step

绘制由以下传递函数表示的连续时间系统的阶跃响应。

对于此示例，请创建一个表示传递函数的 tf 模型。同样，您可以绘制其他动态系统模型类型的阶跃响应，例如零极点增益 (zpk) 模型或状态空间 (ss) 模型。

sys = tf(4,[1 2 10]);

绘制阶跃响应。

step(sys)

step 图自动包含一条水平点线，指示稳态响应。在 MATLAB® 图窗窗口中，您可以右键点击绘图以查看其他阶跃响应特征，例如峰值响应和稳定时间。有关这些特性的详细信息，请参阅 stepinfo (Control System Toolbox)。

绘制一个离散时间系统的阶跃响应。该系统的采样时间为 0.2 秒，由以下状态空间矩阵表示。

A = [1.6 -0.7;
      1  0];
B = [0.5; 0];
C = [0.1 0.1];
D = 0;

创建状态空间模型并绘制其阶跃响应。

sys = ss(A,B,C,D,0.2);
step(sys)

阶跃响应反映了模型的离散化，显示每 0.2 秒计算一次的响应。

检查以下传递函数的阶跃响应。

sys = zpk(-1,[-0.2+3j,-0.2-3j],1) * tf([1 1],[1 0.05]) 

sys =
 
            (s+1)^2
  ----------------------------
  (s+0.05) (s^2 + 0.4s + 9.04)
 
Continuous-time zero/pole/gain model.
Model Properties

step(sys)

默认情况下，step 会选择一个结束时间，该时间显示响应趋向的稳定状态。然而，该系统具有快速瞬态响应，基于这个时间尺度，该响应被掩盖了。为了更仔细地观察瞬态响应，请将阶跃图限制为 t = 15 秒。

step(sys,15)

您也可以指定要检查阶跃响应的确切时间，前提是这些时间之间有恒定的区间。例如，检查从瞬态结束到系统达到稳定状态的响应。

t = 20:0.2:120;
step(sys,t)

尽管此图从 t = 20 开始，但 step 始终在 t = 0 处应用阶跃输入。

假设有以下二阶状态空间模型：

A = [-0.5572,-0.7814;0.7814,0];
B = [1,-1;0,2];
C = [1.9691,6.4493];
sys = ss(A,B,C,0);

此模型有两个输入和一个输出，因此它有两个通道：从第一个输入到输出的通道，以及从第二个输入到输出的通道。每个通道都有自己的阶跃响应。

当您使用 step 时，它会计算所有通道的响应。

step(sys)

左图显示了第一个输入通道的阶跃响应，右图显示了第二个输入通道的阶跃响应。每当您使用 step 绘制 MIMO 模型的响应时，它都会生成一个绘图数组，表示该模型的所有 I/O 通道。例如，创建一个具有五个状态、三个输入和两个输出的随机状态空间模型，并绘制其阶跃响应。

sys = rss(5,2,3);
step(sys)

在 MATLAB 图窗窗口中，您可以右键点击绘图并选择 I/O Selector，将绘图限制为通道的子集。

使用 step，您可以在同一轴上绘制多个动态系统的响应。例如，将系统的闭环响应与 PI 控制器和 PID 控制器的闭环响应进行比较。创建系统的传递函数并调节控制器。

H = tf(4,[1 2 10]);
C1 = pidtune(H,'PI');
C2 = pidtune(H,'PID');

形成闭环系统并绘制其阶跃响应。

sys1 = feedback(H*C1,1);
sys2 = feedback(H*C2,1);
step(sys1,sys2)
legend('PI','PID','Location','SouthEast')

默认情况下，step 会为您绘制的每个系统选择不同的颜色。您可以使用 LineSpec 输入参量指定颜色和线型。

 step(sys1,'r--',sys2,'b')
 legend('PI','PID','Location','SouthEast')

第一个 LineSpec 'r--' 为 PI 控制器的响应指定红色虚线。第二个 LineSpec 'b' 为 PID 控制器的响应指定蓝色实线。图例反映了所指定的颜色和线型。如需更多绘图自定义选项，请使用 stepplot。

“比较多个系统的响应”示例说明了如何在一个轴上绘制多个单独系统的响应。当有多个动态系统排列在模型数组中时，step 会同时绘制所有这些系统的响应。

创建模型数组。对于此示例，请使用具有不同固有频率的二阶传递函数的一维数组。首先，为模型数组预分配内存。以下命令会创建一个行向量，其中包含 5 个零增益 SISO 传递函数。前两个维度表示模型输出和输入。其余维度是数组维度。

 sys = tf(zeros(1,1,1,5));

填充该数组。

w0 = 1.5:1:5.5;    % natural frequencies
zeta = 0.5;        % damping constant
for i = 1:length(w0)
   sys(:,:,1,i) = tf(w0(i)^2,[1 2*zeta*w0(i) w0(i)^2]);
end

（有关模型数组以及如何创建模型数组的详细信息，请参阅Model Arrays (Control System Toolbox)。）绘制数组中所有模型的阶跃响应。

step(sys)

step 对数组中所有条目的响应使用相同的线型。区分各条目的一种方法是使用动态系统模型的 SamplingGrid 属性将数组中的每个条目与对应的 w0 值相关联。

sys.SamplingGrid = struct('frequency',w0);

现在，当您在 MATLAB 图窗窗口中绘制响应时，您可以点击一条轨迹来查看它对应的频率值。

当您为 step 提供输出参量时，该函数会返回响应数据数组。对于 SISO 系统，响应数据以列向量形式返回，其长度等于对响应进行采样的时间点的数量。您可以提供时间点的向量 t，也可以允许 step 根据系统动态特性为您选择时间点。例如，提取 SISO 系统在 t = 0 和 t = 5 秒之间的 101 个时间点的阶跃响应。

sys = tf(4,[1 2 10]);
t = 0:0.05:5;
y = step(sys,t);
size(y)

ans = 1×2

   101     1

对于 MIMO 系统，响应数据以 N×Ny×Nu 维度的数组形式返回，其中 Ny 和 Nu 是动态系统的输出数量和输入数量。例如，假设有以下状态空间模型，它表示具有两个输入、一个输出的系统。

A = [-0.5572,-0.7814;0.7814,0];
B = [1,-1;0,2];
C = [1.9691,6.4493];
sys = ss(A,B,C,0);

提取该系统在 t = 0 和 t = 20 秒之间的 200 个时间点的阶跃响应。

t = linspace(0,20,200);
y = step(sys,t);
size(y)

ans = 1×3

   200     1     2

y(:,i,j) 是包含在时间 t 处从第 j 个输入到第 i 个输出的阶跃响应的列向量。例如，提取从第二个输入到输出的阶跃响应。

y12 = y(:,1,2);
plot(t,y12)

创建一个具有延迟的反馈环，并绘制其阶跃响应。

s = tf('s');
G = exp(-s) * (0.8*s^2+s+2)/(s^2+s);
sys = feedback(ss(G),1);
step(sys)

显示的系统阶跃响应是混沌的。具有内部延迟的系统的阶跃响应可能会表现出异常行为，例如反复跳变。此类行为是系统的一项特征，而不是软件异常。

默认情况下，step 会应用在 t = 0 时从 0 变为 1 的输入信号。要自定义振幅和偏置，请使用 RespConfig。例如，计算 SISO 状态空间模型对从 1 到 –1 再到 t = 0 时的信号的响应。

A = [1.6 -0.7;
      1  0];
B = [0.5; 0];
C = [0.1 0.1];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D,0.2);

opt = RespConfig;
opt.Bias = 1;
opt.Amplitude = -2;

step(sys,opt)

要获得对任意输入信号的响应，请使用 lsim (Control System Toolbox)。

将参数化辨识模型的阶跃响应与非参数化（经验）模型的阶跃响应进行比较。另请查看它们的 3 $$\sigma$$ 置信域。

加载数据。

load iddata1 z1

估计参数化模型。

sys1 = ssest(z1,4);

估计非参数化模型。

sys2 = impulseest(z1);

绘制阶跃响应以进行比较。

t = (0:0.1:10)';
[y1, ~, ~, ysd1] = step(sys1,t);
[y2, ~, ~, ysd2] = step(sys2,t);
plot(t, y1, 'b', t, y1+3*ysd1, 'b:', t, y1-3*ysd1, 'b:')
hold on
plot(t, y2, 'g', t, y2+3*ysd2, 'g:', t, y2-3*ysd2, 'g:')

计算辨识时间序列模型的阶跃响应。

时间序列模型，也称为信号模型，是一种没有测量输入信号的模型。这种模型的阶跃图使用其（未经测量的）噪声通道作为应用阶跃信号的输入通道。

加载数据。

load iddata9;

估计时间序列模型。

sys = ar(z9, 4);

sys 是 A y(t) = e(t) 形式的模型，其中 e(t) 表示噪声通道。对于阶跃响应的计算，e(t) 被视为输入通道，并被命名为 e@y1。

绘制阶跃响应。

step(sys)

通过比较线性模型和非线性模型的小振幅阶跃响应来验证非线性 ARX 模型的线性化。

加载数据。

load iddata2 z2;

估计非线性 ARX 模型。

nlsys = nlarx(z2,[4 3 10],idTreePartition,'custom',...
    {'sin(y1(t-2)*u1(t))+y1(t-2)*u1(t)+u1(t).*u1(t-13)',...
    'y1(t-5)*y1(t-5)*y1(t-1)'},'nlr',[1:5, 7 9]);

确定 nlsys 对应于稳态输入值 1 的均衡工作点。

u0 = 1;
[X,~,r] = findop(nlsys, 'steady', 1);
y0 = r.SignalLevels.Output;

获得 nlsys 在此工作点处的线性逼近。

sys = linearize(nlsys,u0,X);

通过将 sys 的小振幅阶跃响应与 nlsys 的小振幅阶跃响应进行比较来验证其有效性。

非线性系统 nlsys 在由 (u0,y0) 决定的均衡水平下工作。围绕此稳态引入大小为 0.1 的阶跃扰动，并计算对应的响应。

opt = RespConfig;
opt.InputOffset = u0;
opt.Amplitude = 0.1;
t = (0:0.1:10)';
ynl = step(nlsys, t, opt);

线性系统 sys 表示输入中的扰动与输出中的对应扰动之间的关系。它不知道非线性系统的均衡值。

绘制线性系统的阶跃响应。

opt = RespConfig;
opt.Amplitude = 0.1;
yl = step(sys, t, opt);

将稳态偏移量 y0 添加到线性系统的响应中，并绘制响应。

plot(t, ynl, t, yl+y0)
legend('Nonlinear', 'Linear with offset')

计算并绘制 LPV (lpvss (Control System Toolbox)) 模型的阶跃响应。此示例对 fcnMaglev.m 中定义的悬浮球模型对扰动 $\mathit{du}$ 的闭环阶跃响应进行仿真。

创建模型并将其离散化。

hmin = 0.05; 
hmax = 0.25;
h0 = (hmin+hmax)/2;
Ts = 0.01;
Glpv = lpvss("h",@fcnMaglev,0,0,h0);
Glpvd = c2d(Glpv,Ts,"tustin"); 

对 LPV 模型的三个高度值进行采样，并调节 PID 控制器。

hpid = linspace(hmin,hmax,3);
[Ga,Goffset] = sample(Glpvd,[],hpid);
wc = 50;
Ka = pidtune(Ga,"pidf",wc);
Ka.Tf = 0.01;

创建增益调度 PID 控制器。

Ka.SamplingGrid = struct("h",hpid);
Koffset = struct("y",{Goffset.u});
Clpv = ssInterpolant(ss(Ka),Koffset);

创建闭环模型。

CL = feedback(Glpvd*[1,Clpv],1,2,1);
CL.InputName = {'du';'href'};
CL.OutputName = "h";

获取 $\mathit{h}$ = ${\mathit{h}}_0$ 的稳态电流，以计算被控对象输入处的阶跃扰动的适当大小。

[~,~,~,~,~,~,~,u0] = Glpv.DataFunction(0,h0);

计算并绘制对输入扰动和参考阶跃变化的响应。设置基线输入信号 $\mathit{du}$ = 0 和 $\mathit{h}$ = ${\mathit{h}}_0$ 以指定起始稳态条件。

t = 0:Ts:2;
pFcn = @(k,x,u) x(1);
Config = RespConfig( ...
    Bias=[0;h0], ...
    Amplitude=0.2*[u0;h0]*Ts, ...
    Delay=0.5, ...
    InitialParameter=h0);
step(CL,t,pFcn,Config)
title("Current Step Disturbance and Height Step Change")

创建一个具有复系数的状态空间模型。

A = [-2-2i -2;1 0];
B = [2;0];
C = [0 0.5+2.5i];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D);

计算系统的阶跃响应。

[y,t] = step(sys);

得到的响应数据包含复数输出值。

y

y = 369×1 complex

   0.0000 + 0.0000i
   0.0018 + 0.0075i
   0.0079 + 0.0286i
   0.0191 + 0.0612i
   0.0360 + 0.1033i
   0.0588 + 0.1531i
   0.0874 + 0.2089i
   0.1215 + 0.2690i
   0.1609 + 0.3320i
   0.2048 + 0.3969i
   0.2528 + 0.4624i
   0.3041 + 0.5279i
   0.3580 + 0.5925i
   0.4138 + 0.6558i
   0.4708 + 0.7173i
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