$\begin{array}{l} [\begin{array}{c} x_{}^{˙} \\ x_{}^{¨} \\ θ_{}^{˙} \\ θ_{}^{¨} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & - 0.1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & - 0.5 & 30 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ x_{}^{˙} \\ θ \\ θ_{}^{˙} \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 0 \\ 5 \end{array}] u \\ y = [\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ x_{}^{˙} \\ θ \\ θ_{}^{˙} \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \\ 0 \end{array}] u \end{array}$

首先，将状态空间模型 sys 加载到工作区。

load('pendulumCartSSModel.mat','sys');

将 sys 转换为模态形式并提取块大小。

[msys,blks,TL,TR] = modalreal(sys)

msys =
 
  A = 
           x1      x2      x3      x4
   x1       0       0       0       0
   x2       0   -0.05       0       0
   x3       0       0  -5.503       0
   x4       0       0       0   5.453
 
  B = 
          u1
   x1  1.875
   x2  6.298
   x3   12.8
   x4  12.05
 
  C = 
              x1         x2         x3         x4
   y1         16     -4.763  -0.003696   0.003652
   y2          0   0.003969   -0.03663    0.03685
 
  D = 
       u1
   y1   0
   y2   0
 
Continuous-time state-space model.
Model Properties

TL = 4×4

    0.0625    1.2500   -0.0000   -0.1250
         0    4.1986    0.0210   -0.4199
         0    0.2285  -13.5873    2.4693
         0   -0.2251   13.6287    2.4995

TR = 4×4

   16.0000   -4.7631   -0.0037    0.0037
         0    0.2381    0.0203    0.0199
         0    0.0040   -0.0366    0.0369
         0   -0.0002    0.2015    0.2009

msys 是 sys 的模态实现，blks 表示对角线上的模块大小，而 TL 和 TR 表示模块对角化变换矩阵。

零极点增益模型的模态实现

此示例使用:

Control System Toolbox Control System Toolbox

打开实时脚本

例如，在此示例中，请考虑以下具有双极点和密集极点簇的系统：

$s y s (s) = 100 \frac{(s - 1) (s + 1)}{s (s + 10) (s + 10.0001) {(s - (1 + i))}^{2} {(s - (1 - i))}^{2}}$

创建该系统的 zpk 模型，并使用函数 modalreal 获得模态实现。

sys = zpk([1 -1],[0 -10 -10.0001 1+1i 1-1i 1+1i 1-1i],100);
[msys1,blks1] = modalreal(sys);
blks1

blks1 = 3×1

     1
     4
     2

msys1.A

ans = 7×7

         0         0         0         0         0         0         0
         0    1.0000    2.1220         0         0         0         0
         0   -0.4713    1.0000    1.5296         0         0         0
         0         0         0    1.0000    1.8439         0         0
         0         0         0   -0.5423    1.0000         0         0
         0         0         0         0         0  -10.0000    4.0571
         0         0         0         0         0         0  -10.0001

msys1.B

sys 在 s = -10 和 s = -10.0001 处各有一对极点，并在 s = 1+i 和 s = 1-i 处各有一个重数为 2 的复极点。因此，模态形式 msys1 是一个状态空间模型，其中针对 s = -10 附近的两个极点，设有一个大小为 2 的模块；针对复特征值，设有一个大小为 4 的模块。

现在，通过提高块对角化变换的条件数，将 s = -10 附近的两极分离。例如，在此示例中，将 SepTol 设置为 1e-10。

[msys2,blks2] = modalreal(sys,SepTol=1e-10);
blks2

blks2 = 4×1

     1
     4
     1
     1

msys2.A

ans = 7×7

         0         0         0         0         0         0         0
         0    1.0000    2.1220         0         0         0         0
         0   -0.4713    1.0000    1.5296         0         0         0
         0         0         0    1.0000    1.8439         0         0
         0         0         0   -0.5423    1.0000         0         0
         0         0         0         0         0  -10.0000         0
         0         0         0         0         0         0  -10.0001

msys2.B

A 矩阵的 msys2 部分包含针对 s = -10 附近极点的独立对角元素。随着条件数的增大，B 矩阵中会出现一些非常大的值。

模态实现中对角模块的归一化

此示例使用:

Control System Toolbox Control System Toolbox

打开实时脚本

例如，考虑以下具有复数成对极点和密集极点簇的系统：

$s y s (s) = 100 \frac{(s - 1) (s + 1)}{s (s + 10) (s + 10.0001) {(s - (3 + 4 i))}^{2}}$

创建该系统的 zpk 模型，并使用函数 modalreal 获得模态实现。

sys = zpk([1 -1],[0 -10 -10.0001 3+4i 3-4i],100);
[msys1,blks1] = modalreal(sys);
blks1

blks1 = 3×1

     1
     2
     2

msys1.A

ans = 5×5

         0         0         0         0         0
         0    3.0000    8.7637         0         0
         0   -1.8257    3.0000         0         0
         0         0         0  -10.0000    8.8001
         0         0         0         0  -10.0001

msys1 是一个状态空间模型，其中在 s = -10 附近有两个极点，对应一个大小为 2 的模块；此外，在 s = 3 +4i 和 s = 3-4i。

您可以使用 Normalize 选项对 2×2 模块的值进行归一化，以显示实际的极点值。此外，放宽模块对角化变换的相对精度要求，以便分离靠近 s = -10 的模块。

[msys2,blks2] = modalreal(sys,Normalize=true,SepTol=1e-10);
blks2

blks2 = 4×1

     1
     2
     1
     1

msys2.A

ans = 5×5

         0         0         0         0         0
         0    3.0000    4.0000         0         0
         0   -4.0000    3.0000         0         0
         0         0         0  -10.0000         0
         0         0         0         0  -10.0001

对于复极点，此选项将复极点 $a \pm bi$ 的 2×2 模块归一化为 $[\begin{array}{cc} a & b \\ - b & a \end{array}]$ 。

计算稀疏模型的截断模态实现

自 R2026a 起

此示例使用:

Control System Toolbox Control System Toolbox

打开实时脚本

本示例演示了如何使用 modalreal 获取稀疏模型的截断模态实现。

加载稀疏模型。

load flowmeterSparse.mat
size(sys)

Sparse state-space model with 5 outputs, 1 inputs, and 9669 states.

该稀疏模型包含 9669 个状态。默认情况下，modalreal 会为稀疏模型计算模值最小的前 1000 个极点，这可能会耗费较长时间。计算模态实现时，您会发现 modalreal 返回的实现大小为 1000。

[msys,blks,TL,TR] = modalreal(sys);
size(msys)

State-space model with 5 outputs, 1 inputs, and 1000 states.

您可以使用 Focus 和 MaxOrder 选项来限制计算极点的子集。例如，计算频率范围为 0 rad/s 至 250 rad/s 内的模态实现值。

[msys2,blks2,TL2,TR2] = modalreal(sys,Focus=[0 250]);
size(msys2)

State-space model with 5 outputs, 1 inputs, and 33 states.

将截断实现的频率响应与原始稀疏模型进行比较。

sigmaplot(sys,msys,".-",msys2,"--",w)
legend("Original model","Truncated realization (1000 modes)",...
    "Truncated realization (33 modes)")

MATLAB figure

使用此工作流可快速获得稀疏模型的截断模态实现。为了获得更大的灵活性，请先使用 reducespec 获得一个降阶模型，然后对结果应用 modalreal。

输入参数

全部折叠

`sys` — 动态系统
动态系统模型

动态系统，指定为 SISO 或 MIMO 动态系统模型。您可以使用的动态系统包括：

连续时间或离散时间数值 LTI 模型，如 tf (Control System Toolbox)、zpk (Control System Toolbox)、ss (Control System Toolbox) 或 pid (Control System Toolbox) 模型。
广义或不确定的 LTI 模型，如 genss (Control System Toolbox) 或 uss (Robust Control Toolbox) 模型。（使用不确定模型需要 Robust Control Toolbox™ 软件。）
辨识的 LTI 模型，如 idtf、idss、idproc、idpoly 和 idgrey 模型。
稀疏状态空间模型，sparss (Control System Toolbox) 或 mechss (Control System Toolbox)。 (自 R2026a 起)
对于稀疏模型，当您希望快速获得截断模态形式时，modalreal 会很有帮助。为了获得更大的灵活性，请先使用 reducespec (Control System Toolbox) 获得一个降阶模型，然后对结果应用 modalreal。

您可以使用频率响应数据模型，如 frd (Control System Toolbox) 模型。

名称-值参数

全部折叠

以 Name1=Value1,...,NameN=ValueN 的形式指定可选参量对组，其中 Name 是参量名称，Value 是对应的值。名称-值参量必须出现在其他参量之后，但对各个参量对组的顺序没有要求。

示例: [msys,blks] = modalreal(sys,Normalize=true)

`SepTol` — 模块对角化的相对精度
`1e-12` (默认) | 0 到 1 之间的标量

块对角化的相对精度，指定为介于 0 和 1 之间的标量。

此选项将块对角化变换的条件数限制在约 SepTol/eps 左右。增加 SepTol 的值有助于生成更小的模块，但会以牺牲精度为代价。

`Normalize` — 归一化对角块
`false` 或 `0` (默认) | `true` 或 `1`

对 1×1 和 2×2 对角块进行归一化，指定为逻辑值 0 (false) 或 1 (true)。

当 Normalize 等于 true 时，该函数会对该模块进行归一化处理，以显示极点值。

对于显式模型，函数将与复数对 a ± jb 相关的 2×2 模块归一化为 $[\begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix}]$ 。
对于描述符模型，函数执行以下归一化操作：
- 将 1×1 模块归一化为：A_j = a，E_j = 1。
- 将 2×2 模块归一化为：A_j = $[\begin{matrix} a & b \\ - b & a \end{matrix}]$ ，E_j = I。

`Focus` — 感兴趣的频率范围
`[0 inf]` (默认) | 向量

自 R2026a 起

感兴趣的频率范围，指定为 [fmin,fmax] 形式的向量。当您为该属性指定一个值时，算法将仅计算该频率范围内的模态。

默认情况下，焦点未指定 ([0 inf])，算法会计算模值最小的 MaxOrder 模式。

`MaxOrder` — 模态逼近的最高阶
`1000` (默认) | 正整数

自 R2026a 起

模态逼近的最高阶数，指定为一个正整数。该值限制了克雷洛夫-舒尔迭代 ([1] (Control System Toolbox)) 计算的特征值个数，以及原始稀疏模型的模态逼近阶数。

`ModeTol` — 计算模态的精度
`1e-12` (默认) | 正标量

自 R2026a 起

在克雷洛夫-舒尔迭代中用于辨识收敛特征值的容差，指定为一个正标量。

`DCFrequency` — 评估 DC 分量所用的频率
`0` (默认) | 非负标量

自 R2026a 起

用于评估和匹配 DC 分量的频率，指定为一个非负标量。

对于包含积分器的模型，由于 DC 增益为无穷大，因此无法在 DC 条件下评估模态贡献。要评估不同频率下的模态贡献和匹配增益，请将该属性设置为正值。该属性的默认值对应于真正的 DC 值。

`InputScaling` — 输入缩放
`[]` (默认) | 向量

自 R2026a 起

输入缩放因子，指定为长度为 Nu 的向量，其中 Nu 是原始模型 sys 中的输入数量。

使用此选项可在 sys 中突出显示特定的输入通道。软件对缩放后的系统的模态贡献进行了评估。

`OutputScaling` — 输出缩放
`[]` (默认) | 向量

自 R2026a 起

输出缩放因子，指定为长度为 Ny 的向量，其中 Ny 是原始模型 sys 中的输出数量。

使用此选项可在 sys 中突出显示特定的输出通道。软件对缩放后的系统的模态贡献进行了评估。

`Display` — 显示或隐藏进度报告
`"on"` (默认) | `"off"`

自 R2026a 起

显示或隐藏进度报告，指定为 "off" 或 "on"。

输出参量

全部折叠

`msys` — 模态状态空间实现
`ss` 模型对象

动态模型的模态状态空间实现，以 ss (Control System Toolbox) 模型对象的形式返回。msys 是一种实现形式，其中 A 或 (A,E) 为块对角矩阵，且每个块分别对应一个实极点、一对复极点或一组重复极点。

`blks` — 模块大小
向量

模块对角实现中的模块大小，以向量形式返回。

`TL` — 块对角化变换的左侧矩阵
矩阵 | `[]`

块对角化变换的左侧矩阵，以矩阵形式返回。

对于普通的 LTI 模型，TL 是一个 Nx×Nx 的矩阵，其中 Nx 是模型中的状态数 sys
对于稀疏模型，TL 是一个 n_c 行 Nx 列的矩阵，其中 n_c 是计算出的模态组件个数。对于 mechss 模型，TL 对应于等效的一阶表示 sparss(sys)。 (自 R2026a 起)

该算法将模型的状态空间实现（A、B、C、D、E）转换为块对角矩阵（A_m、B_m、C_m、D_m、E_m），其表达式如下：

对于显式状态空间模型
$\begin{array}{l} \begin{matrix} A_{m} = T_{L} A T_{R}, & B_{m} = T_{L} B, \end{matrix} \\ \begin{matrix} C_{m} = C T_{R}, & D_{m} = D, & E = T_{L} T_{R} = I \end{matrix} \end{array}$
对于描述子状态空间模型
$\begin{array}{l} \begin{matrix} A_{m} = T_{L} A T_{R}, & B_{m} = T_{L} B, \end{matrix} \\ \begin{matrix} C_{m} = C T_{R}, & D_{m} = D, & E_{m} = T_{L} E T_{R} \end{matrix} \end{array}$

当输入模型 sys 不是状态空间模型时，该函数会为该参量返回空值 []。

`TR` — 块对角化变换的右侧矩阵
矩阵 | `[]`

块对角化变换的右侧矩阵，以矩阵形式返回。

对于普通的 LTI 模型，TR 是一个 Nx×Nx 的矩阵，其中 Nx 是模型中的状态数 sys
对于稀疏模型，TR 是一个 Nx 行 n_c 列的矩阵，其中 n_c 是计算出的模态组件个数。对于 mechss 模型，TR 对应于等效的一阶表示 sparss(sys)。 (自 R2026a 起)

该算法将模型的状态空间实现（A、B、C、D、E）转换为块对角矩阵（A_m、B_m、C_m、D_m、E_m），其表达式如下：

对于显式状态空间模型
$\begin{array}{l} \begin{matrix} A_{m} = T_{L} A T_{R}, & B_{m} = T_{L} B, \end{matrix} \\ \begin{matrix} C_{m} = C T_{R}, & D_{m} = D, & E = T_{L} T_{R} = I \end{matrix} \end{array}$
对于描述子状态空间模型
$\begin{array}{l} \begin{matrix} A_{m} = T_{L} A T_{R}, & B_{m} = T_{L} B, \end{matrix} \\ \begin{matrix} C_{m} = C T_{R}, & D_{m} = D, & E_{m} = T_{L} E T_{R} \end{matrix} \end{array}$

当输入模型 sys 不是状态空间模型时，该函数会为该参量返回空值 []。

参考

[1] Stewart, G. W. “A Krylov--Schur Algorithm for Large Eigenproblems.” SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications 23, no. 3 (January 2002): 601–14. https://doi.org/10.1137/S0895479800371529.

版本历史记录

在 R2023b 中推出

全部展开

R2026a: 对稀疏模型的支持：计算截断模态形式

现在，您可以使用 modalreal 来计算稀疏状态空间模型的截断模态形式。当您希望快速获得稀疏模型的截断模态形式时，这会很有帮助。

为了获得更大的灵活性，请先使用 reducespec (Control System Toolbox) 获得一个降阶模型，然后对结果应用 modalreal。

另请参阅

主题

状态空间实现

modalreal

语法

说明

示例

将状态空间模型转换为模态形式

零极点增益模型的模态实现

模态实现中对角模块的归一化

计算稀疏模型的截断模态实现

输入参数

sys — 动态系统 动态系统模型

名称-值参数

SepTol — 模块对角化的相对精度 1e-12 (默认) | 0 到 1 之间的标量

Normalize — 归一化对角块 false 或 0 (默认) | true 或 1

Focus — 感兴趣的频率范围 [0 inf] (默认) | 向量

MaxOrder — 模态逼近的最高阶 1000 (默认) | 正整数

ModeTol — 计算模态的精度 1e-12 (默认) | 正标量

DCFrequency — 评估 DC 分量所用的频率 0 (默认) | 非负标量

InputScaling — 输入缩放 [] (默认) | 向量

OutputScaling — 输出缩放 [] (默认) | 向量

Display — 显示或隐藏进度报告 "on" (默认) | "off"

输出参量

msys — 模态状态空间实现 ss 模型对象

blks — 模块大小 向量

TL — 块对角化变换的左侧矩阵 矩阵 | []

TR — 块对角化变换的右侧矩阵 矩阵 | []

参考

版本历史记录

R2026a: 对稀疏模型的支持：计算截断模态形式

另请参阅

主题

`sys` — 动态系统
动态系统模型

`SepTol` — 模块对角化的相对精度
`1e-12` (默认) | 0 到 1 之间的标量

`Normalize` — 归一化对角块
`false` 或 `0` (默认) | `true` 或 `1`

`Focus` — 感兴趣的频率范围
`[0 inf]` (默认) | 向量

`MaxOrder` — 模态逼近的最高阶
`1000` (默认) | 正整数

`ModeTol` — 计算模态的精度
`1e-12` (默认) | 正标量

`DCFrequency` — 评估 DC 分量所用的频率
`0` (默认) | 非负标量

`InputScaling` — 输入缩放
`[]` (默认) | 向量

`OutputScaling` — 输出缩放
`[]` (默认) | 向量

`Display` — 显示或隐藏进度报告
`"on"` (默认) | `"off"`

`msys` — 模态状态空间实现
`ss` 模型对象

`blks` — 模块大小
向量

`TL` — 块对角化变换的左侧矩阵
矩阵 | `[]`

`TR` — 块对角化变换的右侧矩阵
矩阵 | `[]`