cumtrapz

计算数据点间距为 1 的向量的累积积分。

创建数据的数值向量。

Y = [1 4 9 16 25];

Y 包含 $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)={\mathit{x}}^2$ 在域 [1 5] 中的函数值。

使用 cumtrapz 按单位间距对数据求积分。

Q = cumtrapz(Y)

Q = 1×5

         0    2.5000    9.0000   21.5000   42.0000

此近似积分最后得出的值为 42。在这种情况下，确切答案有些小，$41\frac{1}{3}$。cumtrapz 函数高估积分值，因为 f(x) 是向上凹的。

计算数据点间距均匀但不等于 1 的向量的累积积分。

创建域向量。

X = 0:pi/5:pi;

计算 X 的正弦值。

Y = sin(X');

使用 cumtrapz 计算 Y 的累积积分。当点之间的间距不变但不等于 1 时，为 X 创建向量的替代方法是指定标量间距值。在这种情况下，cumtrapz(pi/5,Y) 与 pi/5*cumtrapz(Y) 相同。

Q = cumtrapz(X,Y)

Q = 6×1

         0
    0.1847
    0.6681
    1.2657
    1.7491
    1.9338

对具有非均匀数据间距的矩阵的行进行累积积分。

创建一个 x 坐标向量和一个按不规则间隔测得的观测值矩阵。Y 中的行代表在 X 中各时间处测得的速度数据，分别来自三次不同的尝试。

X = [1 2.5 7 10];
Y = [5.2   7.7   9.6   13.2;
     4.8   7.0  10.5   14.5;
     4.9   6.5  10.2   13.8];

使用 cumtrapz 分别对每一行进行积分，然后求出每交尝试的累积行程距离。由于数据不是按固定间隔计算的，因此指定 X 来表示数据点之间的间距。由于数据位于 Y 的行中，因此指定 dim = 2。

Q1 = cumtrapz(X,Y,2)

Q1 = 3×4

         0    9.6750   48.6000   82.8000
         0    8.8500   48.2250   85.7250
         0    8.5500   46.1250   82.1250

结果为一个大小与 Y 相同的矩阵，其中包含每一行的累积积分。

在 x 和 y 方向执行嵌套积分。绘制结果，以可视方式显示两个方向上的累积积分值。

创建一个由域值构成的网格。

x = -2:0.1:2;
y = -2:0.2:2;
[X,Y] = meshgrid(x,y);

计算网格上的函数 $\mathit{f}\left(\mathit{x},\mathit{y}\right)=10{\mathit{x}}^2+20{\mathit{y}}^2$。

F = 10*X.^2 + 20*Y.^2;

cumtrapz 对数值数据而不是函数表达式求积分，因此要对数据矩阵使用 cumtrapz，通常无需了解底层函数。在已知函数表达式的情况下，您可以改用 integral、integral2 或 integral3。

使用 cumtrapz 求二重积分的近似值

要执行此二重积分，请使用 cumtrapz 的嵌套函数调用。内部调用首先对数据的行进行积分，然后外部调用对列进行积分。

I = cumtrapz(y,cumtrapz(x,F,2));

绘制表示原始函数的曲面以及表示累积积分的曲面。累积积分曲面上的每个点都给出了二重积分的中间值。I 中的最后一个值给出了二重积分的总体逼近值，I(end) = 642.4。用一个红色的星形在图上标记此点。

surf(X,Y,F,'EdgeColor','none')
xlabel('X')
ylabel('Y')
hold on
surf(X,Y,I,'FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','none')
plot3(X(end),Y(end),I(end),'r*')
hold off