zscore

标准化 z 分数

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语法

Z = zscore(X)

Z = zscore(X,flag)

Z = zscore(X,flag,'all')

Z = zscore(X,flag,dim)

Z = zscore(X,flag,vecdim)

[Z,mu,sigma] = zscore(___)

说明

Z = zscore(X) 返回 X 的每个元素的 z 分数，对列 X 进行中心化和缩放处理，使其均值为 0，标准差为 1。Z 与 X 的大小相同。

如果 X 是向量，则 Z 是 z 分数组成的向量。
如果 X 是矩阵，则 Z 是与 X 大小相同的矩阵，并且 Z 的每列的均值为 0，标准差为 1。
对于多维数组，Z 中的 z 分数是沿 X 的第一个非单一维度计算的。

示例

Z = zscore(X,flag) 使用 flag 指示的标准差缩放 X。

如果 flag 为 0（默认值），则 zscore 使用样本标准差缩放 X，标准差公式的分母为 n - 1。zscore(X,0) 与 zscore(X) 相同。
如果 flag 为 1，则 zscore 使用总体标准差缩放 X，标准差公式的分母为 n。

示例

Z = zscore(X,flag,'all') 通过使用 X 中所有值的均值和标准差来标准化 X。

示例

Z = zscore(X,flag,dim) 沿运算维度 dim 标准化 X。例如，对于矩阵 X，如果 dim = 1，则 zscore 使用沿 X 的列的均值和标准差；如果 dim = 2，则 zscore 使用沿 X 的行的均值和标准差。

示例

Z = zscore(X,flag,vecdim) 基于向量 vecdim 指定的维度标准化 X。例如，如果 X 是矩阵，则 zscore(X,0,[1 2]) 等效于 zscore(X,0,'all')，因为矩阵的每个元素都包含在由维度 1 和 2 定义的数组切片中。

示例

[Z,mu,sigma] = zscore(___) 还分别返回用于中心化和缩放的均值和标准差，即 mu 和 sigma。您可以使用上述语法中的任何输入参量。

示例

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两个数据向量的 Z 分数

打开实时脚本

计算并绘制两个数据向量的 $z$ 分数，然后比较结果。

加载样本数据。

load lawdata

在工作区中加载两个变量：gpa 和 lsat。

在同一坐标区上绘制这两个变量。

plot([gpa,lsat])
legend('gpa','lsat','Location','East')

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type line. These objects represent gpa, lsat.

很难对这两种测度进行比较，因为其尺度差异很大。

在相同的坐标区上绘制 gpa 和 lsat 的 $z$ 分数。

Zgpa = zscore(gpa);
Zlsat = zscore(lsat);
plot([Zgpa, Zlsat])
legend('gpa z-scores','lsat z-scores','Location','Northeast')

Figure contains an axes object. The axes object contains 2 objects of type line. These objects represent gpa z-scores, lsat z-scores.

现在，您可以看到各个人员在 gpa 和 lsat 成绩上的相对表现。例如，第三个人的 gpa 和 lsat 结果都比样本均值低一个标准差。第十个人的 gpa 接近样本均值，但其 lsat 分数几乎比样本均值高出 1.25 个标准差。

检查您创建的 $z$ 分数的均值和标准差。

 mean([Zgpa,Zlsat])

ans = 1×2
10^-14 ×

   -0.1088    0.0357

 std([Zgpa,Zlsat])

ans = 1×2

     1     1

根据定义，gpa 和 lsat 的 $z$ 分数的均值为 0，标准差为 1。

总体与样本的 Z 分数

打开实时脚本

加载样本数据。

load lawdata

在工作区中加载两个变量：gpa 和 lsat。

使用标准差的总体公式计算 gpa 的 $z$ 分数。

Z1 = zscore(gpa,1); % population formula
Z0 = zscore(gpa,0); % sample formula
disp([Z1 Z0])

    1.2554    1.2128
    0.8728    0.8432
   -1.2100   -1.1690
   -0.2749   -0.2656
    1.4679    1.4181
   -0.1049   -0.1013
   -0.4024   -0.3888
    1.4254    1.3771
    1.1279    1.0896
    0.1502    0.1451
    0.1077    0.1040
   -1.5076   -1.4565
   -1.4226   -1.3743
   -0.9125   -0.8815
   -0.5724   -0.5530

对于来自总体的一个样本，分母为 $n$ 的总体标准差公式对应于总体标准差的最大似然估计，可能有偏差。另一方面，样本标准差公式是一个样本的总体标准差的无偏估计量。

数据矩阵的 Z 分数

打开实时脚本

使用沿数据矩阵的列或行计算的均值和标准差计算 $z$ 分数。

加载样本数据。

load flu

数据集合数组 flu 已在工作区中加载。flu 包含涉及 11 个变量的 52 个观测值。第一个变量包含日期（以周为单位）。其他变量包含美国不同地区的流感估计值。

将该数据集合数组转换为一个数据矩阵。

flu2 = double(flu(:,2:end));

新数据矩阵 flu2 是一个 52×10 双精度数据矩阵。在数据集合数组 flu 中，行对应于周，列对应于美国各地区。

标准化每个地区（flu2 的列）的流感估计值。

Z1 = zscore(flu2,[ ],1);

双击在工作区中创建的矩阵 Z1，可以在变量编辑器中看到 $z$ 分数。

标准化每周（flu2 的行）的流感估计值。

Z2 = zscore(flu2,[ ],2);

多维数组的 Z 分数

打开实时脚本

通过指定沿不同维度标准化数据来求出一个多维数组的 Z 分数。比较使用 'all'、dim 和 vecdim 输入参量时的结果。

创建一个 3×4×2 数组。

X = reshape(1:24,[3 4 2])

X = 
X(:,:,1) =

     1     4     7    10
     2     5     8    11
     3     6     9    12


X(:,:,2) =

    13    16    19    22
    14    17    20    23
    15    18    21    24

通过使用 X 中所有值的均值和标准差来标准化 X。

Zall = zscore(X,0,'all')

Zall = 
Zall(:,:,1) =

   -1.6263   -1.2021   -0.7778   -0.3536
   -1.4849   -1.0607   -0.6364   -0.2121
   -1.3435   -0.9192   -0.4950   -0.0707


Zall(:,:,2) =

    0.0707    0.4950    0.9192    1.3435
    0.2121    0.6364    1.0607    1.4849
    0.3536    0.7778    1.2021    1.6263

生成的由 Z 分数组成的多维数组的均值为 0，标准差为 1。例如，计算 Zall 的均值和标准差。

mZall = mean(Zall(:,:,:),'all')

mZall = 
-9.2519e-18

sZall = std(Zall(:,:,:),0,'all')

sZall = 
1.0000

现在沿第二个维度标准化 X。

Zdim = zscore(X,0,2)

Zdim = 
Zdim(:,:,1) =

   -1.1619   -0.3873    0.3873    1.1619
   -1.1619   -0.3873    0.3873    1.1619
   -1.1619   -0.3873    0.3873    1.1619


Zdim(:,:,2) =

   -1.1619   -0.3873    0.3873    1.1619
   -1.1619   -0.3873    0.3873    1.1619
   -1.1619   -0.3873    0.3873    1.1619

Zdim 的每页的每行中的元素的均值为 0，标准差为 1。例如，计算 Zdim 的第二页的第一行的均值和标准差。

mZdim = mean(Zdim(1,:,2),'all')

mZdim = 
0

sZdim = std(Zdim(1,:,2),0,'all')

sZdim = 
1

最后，根据第二个和第三个维度标准化 X。

Zvecdim = zscore(X,0,[2 3])

Zvecdim = 
Zvecdim(:,:,1) =

   -1.4289   -1.0206   -0.6124   -0.2041
   -1.4289   -1.0206   -0.6124   -0.2041
   -1.4289   -1.0206   -0.6124   -0.2041


Zvecdim(:,:,2) =

    0.2041    0.6124    1.0206    1.4289
    0.2041    0.6124    1.0206    1.4289
    0.2041    0.6124    1.0206    1.4289

每个 Zvecdim(i,:,:) 切片中的元素的均值为 0，标准差为 1。例如，计算 Zvecdim(1,:,:) 中元素的均值和标准差。

mZvecdim = mean(Zvecdim(1,:,:),'all')

mZvecdim = 
2.7756e-17

sZvecdim = std(Zvecdim(1,:,:),0,'all')

sZvecdim = 
1

Z 分数、均值和标准差

打开实时脚本

返回用于计算 $z$ 分数的均值和标准差。

加载样本数据。

load lawdata

在工作区中加载两个变量：gpa 和 lsat。

返回 gpa 的 $z$ 分数、均值和标准差。

[Z,gpamean,gpastdev] = zscore(gpa)

gpamean = 
3.0947

gpastdev = 
0.2435

输入参数

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`X` — 输入数据
向量 | 矩阵 | 多维数组

输入数据，指定为向量、矩阵或多维数组。

数据类型: double | single

`flag` — 标准差的指示标记
0 (默认) | 1

用于计算 z 分数的标准差的指示标记，指定为 0 或 1。

如果 flag 为 0（默认值），则 zscore 使用样本标准差缩放 X。zscore(X,0) 与 zscore(X) 相同。
如果 flag 为 1，则 zscore 使用总体标准差缩放 X。

`dim` — 维度
正整数标量

沿其计算 X 的 z 分数的维度，指定为正整数标量。如果不指定值，则默认值是大小不等于 1 的第一个数组维度。

例如，对于矩阵 X，如果 dim = 1，则 zscore 使用沿 X 的列的均值和标准差；如果 dim = 2，则 zscore 使用沿 X 的行的均值和标准差。

`vecdim` — 维度向量
正整数向量

沿其计算 X 的 z 分数的维度的向量，指定为正整数向量。vecdim 的每个元素表示输入数组 X 的一个维度。输出 Z 与 X 具有相同的维度，但均值 mu 和标准差 sigma 在运算维度中的长度均为 1。X、mu 和 sigma 的其他维度长度相同。

例如，如果 X 是一个 2×3×3 数组，则 zscore(X,0,[1 2]) 使用沿 X 的页上的均值和标准差标准化 X 的值。

数据类型: single | double

输出参量

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`Z` — z 分数
向量 | 矩阵 | 多维数组

z 分数，以向量、矩阵或多维数组形式返回。Z 与 X 具有相同的维度。

Z 的值取决于您指定 'all'、dim 还是 vecdim。如果未指定上述输入参量中的任一项，则适用以下条件：

如果 X 是向量，则 Z 是均值为 0、方差为 1 的 z 分数组成的向量。
如果 X 是数组，则 zscore 沿 X 的第一个非单一维度进行标准化。

有关说明在使用 'all'、dim 和 vecdim 时 Z 中差异的示例，请参阅多维数组的 Z 分数。

`mu` — 均值
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

用于计算 z 分数的 X 的均值，以标量、向量、矩阵或多维数组形式返回。mu 在指定的运算维度中长度为 1。X 和 mu 的其他维度长度相同。

例如，如果 X 是一个 2×3×3 数组，vecdim 是 [1 2]，则 mu 是一个由均值组成的 1×1×3 数组。mu 中的每个值对应于 X 中一页的均值。

Mapping of input dimension of 2-by-3-by-3 to output dimension of 1-by-1-by-3

`sigma` — 标准差
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

用于计算 z 分数的 X 的标准差，以标量、向量、矩阵或多维数组形式返回。sigma 在指定的运算维度中长度为 1。X 和 sigma 的其他维度长度相同。

例如，如果 X 是一个 2×3×3 数组，vecdim 是 [1 2]，则 sigma 是一个由标准差组成的 1×1×3 数组。sigma 中的每个值对应于 X 中一页的标准差。

Mapping of input dimension of 2-by-3-by-3 to output dimension of 1-by-1-by-3

详细信息

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Z 分数

对于具有均值 μ 和标准差 σ 的随机变量 X，值 x 的 z 分数为

$z = \frac{(x - μ)}{σ} .$

。对于具有均值 $\bar{X}$ 和标准差 S 的采样数据，数据点 x 的 z 分数为

$z = \frac{(x - \bar{X})}{S} .$

z 分数以标准差为单位测量数据点与均值的距离。这也称为数据的标准化。标准化后的数据集均值为 0，标准差为 1，并保留原始数据集的形状属性（相同的偏度和峰度）。

在进一步分析之前，您可以使用 z 分数将数据置于同一尺度上。这使您能够比较两个或更多具有不同单位的数据集。

多维数组

多维数组是具有两个以上维度的数组。例如，如果 X 是 1×3×4 数组，则 X 是三维数组。

第一个非单一维度

第一个非单一维度是其大小不等于 1 的数组的第一个维度。例如，如果 X 是 1×2×3×4 数组，则第二个维度是 X 的第一个非单一维度。

样本标准差

样本标准差 S 由下式给出：

$S = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{X})}^{2}}{n - 1}} .$

S 是从中抽取 X 的总体的方差的无偏估计量的平方根，其中 X 由独立同分布样本组成。 $\bar{X}$ 是样本均值。

请注意，此方差公式中的分母是 n - 1。

总体标准差

如果数据是值的整个总体，则可以使用总体标准差，

$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - μ)}^{2}}{n}} .$

如果 X 是来自总体的一个随机样本，则均值 μ 是根据样本均值估计的值，σ 是总体标准差的有偏最大似然估计量。

请注意，此方差公式中的分母是 n。

算法

zscore 对任何包含 NaN 的样本返回 NaN。

zscore 对任何常量样本（所有值都相同）返回 0。例如，如果 X 是一个由相同数值组成的向量，则 Z 是一个由 0 组成的向量。

扩展功能

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tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

zscore 函数完全支持 tall 数组。有关详细信息，请参阅tall 数组。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

用法说明和限制：

不支持 'all' 和 vecdim 输入参量。
dim 输入参量必须为编译时常量。
如果未指定 dim 输入参量，则生成的代码中的工作（或运算）维度可能不同。因此，可能会出现运行时错误。有关详细信息，请参阅在默认维度选择方面与 MATLAB 不兼容 (MATLAB Coder)。

有关代码生成的详细信息，请参阅 Introduction to Code Generation 和 General Code Generation Workflow。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

此函数完全支持基于线程的环境。有关详细信息，请参阅在基于线程的环境中运行 MATLAB 函数。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

用法说明和限制：

不支持 'all' 和 vecdim 输入参量。

有关详细信息，请参阅在 GPU 上运行 MATLAB 函数 (Parallel Computing Toolbox)。

版本历史记录

在 R2006a 之前推出

另请参阅

mean | std | normalize | rescale

zscore

语法

说明

示例

两个数据向量的 Z 分数

总体与样本的 Z 分数

数据矩阵的 Z 分数

多维数组的 Z 分数

Z 分数、均值和标准差

输入参数

X — 输入数据 向量 | 矩阵 | 多维数组

flag — 标准差的指示标记 0 (默认) | 1

dim — 维度 正整数标量

vecdim — 维度向量 正整数向量

输出参量

Z — z 分数 向量 | 矩阵 | 多维数组

mu — 均值 标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

sigma — 标准差 标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

详细信息

Z 分数

多维数组

第一个非单一维度

样本标准差

总体标准差

算法

扩展功能

tall 数组 对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成 使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

基于线程的环境 使用 MATLAB® backgroundPool 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ ThreadPool 加快代码运行速度。

GPU 数组 通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。

版本历史记录

另请参阅

`X` — 输入数据
向量 | 矩阵 | 多维数组

`flag` — 标准差的指示标记
0 (默认) | 1

`dim` — 维度
正整数标量

`vecdim` — 维度向量
正整数向量

`Z` — z 分数
向量 | 矩阵 | 多维数组

`mu` — 均值
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

`sigma` — 标准差
标量 | 向量 | 矩阵 | 多维数组

tall 数组
对行数太多而无法放入内存的数组进行计算。

C/C++ 代码生成
使用 MATLAB® Coder™ 生成 C 代码和 C++ 代码。

基于线程的环境
使用 MATLAB® `backgroundPool` 在后台运行代码或使用 Parallel Computing Toolbox™ `ThreadPool` 加快代码运行速度。

GPU 数组
通过使用 Parallel Computing Toolbox™ 在图形处理单元 (GPU) 上运行来加快代码执行。