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求解刚性晶体管微分代数方程

此示例说明如何使用 ode23t 求解描述电路的刚性微分代数方程 (DAE) [1]。在示例文件 amp1dae.m 中编码的单晶体管放大器问题可以重写为半显式形式,但本示例采用它的原始形式 Mu=ϕ(u) 进行求解。该问题包括一个常奇异质量矩阵 M

晶体管放大器电路包含六个电阻器、三个电容器和一个晶体管。

  • 初始电压信号为 Ue(t)=0.4sin(200πt)

  • 工作电压为 Ub=6

  • 节点处的电压由 Ui(t) (i=1,2,3,4,5) 给出。

  • 电阻 Ri (i=1,2,3,4,5,6) 的值是常量,通过每个电阻的电流满足 I=U/R

  • 电容 Ci (i=1,2,3) 的值是常量,通过每个电容的电流满足 I=CdU/dt

目标是求解通过节点 5 的输出电压,U5(t)

要在 MATLAB® 中求解此方程,您需要编写方程代码,编写质量矩阵代码,并在调用求解器 ode23t 之前设置初始条件和积分区间。您可以将所需的函数作为局部函数包含在文件末尾(如本处所示),或者将它们作为单独的命名文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

编写质量矩阵代码

根据基尔霍夫定律均衡通过每个节点(1 到 5)的电流,可以得到包含五个描述电路的方程的方程组:

node1:  Ue(t)R0-U1R0+C1(U2-U1)=0,node2:  UbR2-U2(1R1+1R2)+C1(U1-U2)-0.01f(U2-U3)=0,node3:f(U2-U3)-U3R3-C2U3=0,node4:  UbR4-U4R4+C3(U5-U4)-0.99f(U2-U3)=0,node5:-U5R5+C3(U4-U5)=0.

此方程组的质量矩阵通过聚合方程左侧的导数项得到,其形式如下

M=(-c1c1000c1-c100000-c200000-c3c3000c3-c3),

其中,当 k=1,2,3 时,ck=k×10-6

用适当的常量 ck 创建一个质量矩阵,然后使用 odeset 函数指定该质量矩阵。尽管质量矩阵显然是奇异矩阵,请仍保留 'MassSingular' 选项的默认值 'maybe',以测试求解器对 DAE 问题的自动检测。

c = 1e-6 * (1:3);
M = zeros(5,5);
M(1,1) = -c(1);
M(1,2) =  c(1);
M(2,1) =  c(1);
M(2,2) = -c(1);
M(3,3) = -c(2);
M(4,4) = -c(3);
M(4,5) =  c(3);
M(5,4) =  c(3);
M(5,5) = -c(3);
opts = odeset('Mass',M);

编写方程代码

函数 transampdae 包含此示例的方程组。该函数定义所有电压和常量参数的值。在质量矩阵中对在方程左侧聚合的导数编码,而 transampdae 对方程的右侧编码。

function dudt = transampdae(t,u)
% Define voltages and parameters
Ue = @(t) 0.4*sin(200*pi*t);
Ub = 6;
R0 = 1000;
R15 = 9000;
alpha = 0.99;
beta = 1e-6;
Uf = 0.026;

% Define system of equations
f23 = beta*(exp((u(2) - u(3))/Uf) - 1);
dudt = [ -(Ue(t) - u(1))/R0
    -(Ub/R15 - u(2)*2/R15 - (1-alpha)*f23)
    -(f23 - u(3)/R15)
    -((Ub - u(4))/R15 - alpha*f23)
    (u(5)/R15) ];
end

注意:该函数作为局部函数包含在示例的末尾。

编写初始条件代码

设置初始条件。此示例对通过 [1] 中计算的每个节点的电流使用一致初始条件。

Ub = 6;
u0(1) = 0;
u0(2) = Ub/2;
u0(3) = Ub/2;
u0(4) = Ub;
u0(5) = 0;

求解方程组

使用 ode23t 求出 DAE 方程组在时间区间 [0 0.05] 内的解。

tspan = [0 0.05];
[t,u] = ode23t(@transampdae,tspan,u0,opts);

绘制结果

绘制初始电压 Ue(t) 和输出电压 U5(t)

Ue = @(t) 0.4*sin(200*pi*t);
plot(t,Ue(t),'o',t,u(:,5),'.')
axis([0 0.05 -3 2]);
legend('Input Voltage U_e(t)','Output Voltage U_5(t)','Location','NorthWest');
title('One Transistor Amplifier DAE Problem Solved by ODE23T');
xlabel('t');

Figure contains an axes. The axes with title One Transistor Amplifier DAE Problem Solved by ODE23T contains 2 objects of type line. These objects represent Input Voltage U_e(t), Output Voltage U_5(t).

参考

[1] Hairer, E., and Gerhard Wanner.Solving Ordinary Differential Equations II:Stiff and Differential-Algebraic Problems.Springer Berlin Heidelberg, 1991, p. 377.

局部函数

此处列出 ODE 求解器 ode23t 为计算解而调用的局部辅助函数。您也可以将此函数作为单独的文件保存在 MATLAB 路径上的目录中。

function dudt = transampdae(t,u)
% Define voltages and parameters
Ue = @(t) 0.4*sin(200*pi*t);
Ub = 6;
R0 = 1000;
R15 = 9000;
alpha = 0.99;
beta = 1e-6;
Uf = 0.026;

% Define system of equations
f23 = beta*(exp((u(2) - u(3))/Uf) - 1);
dudt = [ -(Ue(t) - u(1))/R0
    -(Ub/R15 - u(2)*2/R15 - (1-alpha)*f23)
    -(f23 - u(3)/R15)
    -((Ub - u(4))/R15 - alpha*f23)
    (u(5)/R15) ];
end

另请参阅

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