.1。

modelfun = @(b,x)(b(1)+b(2)*exp(-b(3)*x));

rng('default') % for reproducibility
b = [1;3;2];
x = exprnd(2,100,1);
y = modelfun(b,x) + normrnd(0,0.1,100,1);

设置稳健拟合选项。 

opts = statset('nlinfit');
opts.RobustWgtFun = 'bisquare';

使用稳健拟合选项拟合非线性模型。 

beta0 = [2;2;2];
beta = nlinfit(x,y,modelfun,beta0,opts)
beta = 3×1

    1.0041
    3.0997
    2.1483
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加载样本数据。 

S = load('reaction');
X = S.reactants;
y = S.rate;
beta0 = S.beta;

指定一个包含已知观测值权重的向量。 

W = [8 2 1 6 12 9 12 10 10 12 2 10 8]';

使用指定的观测值权重对速率数据进行豪根-瓦特森模型拟合。 

[beta,R,J,CovB] = nlinfit(X,y,@hougen,beta0,'Weights',W);
beta
beta = 5×1

    2.2068
    0.1077
    0.0766
    0.1818
    0.6516

显示系数标准误差。 

sqrt(diag(CovB))
ans = 5×1

    2.5721
    0.1251
    0.0950
    0.2043
    0.7735
打开实时脚本

加载样本数据。 

S = load('reaction');
X = S.reactants;
y = S.rate;
beta0 = S.beta;

指定一个指向观测值权重的函数句柄。该函数接受模型拟合值作为输入，并返回权重向量。 

 a = 1; b = 1;
 weights = @(yhat) 1./((a + b*abs(yhat)).^2);

使用指定的观测值权重函数对速率数据进行豪根-瓦特森模型拟合。 

[beta,R,J,CovB] = nlinfit(X,y,@hougen,beta0,'Weights',weights);
beta
beta = 5×1

    0.8308
    0.0409
    0.0251
    0.0801
    1.8261

显示系数标准误差。 

sqrt(diag(CovB))
ans = 5×1

    0.5822
    0.0297
    0.0197
    0.0578
    1.2810
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加载样本数据。 

S = load('reaction');
X = S.reactants;
y = S.rate;
beta0 = S.beta;

使用合并的误差模型对速率数据进行豪根-瓦特森模型拟合。 

[beta,R,J,CovB,MSE,ErrorModelInfo] = nlinfit(X,y,@hougen,beta0,'ErrorModel','combined');
beta
beta = 5×1

    1.2526
    0.0628
    0.0400
    0.1124
    1.1914

显示误差模型信息。 

ErrorModelInfo
ErrorModelInfo = struct with fields:
              ErrorModel: 'combined'
         ErrorParameters: [0.1517 5.6783e-08]
           ErrorVariance: @(x)mse*(errorparam(1)+errorparam(2)*abs(model(beta,x))).^2
                     MSE: 1.6245
          ScheffeSimPred: 6
          WeightFunction: 0
            FixedWeights: 0
    RobustWeightFunction: 0

输入参数

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非线性回归函数的预测变量，指定为矩阵。通常，X 是预测变量（自变量）的设计矩阵，Y 中每个值对应该矩阵中的一个行，每个预测变量对应该矩阵中的一个列。但 X 其实可以是 modelfun 能接受的任何数组。

数据类型: single | double

用于拟合非线性回归函数的响应值（因变量），指定为与 X 行数相同的向量。

数据类型: single | double

非线性回归模型函数，指定为函数句柄。modelfun 必须按顺序接受两个输入参量 - 系数向量和数组 X，并返回由拟合响应值组成的向量。

例如，要指定 hougen 非线性回归函数，请使用函数句柄 @hougen。

数据类型: function_handle

最小二乘估计算法的初始系数值，指定为向量。

注意

不理想的起始值可能会导致具有较大残差的解。

数据类型: single | double

估计算法选项，指定为您使用 statset 创建的结构体。以下 statset 参数适用于 nlinfit。

有限差分梯度计算的相对差，指定为正标量值，或与 beta 大小相同的向量。使用向量为每个系数指定不同的相对差。

估算期间的输出显示级别，指定为 'off'、'iter' 或 'final' 之一。如果您指定 'iter'，每次迭代都会显示输出。如果指定 'final'，将在最终迭代后显示输出。

是否检查目标函数中的无效值（如 NaN 或 Inf）的指示符，指定为 'on' 或 'off'。

估计算法的最大迭代次数，指定为正整数。迭代继续进行，直到估计值在收敛容差内，或达到 MaxIter 指定的最大迭代次数。

稳健拟合的权重函数，指定为有效的字符向量、字符串标量或函数句柄。

注意

使用观测值权重 W 时，RobustWgtFun 的值必须为 []。

下表说明了可能的字符向量和字符串标量。用 r 表示归一化残差，w 表示稳健权重。如果表达式 x 的计算结果为 true，则指示函数 [x] 等于 1，否则等于 0。

权重函数方程默认调整常量
''（默认值） 没有稳健拟合—
'andrews'

w=I[|r|<π]×sin(r)/r

1.339
'bisquare'

w=I[|r|<1]×(1−r2)2

4.685
'cauchy'

w=1(1+r2)

2.385
'fair'

w=1(1+|r|)

1.400
'huber'

w=1max(1,|r|)

1.345
'logistic'

w=tanh(r)r

1.205
'talwar'

w=I[|r|<1]

2.795
'welsch'

w=exp{−r2}

2.985

您也可以指定函数句柄，该句柄接受归一化残差向量作为输入，并返回稳健权重向量作为输出。如果使用函数句柄，必须提供 Tune 常量。

稳健拟合的调整常量，指定为正标量值。调整常量用于在应用稳健权重函数之前归一化残差。默认调整常量取决于 RobustWgtFun 指定的函数。

如果使用函数句柄指定 RobustWgtFun，则必须为 Tune 指定值。

残差平方和的终止容差，指定为正标量值。迭代继续进行，直到估计值在收敛容差内，或达到 MaxIter 指定的最大迭代次数。

基于估计系数 beta 的终止容差，指定为正标量值。迭代继续进行，直到估计值在收敛容差内，或达到 MaxIter 指定的最大迭代次数。

名称-值参数

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将可选参量对组指定为 Name1=Value1,...,NameN=ValueN，其中 Name 是参量名称，Value 是对应的值。名称-值参量必须出现在其他参量之后，但对各个参量对组的顺序没有要求。

在 R2021a 之前，使用逗号分隔每个名称和值，并用引号将 Name 引起来。

示例: 'ErrorModel','proportional','ErrorParameters',0.5 指定比例误差模型，误差参数估计的初始值为 0.5

误差项的形式，指定为以逗号分隔的对组，其中包含 'ErrorModel'，以及指示误差模型的 'constant'、'proportional' 或 'combined'。每个模型在定义误差时，都用到了一个标准的零均值单位方差变量 e，以及下列独立部分：函数值 f，还有 a 和 b 这两个参数中的一个或两个。

'constant'（默认值）y=f+ae
'proportional'y=f+bfe
'combined'y=f+(a+b|f|)e

使用 Weights 时，唯一允许的误差模型是 'constant'。

注意

使用 'constant' 以外的误差模型时，options.RobustWgtFun 的值必须为 []。

所选 ErrorModel 中误差模型参数的初始估计值，指定为以逗号分隔的对组，其中包含 'ErrorParameters' 和一个标量值或一个二元素向量。

误差模型参数默认值
'constant' a1
'proportional'b1
'combined'a, b[1,1]

例如，如果 'ErrorModel' 的值为 'combined'，您可以为 a 指定起始值 1，为 b 指定起始值 2，如下所示。

示例: 'ErrorParameters',[1,2]

使用 Weights 时，您只能使用 'constant' 误差模型。

注意

使用 'constant' 以外的误差模型时，options.RobustWgtFun 的值必须为 []。

数据类型: double | single

自 R2025a 起

降低雅可比矩阵秩的标志，指定为数值或逻辑值 1 (true) 或 0 (false)。当 ReduceJacobian 为 true 且雅可比矩阵接近奇异矩阵时，nlinfit 降低雅可比矩阵的秩并增加误差自由度。

nlinfit 使用雅可比矩阵优化模型系数并计算统计量，如系数标准误差。雅可比矩阵的行对应观测值，列对应模型系数。雅可比矩阵的每个元素是模型关于其对应系数的导数，并在其对应观测值处计算值。奇异雅可比矩阵表示模型系数不是线性无关的，因此 nlinfit 找不到最优值。在这种情况下，nlinfit 固定一个或多个系数。

示例: ReduceJacobian=false

数据类型: logical

观测值权重，指定为以逗号分隔的对组，其中包含 'Weights' 和一个正实数权重向量或一个函数句柄。如果您希望减少某些观测值对拟合模型的影响，则可使用观测值权重来降低其权重。

  • 如果 W 是向量，则它的大小必须与 Y 相同。

  • 如果 W 是函数句柄，则它必须接受预测响应值向量作为输入，并返回正实数权重向量作为输出。

注意

当您使用观测值权重时，options.RobustWgtFun 的值必须为 []。

数据类型: double | single | function_handle

输出参量

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估计的回归系数，以向量形式返回。beta 中的元素数等于 beta0 中的元素数。

用 f(Xi,b) 表示 modelfun 指定的非线性函数，其中 xi 是观测值 i 的预测变量，i = 1,...,N，b 是回归系数。beta 中返回的系数向量将以下加权最小二乘方程最小化：

∑i=1Nwi[yi−f(xi,b)]  2.

对于未加权的非线性回归，所有权重项都等于 1。

拟合模型的残差，以向量形式返回。

  • 如果使用名称-值对组参量 Weights 指定观测值权重，则 R 包含加权残差。

  • 如果使用名称-值对组参量 ErrorModel 指定 'constant' 以外的误差模型，则不能再将 R 解释为模型拟合残差。

非线性回归模型 modelfun 的雅可比矩阵，以 N×p 矩阵形式返回，其中 N 是观测值数目，p 是估计系数的数目。

  • 如果使用名称-值对组参量 Weights 指定观测值权重，则 J 是加权模型函数雅可比矩阵。

  • 如果使用名称-值对组参量 ErrorModel 指定 'constant' 以外的误差模型，则不能再将 J 解释为模型函数雅可比矩阵。

在拟合系数 beta 的基础上估计的方差-协方差矩阵，以 p×p 矩阵形式返回，其中 p 是估计系数的数目。如果模型雅可比矩阵 J 具有满列秩，则 CovB = inv(J'*J)*MSE，其中 MSE 是均方误差。

拟合模型的均方误差 (MSE)，以标量值形式返回。MSE 是误差项的方差的估计值。如果模型雅可比矩阵 J 具有满列秩，则 MSE = (R'*R)/(N-p)，其中 N 是观测值数目，p 是估计系数的数目。

关于误差模型拟合的信息，以具有以下字段的结构体形式返回：

ErrorModel所选误差模型
ErrorParameters估计误差参数
ErrorVariance函数句柄，它接受 N×p 矩阵 X 并使用估计误差模型返回 N×1 误差方差向量
MSE均方误差
ScheffeSimPred使用估计误差模型时用于联合预测区间的 Scheffé 参数
WeightFunction如果您以前在 nlinfit 中使用过自定义权重函数，则逻辑值为 true
FixedWeights如果您以前在 nlinfit 中使用过固定权重，则逻辑值为 true
RobustWeightFunction如果您以前在 nlinfit 中使用过稳健拟合，则逻辑值为 true

详细信息

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提示

  • 要基于预测生成误差估计，请使用可选输出参量 R、J、CovB 或 MSE 作为 nlpredci 的输入。

  • 要基于估计系数 beta 生成误差估计，请使用可选输出参量 R、J、CovB 或 MSE 作为 nlparci 的输入。

  • 如果您使用稳健拟合选项 RobustWgtFun，则必须使用 CovB（可能还需要 MSE）作为 nlpredci 或 nlparci 的输入，以确保在计算置信区间时考虑稳健拟合。

算法

  • nlinfit 将 Y 或 modelfun(beta0,X) 中的 NaN 值视为缺失数据，并忽略对应的观测值。

  • 对于非稳健估计，nlinfit 使用莱文贝格-马夸特非线性最小二乘算法 [1]。

  • 对于稳健估计，nlinfit 使用Iteratively Reweighted Least Squares的算法（[2]、[3]）。在每次迭代中，基于前一次迭代中每个观测值的残差重新计算稳健权重。这些权重会对离群值进行降权，从而降低它们对拟合的影响。迭代一直持续到权重收敛为止。

  • 为观测值权重指定函数句柄时，权重取决于拟合模型。在这种情况下，nlinfit 使用迭代广义最小二乘算法来拟合非线性回归模型。

参考

[1] Seber, G. A. F., and C. J. Wild. Nonlinear Regression. Hoboken, NJ: Wiley-Interscience, 2003.

[2] DuMouchel, W. H., and F. L. O'Brien. “Integrating a Robust Option into a Multiple Regression Computing Environment.” Computer Science and Statistics: Proceedings of the 21st Symposium on the Interface. Alexandria, VA: American Statistical Association, 1989.

[3] Holland, P. W., and R. E. Welsch. “Robust Regression Using Iteratively Reweighted Least-Squares.” Communications in Statistics: Theory and Methods, A6, 1977, pp. 813–827.

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

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